Examen de maturité 2022 — mathématiques

Déterminer la valeur du réel $a$, sachant que la tangente au graphe de $f$ au point d’abscisse $1$ est parallèle à la droite d’équation $12x-3y+1=0$.

Pour la suite du problème, on pose $a=2$. Donc, $f(x)=2\ln (x)-{\ln }^2(x)$. On donne également la dérivée seconde de $f$, $f^{\prime \prime }(x)=-\frac{2}{x^2}(2-\ln (x))$.

Etudier la fonction $f$. On demande : domaine de définition de $f$, intersections éventuelles du graphe de $f$ avec les axes $Ox$ et $Oy$, tableau des signes de $f$, équation des éventuelles asymptotes au graphe de $f$, étude de la croissance de $f$ par un tableau des variations, coordonnées des extremums et coordonnées du point d’inflexion, représentation du graphe de $f$ avec une unité égale à deux carreaux.

Déterminer l’équation de la tangente au graphe de $f$ en son point d’abscisse $e^2$.

Prouver que la fonction $F$ définie par $F(x)=4x(\ln (x)-\frac{1}{4}{\ln }^2(x)-1)$ est une primitive de la fonction $f$.

Calculer l’aire du domaine compris entre le graphe de $f$ et l’axe des $x$ sur l’intervalle $[1;e^2]$.

Donner une équation cartésienne de la droite $d$ qui passe par $A$ et $B$.

Soit ${\Gamma }_2$ le cercle dont $[AB]$ est un diamètre. Vérifier que $C_2(4;-4)$ est le centre de ${\Gamma }_2$ et que $\sqrt{10}$ est son rayon.

Vérifier que la droite $t$ est tangente au cercle ${\Gamma }_2$ en $B$.

Vérifier que $C_1(-1;1)$ est le centre de ${\Gamma }_1$ et que $\sqrt{40}$ est le rayon de ${\Gamma }_1$.

La droite $t$ est-elle tangente au cercle ${\Gamma }_1$ ? Justifier la réponse.

Prouver que le point $\Omega (2;2)$ est le centre d’un cercle tangent intérieurement à ${\Gamma }_1$ et extérieurement à ${\Gamma }_2$. On précisera l’équation de ce cercle.

Gaston lance son dé trois fois. Quelle est la probabilité qu’il obtienne au moins un « 1 » ?

Gaston lance son dé deux fois. Sachant que la somme des points obtenus vaut 8, calculer la probabilité qu’il ait obtenu une fois le « 3 ».

Gaston a rendez-vous avec son ami Jules pour une partie de dés. Gaston est toujours ponctuel, ce qui n’est pas le cas de Jules, qui est souvent en retard.
Soit $h_1$ l’heure d’arrivée de Gaston et $h_2$ l’heure d’arrivée de Jules. La différence $h_2-h_1$, exprimée en minutes, est une variable aléatoire $X$ qui suit une loi normale de moyenne 4 minutes et d’écart-type 2 minutes.

Quelle est la probabilité que Gaston doive attendre entre 5 et 6 minutes ?

Quelle est la probabilité que Jules arrive avant Gaston ?

Jules arrive avec son dé traditionnel à six faces numérotées de 1 à 6 et Gaston avec son dé truqué. Gaston et Jules mettent leur dé dans un même sac.

Gaston tire au hasard un dé dans le sac, le lance une fois et obtient « 5 ». Quelle est la probabilité qu’il ait tiré le dé de Jules ?

Gaston propose le jeu suivant à Jules : tu prends au hasard un dé dans le sac et tu le lances. Si tu obtiens un « 5 », tu me donnes $m$ francs, si tu obtiens un « 4 » tu me donnes un franc et dans les autres cas je te donne deux francs.

Déterminer $m$ pour que ce jeu soit équitable.

Déterminer les coordonnées des points d’intersection $A$, $B$ et $C$ du plan $\alpha$ avec les axes, $A$ étant sur $Ox$, $B$ sur $Oy$ et $C$ sur $Oz$.

Déterminer les coordonnées du point d’intersection de la droite $d$ avec le plan $\alpha$.

Le plan $\alpha$ et les plans $Oxy$, $Oxz$, $Oyz$, où $O$ est l’origine du repère, délimitent un tétraèdre $OABC$. Calculer l’aire de la face $ABC$ de ce tétraèdre.

Calculer le volume du tétraèdre $OABC$.

Déterminer les coordonnées des points de $d$ situés à la distance $\sqrt{29}$ du plan $\alpha$.

Montrer que la droite

Calculer $u_1$, $u_2$, ainsi que $v_1$, $v_2$.

Démontrer par récurrence que la somme $u_n+v_n$ est constante.

Montrer que la suite $(w_n)$ définie par la relation $w_n=u_n-v_n$ est géométrique. Donner son premier terme $w_0$ et calculer sa raison. En déduire que $w_n=40\cdot 0,6^n$.

Montrer que $u_n=40+20\cdot 0,6^n$, puis calculer $v_n$ en fonction de $n$.

Calculer la limite de la suite $(u_n)$.