Calculer les intersections du graphe de avec les axes et . Donner le signe de .

Idée : Résoudre et évaluer , puis faire un tableau de signes. Solution : Intersection avec : , donc . Intersection(s) avec : (admissibles), donc et . Comme , le signe de est celui de avec points critiques :

Déterminer les équations des asymptotes au graphe de .

Idée : Étudier les limites en et en . Solution : Le numérateur vaut , donc ainsi est une asymptote verticale. De plus, (car plus vite que tout polynôme), donc est une asymptote horizontale pour . Enfin, donc pas d’asymptote (horizontale/oblique) pour .

Établir que la dérivée de est égale à

Idée : Écrire avec , puis dériver. Solution : Or Ainsi

Étudier la croissance de et donner les coordonnées de ses éventuels extremums.

Idée : Étudier le signe de via la factorisation . Solution : Donc le signe de est celui de , avec coupures : Ainsi décroît sur , croît sur et , décroît sur , puis croît sur . Valeurs aux points critiques :

Représenter soigneusement le graphe de dans un repère orthonormé.

Idée : Utiliser asymptotes, zéros, signe et extremums pour tracer. Solution : On place : les intersections : , , ; l’asymptote verticale avec et ; l’asymptote pour (avec car sur ) ; les extremums : , , ; le comportement pour : . On relie en respectant les variations trouvées à la question d). Représentation graphique :

Donner une primitive de la fonction définie par . Indication : effectuer une division euclidienne (ou polynomiale), puis intégrer.

Idée : Simplifier puis intégrer après division euclidienne. Solution : Division : Donc une primitive de est

Représenter les points et , la droite et le cercle dans un repère orthonormé en choisissant une unité égale à deux carreaux.

Idée : Placer les points, tracer , puis le cercle de centre passant par . Solution : On place et . La droite a pour équation (deux points suffisent pour la tracer). Le cercle est centré en et a pour rayon . Représentation graphique :

Donner l’équation du cercle .

Idée : Calculer puis écrire l’équation . Solution : Donc

Vérifier par calcul que la droite est tangente au cercle en un point et calculer les coordonnées de ce point de tangence.

Idée : Comparer la distance du centre à la droite au rayon, puis projeter sur . Solution : Distance de à : donc est tangente à . Le point de tangence est le pied de la perpendiculaire issue de sur . Avec ,

Calculer l’angle . (Il n’est pas nécessaire d’avoir trouvé les coordonnées de pour calculer cet angle.)

Idée : Utiliser le produit scalaire entre et . Solution : Donc

Examens corrigés › Maturité 2025

Niveau renforcé

Examen de maturité 2025 — mathématiques

5 problèmes · durée 240 min · niveau renforcé (Suisse romande)

Épreuve officielle de la maturité gymnasiale suisse (niveau renforcé, 2025). Énoncés reproduits à des fins pédagogiques et de révision ; corrigé, méthodes et commentaires rédigés par MatuMath.

À propos de l'examen de maturité 2025 (niveau renforcé)

Cet examen de maturité gymnasiale de mathématiques 2025, de niveau renforcé, comporte 5 problèmes (29 sous-questions) pour un total de 62 points, à traiter en 240 minutes. La note finale suit le barème officiel : note = 1 + 5 × (points obtenus / points maximum), soit environ 60 % des points pour atteindre la moyenne de 4 — tu peux convertir tes points avec le calculateur de note.

Chapitres et notions couverts par cet examen :

Analyse Géométrie analytique Nombres complexes Algèbre linéaire Probabilités

Le corrigé complet, détaillé sous-question par sous-question, est disponible gratuitement ci-dessous. Réviser d'abord la théorie : fiches de maths.

Problème 1 — Analyse

14 pts

Soit la fonction $f$ définie par

f (x) = \frac{x ^{2} e ^{x} - 5 e ^{x}}{x + 1} .

a)
Calculer les intersections du graphe de $f$ avec les axes $O x$ et $O y$ . Donner
le signe de $f$ .
3 pts

Corrigé
Idée : Résoudre $f (x) = 0$ et évaluer $f (0)$ , puis faire un tableau de signes.

Solution :
$D_{f} = R ∖ {- 1}, f (x) = e^{x} \frac{x ^{2} - 5}{x + 1} .$
Intersection avec $O y$ : $f (0) = \frac{- 5}{1} = - 5$ , donc $(0, - 5)$ .
Intersection(s) avec $O x$ : $f (x) = 0 \Leftrightarrow x^{2} - 5 = 0 \Leftrightarrow x = \pm 5$ (admissibles), donc $(- 5, 0)$ et $(5, 0)$ .
Comme $e^{x} > 0$ , le signe de $f$ est celui de $\frac{x ^{2} - 5}{x + 1}$ avec points critiques $- 5, - 1, 5$ :
$x f (x) (- \infty, - 5) - (- 5, - 1) + (- 1, 5) - (5, \infty) +$
b)
Déterminer les équations des asymptotes au graphe de $f$ .
2 pts

Corrigé
Idée : Étudier les limites en $x = - 1$ et en $\pm \infty$ .

Solution :
Le numérateur vaut $e^{x} (x^{2} - 5)$ , donc
$x \to - 1 lim (x^{2} e^{x} - 5 e^{x}) = e^{- 1} (1 - 5) = - \frac{4}{e} \neq = 0,$
ainsi $x = - 1$ est une asymptote verticale.
De plus,
$x \to - \infty lim f (x) = x \to - \infty lim e^{x} \frac{x ^{2} - 5}{x + 1} = 0$
(car $e^{x} \to 0$ plus vite que tout polynôme), donc $y = 0$ est une asymptote horizontale pour $x \to - \infty$ . Enfin,
$x \to + \infty lim f (x) = x \to + \infty lim e^{x} \frac{x ^{2} - 5}{x + 1} = + \infty,$
donc pas d’asymptote (horizontale/oblique) pour $x \to + \infty$ .
c)
Établir que la dérivée de $f$ est égale à
$f^{'} (x) = \frac{x e ^{x} ( x ^{2} + 2 x - 3 )}{( x + 1 ) ^{2}} .$
2 pts

Corrigé
Idée : Écrire $f = e^{x} h$ avec $h (x) = \frac{x ^{2} - 5}{x + 1}$ , puis dériver.

Solution :
$f^{'} (x) = e^{x} h (x) + e^{x} h^{'} (x) = e^{x} (h (x) + h^{'} (x)) .$
Or
$h^{'} (x) = \frac{( 2 x ) ( x + 1 ) - ( x ^{2} - 5 ) \cdot 1}{( x + 1 ) ^{2}} = \frac{x ^{2} + 2 x + 5}{( x + 1 ) ^{2}} .$
Ainsi
$h (x) + h^{'} (x) = \frac{x ^{2} - 5}{x + 1} + \frac{x ^{2} + 2 x + 5}{( x + 1 ) ^{2}} = \frac{( x ^{2} - 5 ) ( x + 1 ) + x ^{2} + 2 x + 5}{( x + 1 ) ^{2}}$
$= \frac{x ^{3} + 2 x ^{2} - 3 x}{( x + 1 ) ^{2}} = \frac{x ( x ^{2} + 2 x - 3 )}{( x + 1 ) ^{2}} .$
d)
Étudier la croissance de $f$ et donner les coordonnées de ses éventuels
extremums.
3 pts

Corrigé
Idée : Étudier le signe de $f^{'} (x)$ via la factorisation $x (x + 3) (x - 1)$ .

Solution :
$f^{'} (x) = \frac{e ^{x}}{( x + 1 ) ^{2}} x (x + 3) (x - 1), e^{x} > 0, (x + 1)^{2} > 0.$
Donc le signe de $f^{'}$ est celui de $x (x + 3) (x - 1)$ , avec coupures $- 3, - 1, 0, 1$ :
$x f^{'} (x) (- \infty, - 3) - (- 3, - 1) + (- 1, 0) + (0, 1) - (1, \infty) +$
Ainsi $f$ décroît sur $(- \infty, - 3)$ , croît sur $(- 3, - 1)$ et $(- 1, 0)$ , décroît sur $(0, 1)$ , puis croît sur $(1, \infty)$ .
Valeurs aux points critiques :
$f (- 3) = e^{- 3} \frac{9 - 5}{- 2} = - 2 e^{- 3}, f (0) = - 5, f (1) = e \frac{1 - 5}{2} = - 2 e .$
e)
Représenter soigneusement le graphe de $f$ dans un repère orthonormé.
3 pts
Corrigé
Idée : Utiliser asymptotes, zéros, signe et extremums pour tracer.

Solution :
On place :
- les intersections : $(- 5, 0)$ , $(5, 0)$ , $(0, - 5)$ ;
- l’asymptote verticale $x = - 1$ avec $lim_{x \to - 1^{-}} f (x) = + \infty$ et $lim_{x \to - 1^{+}} f (x) = - \infty$ ;
- l’asymptote $y = 0$ pour $x \to - \infty$ (avec $f (x) \to 0^{-}$ car $f < 0$ sur $(- \infty, - 5)$ ) ;
- les extremums : $(- 3, - 2 e^{- 3})$ , $(0, - 5)$ , $(1, - 2 e)$ ;
- le comportement pour $x \to + \infty$ : $f (x) \to + \infty$ .
On relie en respectant les variations trouvées à la question d).

Représentation graphique :
f)
Donner une primitive de la fonction $g$ définie par $g (x) = f (x) \cdot e^{- x}$ .
Indication : effectuer une division euclidienne (ou polynomiale), puis intégrer.
1 pts

Corrigé
Idée : Simplifier $g$ puis intégrer après division euclidienne.

Solution :
$g (x) = f (x) e^{- x} = e^{x} \frac{x ^{2} - 5}{x + 1} e^{- x} = \frac{x ^{2} - 5}{x + 1} .$
Division :
$\frac{x ^{2} - 5}{x + 1} = x - 1 - \frac{4}{x + 1} .$
Donc une primitive $G$ de $g$ est
$G (x) = \int (x - 1 - \frac{4}{x + 1}) d x = \frac{x ^{2}}{2} - x - 4 ln ∣ x + 1∣ + C .$

Méthode à retenir

Mettre $f$ sous une forme factorisée (ici $e^{x} \frac{x ^{2} - 5}{x + 1}$ ) pour lire le signe. Pour les variations, factoriser le polynôme de la dérivée et faire un tableau de signes. Pour une primitive rationnelle, faire une division euclidienne afin d’obtenir polynôme $+$ terme en $\frac{1}{x - a}$ .

Erreurs fréquentes

Oublier le domaine $x \neq = - 1$ et les limites de part et d’autre de l’asymptote verticale.
Penser à tort que $e^{x}$ peut être nul (il est toujours strictement positif).
Se tromper de signe dans le tableau autour de $x = - 1$ .
Intégrer $\frac{x ^{2} - 5}{x + 1}$ sans division euclidienne.

Problème 2 — Géométrie plane

12 pts

Dans un repère orthonormé du plan, on considère les points $C (- 2; 3)$ et $S (2; 5)$ ,
la droite $d : x + 2 y + 6 = 0$ et le cercle $C_{1}$ centré en $C$ qui passe par $S$ .

a)
Représenter les points $C$ et $S$ , la droite $d$ et le cercle $C_{1}$ dans un repère
orthonormé en choisissant une unité égale à deux carreaux.
3 pts

Corrigé
Idée : Placer les points, tracer $d$ , puis le cercle de centre $C$ passant par $S$ .

Solution : On place $C (- 2, 3)$ et $S (2, 5)$ . La droite $d$ a pour équation $x + 2 y + 6 = 0$ (deux points suffisent pour la tracer). Le cercle $C_{1}$ est centré en $C$ et a pour rayon $C S$ .

Représentation graphique :
b)
Donner l’équation du cercle $C_{1}$ .
2 pts

Corrigé
Idée : Calculer $C S$ puis écrire l’équation $(x - x_{C})^{2} + (y - y_{C})^{2} = r^{2}$ .

Solution :
$C S = (2 - (- 2))^{2} + (5 - 3)^{2} = 4^{2} + 2^{2} = 20 = 25 .$
Donc
$Γ_{1} : (x + 2)^{2} + (y - 3)^{2} = 20.$
c)
Vérifier par calcul que la droite $d$ est tangente au cercle $C_{1}$ en un point
$T$ et calculer les coordonnées de ce point de tangence.
3 pts

Corrigé
Idée : Comparer la distance du centre à la droite au rayon, puis projeter $C$ sur $d$ .

Solution :
Distance de $C (- 2, 3)$ à $d : x + 2 y + 6 = 0$ :
$dist (C, d) = \frac{∣ ( - 2 ) + 2 \cdot 3 + 6∣}{1 ^{2} + 2 ^{2}} = \frac{∣10∣}{5} = 25 = r,$
donc $d$ est tangente à $Γ_{1}$ .
Le point de tangence $T$ est le pied de la perpendiculaire issue de $C$ sur $d$ . Avec $a = 1, b = 2, c = 6$ ,
$t = \frac{a x _{0} + b y _{0} + c}{a ^{2} + b ^{2}} = \frac{- 2 + 6 + 6}{5} = 2,$
$T = (x_{0} - a t, y_{0} - b t) = (- 2 - 2, 3 - 4) = (- 4, - 1) .$
d)
Calculer l’angle $T C S$ .
(Il n’est pas nécessaire d’avoir trouvé les coordonnées de $T$ pour calculer
cet angle.)
2 pts

Corrigé
Idée : Utiliser le produit scalaire entre $C T$ et $C S$ .

Solution :
$C T = (- 4 + 2, - 1 - 3) = (- 2, - 4), C S = (2 + 2, 5 - 3) = (4, 2) .$
$C T \cdot C S = (- 2) \cdot 4 + (- 4) \cdot 2 = - 16, ∥ C T ∥ = ∥ C S ∥ = 20 .$
Donc
$cos θ = \frac{- 16}{20} = - \frac{4}{5}, θ = T C S = arccos (- \frac{4}{5}) \approx 143. 1^{\circ} .$
e)
Il existe un autre cercle $C_{2}$ , de même rayon que $C_{1}$ , qui lui aussi est
tangent à $d$ et passe par $S$ . Calculer les coordonnées de son centre $K$ .
2 pts

Corrigé
Idée : Les centres des cercles de rayon $r$ tangents à $d$ sont sur une parallèle à $d$ à distance $r$ ; imposer aussi $K S = r$ .

Solution :
Ici $r = 25$ . Les droites parallèles à $d$ ont la forme $x + 2 y + c = 0$ . La distance entre $x + 2 y + 6 = 0$ et $x + 2 y + c = 0$ vaut
$\frac{∣ c - 6∣}{5} = 25 ⟹ ∣ c - 6∣ = 10 ⟹ c = 16 ou c = - 4.$
Le centre $C (- 2, 3)$ vérifie $(- 2) + 2 \cdot 3 - 4 = 0$ , donc il est sur $x + 2 y - 4 = 0$ . L’autre cercle (différent) a donc un centre $K \neq = C$ sur cette même droite et à distance $r$ de $S (2, 5)$ .
On résout
${x + 2 y - 4 = 0, (x - 2)^{2} + (y - 5)^{2} = 20.$
De $x = - 2 y + 4$ :
$(- 2 y + 2)^{2} + (y - 5)^{2} = 20 ⟹ 5 y^{2} - 18 y + 9 = 0 ⟹ y \in {3, \frac{3}{5}} .$
$y = 3$ redonne $C$ ; donc
$y = \frac{3}{5} ⟹ x = - 2 \cdot \frac{3}{5} + 4 = \frac{14}{5} .$

Méthode à retenir

Pour une tangence droite--cercle, comparer la distance du centre à la droite avec le rayon. Le point de contact est le projeté orthogonal du centre sur la droite. Pour un second cercle tangent, les centres se trouvent sur une (ou deux) parallèles à la droite à distance égale au rayon.

Erreurs fréquentes

Utiliser une formule de distance à une droite sans valeur absolue.
Oublier que le point de tangence est un projeté orthogonal.
Confondre l’angle demandé (ici au point $C$ ) et un angle au point de tangence.
Chercher $K$ sans imposer simultanément la tangence à $d$ et le passage par $S$ .

Problème 3 — Nombres complexes

12 pts

a)
Le polynôme $p$ défini par $p (z) = z^{3} - 2 z^{2} - 2 i z + 4 i$ admet $z = 2$ comme
zéro. Trouver les autres zéros de ce polynôme complexe. Donner les
solutions sous forme algébrique.

La suite du problème est indépendante de la première question.

On donne la fonction complexe $f$ définie par $f (z) = i \cdot z - 2 + 2 i$ , ainsi que les
nombres $z_{1} = 1 + i$ , $z_{2} = 3 + i$ et $z_{3} = 2 + 4 i$ .
3 pts

Corrigé
Idée : Factoriser par $(z - 2)$ puis résoudre le facteur quadratique.

Solution :
On écrit $p (z) = (z - 2) (z^{2} + a z + b)$ .
En développant :
$(z - 2) (z^{2} + a z + b) = z^{3} + (a - 2) z^{2} + (b - 2 a) z - 2 b .$
Par identification avec $z^{3} - 2 z^{2} - 2 i z + 4 i$ :
$a - 2 = - 2 \Rightarrow a = 0, b = - 2 i, - 2 b = 4 i (coh \overset{e}{ˊ} rent) .$
Donc
$p (z) = (z - 2) (z^{2} - 2 i) .$
Or $z^{2} = 2 i = 2 e^{iπ /2}$ , donc
$z = 2 e^{iπ /4} = 1 + i ou z = - 2 e^{iπ /4} = - 1 - i .$
b)
Donner une interprétation géométrique de $f$ faisant intervenir 3 transformations dans le plan de Gauss.
2 pts

Corrigé
Idée : Lire successivement conjugaison, rotation, puis translation.

Solution :
Dans la suite, on écrit $f (z) = i \overline{z} - 2 + 2 i$ . Alors :
$z \overline{\cdot} \overline{z} (sym \overset{e}{ˊ} trie par rapport \overset{a}{ˋ} l’axe r \overset{e}{ˊ} el), \overline{z} \times i i \overline{z} (rotation de + 9 0^{\circ}),$
$i \overline{z} + (- 2 + 2 i) i \overline{z} - 2 + 2 i (translation de vecteur - 2 + 2 i) .$
c)
Calculer les images $w_{1} = f (z_{1})$ , $w_{2} = f (z_{2})$ et $w_{3} = f (z_{3})$ des nombres
$z_{1}$ , $z_{2}$ et $z_{3}$ par la fonction $f$ , puis représenter ces six nombres dans le
plan de Gauss.
3 pts

Corrigé
Idée : Appliquer $f (z) = i \overline{z} - 2 + 2 i$ .

Solution :
$w_{1} = f (1 + i) = i (1 - i) - 2 + 2 i = (1 + i) - 2 + 2 i = - 1 + 3 i,$
$w_{2} = f (3 + i) = i (3 - i) - 2 + 2 i = (1 + 3 i) - 2 + 2 i = - 1 + 5 i,$
$w_{3} = f (2 + 4 i) = i (2 - 4 i) - 2 + 2 i = (4 + 2 i) - 2 + 2 i = 2 + 4 i .$
Dans le plan de Gauss, on place :
$z_{1} (1, 1), z_{2} (3, 1), z_{3} (2, 4), w_{1} (- 1, 3), w_{2} (- 1, 5), w_{3} (2, 4) .$

Représentation graphique :
d)
Les points invariants de $f$ (les solutions de l’équation $f (z) = z$ ) forment
une droite. Déterminer une équation de cette droite, puis représenter
cette droite invariante dans le même repère qu’à la question précédente.
2 pts

Corrigé
Idée : Poser $z = x + i y$ et résoudre $f (z) = z$ .

Solution :
Si $z = x + i y$ , alors $\overline{z} = x - i y$ et
$f (z) = i (x - i y) - 2 + 2 i = (y - 2) + i (x + 2) .$
L’équation $f (z) = z$ donne
$x = y - 2, y = x + 2,$
soit l’unique relation
$y = x + 2.$

Représentation graphique :
e)
Déterminer l’expression de la fonction $f \circ f$ . Donner la réponse sous la
forme la plus simple possible.
1 pts

Corrigé
Idée : Composer algébriquement en utilisant les propriétés de la conjugaison.

Solution :
Posons $c = - 2 + 2 i$ . Alors $f (z) = i \overline{z} + c$ et
$(f \circ f) (z) = i \overline{f (z)} + c = i \overline{i \overline{z} + c} + c = i (\overline{i \overline{z}} + \overline{c}) + c .$
Or $\overline{i \overline{z}} = \overline{i} z = - i z$ et $\overline{c} = - 2 - 2 i$ , donc
$(f \circ f) (z) = i (- i z - 2 - 2 i) + (- 2 + 2 i) = z + (2 - 2 i) + (- 2 + 2 i) = z .$
f)
Donner une nouvelle interprétation géométrique de $f$ faisant intervenir
une seule transformation dans le plan de Gauss.
1 pts

Corrigé
Idée : Une application involutive dont l’ensemble des points fixes est une droite est une symétrie axiale.

Solution :
On a montré $(f \circ f) = Id$ et l’ensemble des points fixes est la droite $y = x + 2$ .
Donc $f$ est la symétrie axiale d’axe $y = x + 2$ .

Méthode à retenir

Pour factoriser un polynôme sachant une racine, extraire le facteur linéaire et résoudre le facteur restant. Pour une application complexe affine avec conjugaison, passer à $z = x + i y$ permet de traduire en géométrie (symétries/rotations/translations). Les points fixes se trouvent en résolvant $f (z) = z$ .

Erreurs fréquentes

Oublier la conjugaison dans $f (z) = i \overline{z} - 2 + 2 i$ .
Confondre rotation $z \mapsto i z$ et réflexion $z \mapsto \overline{z}$ .
Résoudre $f (z) = z$ en traitant $z$ comme un réel (il faut $x, y$ ).
Oublier d’indiquer la forme algébrique des zéros.

Problème 4 — Algèbre linéaire

12 pts

On considère les applications linéaires $f_{k}$ définies par la matrice

A_{k} = (21 k - 1 k)

où

k

est un nombre réel.

a)
Montrer que $u = (11)$ est un vecteur propre de $f_{k}$ pour tout $k \in R$ . Donner
la valeur propre associée.
2 pts

Corrigé
Idée : Calculer $A_{k} u$ et reconnaître un multiple de $u$ .

Solution :
$A_{k} (11) = (2 + (k - 1) 1 + k) = (k + 1 k + 1) = (k + 1) (11) .$
b)
Trouver l’unique valeur de $k$ pour laquelle $v = (1 - 1)$ est un vecteur propre
de $f_{k}$ .

On pose $k = 0$ . Pour la suite du problème, l’application linéaire $f$ est donc
définie par la matrice
$A = (21 - 1 0) .$
2 pts

Corrigé
Idée : Imposer $A_{k} v = μ v$ et résoudre.

Solution :
$A_{k} (1 - 1) = (2 - (k - 1) 1 - k) = (3 - k 1 - k) .$
On veut $(3 - k 1 - k) = μ (1 - 1)$ , donc
$3 - k = μ, 1 - k = - μ ⟹ (3 - k) + (1 - k) = 0 ⟹ k = 2.$
c)
Déterminer les valeurs propres de $f$ . Donner un vecteur propre associé
à chaque valeur propre de $f$ .
3 pts

Corrigé
Idée : Résoudre $det (A - λ I) = 0$ .

Solution :
$det (2 - λ 1 - 1 - λ) = (2 - λ) (- λ) - (- 1) \cdot 1 = λ^{2} - 2 λ + 1 = (λ - 1)^{2} .$
Donc l’unique valeur propre est $λ = 1$ (double).
Pour les vecteurs propres : $(A - I) x = 0$ avec
$A - I = (11 - 1 - 1) ⟹ x = y .$
Un vecteur propre est donc $(11)$ .
d)
Montrer que pour tout vecteur $w = (x y) \in R^{2}$ , le vecteur $f (w) - w$ est de
la forme $λ \cdot (11)$ avec $λ \in R$ .
2 pts

Corrigé
Idée : Calculer explicitement $A (x y) - (x y)$ .

Solution :
$f (w) = A (x y) = (2 x - y x) \Rightarrow f (w) - w = (2 x - y - x x - y) = (x - y x - y) = (x - y) (11) .$
e)
Calculer $A^{2}$ , puis montrer par récurrence que
$A^{n} = (n + 1 n - n 1 - n)$
pour tout entier $n > 0$ .
3 pts

Corrigé
Idée : Calculer $A^{2}$ puis faire une récurrence sur $n$ .

Solution :
$A^{2} = (21 - 1 0) (21 - 1 0) = (32 - 2 - 1) .$
Récurrence : Pour $n = 1$ ,
$A^{1} = (21 - 1 0) = (1 + 1 1 - 1 1 - 1) .$
Supposons
$A^{n} = (n + 1 n - n 1 - n) .$
Alors
$A^{n + 1} = A^{n} A = (n + 1 n - n 1 - n) (21 - 1 0) = (2 (n + 1) - n 2 n + (1 - n) - (n + 1) - n) = (n + 2 n + 1 - (n + 1) 1 - (n + 1)) .$
La propriété est vraie pour $n + 1$ , donc pour tout $n > 0$ .

Méthode à retenir

Tester un vecteur propre en multipliant par la matrice. Pour imposer qu’un vecteur soit propre, écrire $A v = μ v$ . Les puissances d’une matrice se prouvent efficacement par récurrence après avoir deviné une forme fermée à partir de $A, A^{2}, A^{3}$ .

Erreurs fréquentes

Confondre ``valeur propre double'' avec ``deux valeurs propres distinctes''.
Oublier de vérifier la condition $A v = μ v$ composante par composante.
Faire une récurrence sans base correcte ou sans calculer $A^{n + 1} = A^{n} A$ .
Erreurs de multiplication matricielle (signes et ordre des facteurs).

Problème 5 — Probabilités

12 pts

Ségolène, une marchande de souvenirs, vient de recevoir un carton contenant
320 médailles, dont 80 sont dorées et les autres argentées. Parmi les médailles
dorées, 60\% représentent le Cervin, 30\% le jet d’eau de Genève et les autres
le pont couvert de Lucerne. Parmi les médailles argentées, 40\% représentent
le Cervin et les autres le jet d’eau de Genève.

Évariste, un touriste, prend une médaille au hasard dans ce carton. On admet
que chaque médaille a la même probabilité d’être tirée.

a)
Représenter la situation à l’aide d’un arbre.
2 pts

Corrigé
Idée : Décomposer d’abord par couleur, puis par motif conditionnellement.

Solution :
$P (D) = \frac{80}{320} = \frac{1}{4}, P (A) = \frac{240}{320} = \frac{3}{4} .$
Sous $D$ : $P (C ∣ D) = 0, 6$ , $P (J ∣ D) = 0, 3$ , $P (P ∣ D) = 0, 1$ .
Sous $A$ : $P (C ∣ A) = 0, 4$ , $P (J ∣ A) = 0, 6$ .

Représentation graphique :
b)
Calculer la probabilité que la médaille tirée par Évariste soit dorée et
représente le Cervin.
1 pts

Corrigé
Idée : Utiliser $P (D \cap C) = P (D) P (C ∣ D)$ .

Solution :
$P (D \cap C) = \frac{1}{4} \cdot 0, 6 = 0, 15.$
c)
Montrer que la probabilité que la médaille tirée représente le jet d’eau
de Genève vaut 52,5\%.
1 pts

Corrigé
Idée : Formule des probabilités totales selon la couleur.

Solution :
$P (J) = P (D) P (J ∣ D) + P (A) P (J ∣ A) = \frac{1}{4} \cdot 0, 3 + \frac{3}{4} \cdot 0, 6 = 0, 075 + 0, 45 = 0, 525.$
d)
Sachant que la médaille tirée représente le jet d’eau de Genève, calculer
la probabilité qu’elle soit argentée.
2 pts

Corrigé
Idée : Utiliser $P (A ∣ J) = \frac{P ( A \cap J )}{P ( J )}$ .

Solution :
$P (A \cap J) = P (A) P (J ∣ A) = \frac{3}{4} \cdot 0, 6 = 0, 45.$
Donc
$P (A ∣ J) = \frac{0 , 45}{0 , 525} = \frac{45}{52 , 5} = \frac{6}{7} \approx 0, 857.$
e)
Évariste hésite beaucoup pour choisir une médaille : il tire donc une
médaille au hasard, la contemple, se gratte la tête et la remet dans le
carton, en tire une deuxième, la contemple, se gratte la tête et la remet
dans le carton, et ainsi de suite 28 fois. Quelle est la probabilité qu’il ait
ainsi tiré 12 fois une médaille représentant le jet d’eau de Genève ?

Ségolène achète ces superbes médailles à la fabrique Médailles-Suisses SA.

On considère qu’une médaille est conforme si son poids est compris entre 9,85
et 10,15 grammes. On a pu déterminer que la machine destinée à la production des médailles dorées donne des médailles dont le poids $P$ en grammes suit
une loi normale d’espérance mathématique $μ = 10$ et d’écart-type $σ = 0, 063$ .
2 pts

Corrigé
Idée : Modéliser par une loi binomiale de paramètre $p = P (J) = 0, 525$ .

Solution :
Soit $X \sim B (28, 0, 525)$ . Alors
$P (X = 12) = (12 28) (0, 525)^{12} (0, 475)^{16} \approx 0, 0896.$
f)
Calculer la probabilité qu’une médaille produite par cette machine ne
soit pas conforme.

L’usine possède une machine de production pour les médailles argentées. On
sait que celle-ci donne des médailles dont le poids $Q$ en grammes suit également
une loi normale d’espérance $μ = 10$ .
2 pts

Corrigé
Idée : Centrer-réduire puis calculer une probabilité de queue normale.

Solution :
$P \sim N (10, 0, 063), non conforme \Leftrightarrow ∣ P - 10∣ > 0, 15.$
Avec $Z = \frac{P - 10}{0 , 063} \sim N (0, 1)$ ,
$P (∣ P - 10∣ > 0, 15) = P (∣ Z ∣ > \frac{0 , 15}{0 , 063}) = 2 (1 - Φ (2, 38095)) \approx 0, 0173,$
où $Φ$ est la fonction de répartition de la loi normale centrée réduite.
g)
Calculer l’écart-type $σ$ de cette seconde loi normale, sachant que 96\%
des médailles produites sont conformes.
2 pts

Corrigé
Idée : Utiliser $P (∣ Q - 10∣ \leq 0, 15) = 0, 96$ et un quantile normal.

Solution :
$Q \sim N (10, σ), P (9, 85 \leq Q \leq 10, 15) = 0, 96 ⟺ P (∣ Q - 10∣ \leq 0, 15) = 0, 96.$
Avec $Z = \frac{Q - 10}{σ} \sim N (0, 1)$ :
$P (∣ Z ∣ \leq \frac{0 , 15}{σ}) = 0, 96 ⟺ 2Φ (\frac{0 , 15}{σ}) - 1 = 0, 96 ⟺ Φ (\frac{0 , 15}{σ}) = 0, 98.$
Donc $\frac{0 , 15}{σ} = z_{0, 98} \approx 2, 0537$ , d’où
$σ = \frac{0 , 15}{2 , 0537} \approx 0, 0730.$

Méthode à retenir

Organiser les probabilités par arbre (probabilités conditionnelles). Utiliser la formule des probabilités totales et Bayes pour inverser une condition. Avec remise, modéliser par une binomiale. Pour une loi normale, centrer-réduire et utiliser les quantiles de $N (0, 1)$ .

Erreurs fréquentes

Confondre $P (A \cap J)$ et $P (A ∣ J)$ .
Oublier que les tirages sont avec remise (indépendance $\Rightarrow$ binomiale).
Se tromper de paramètre $p$ dans la binomiale (ici $p = 0, 525$ ).
Oublier le facteur $2$ dans une probabilité bilatérale normale.