Examen de maturité 2023 — mathématiques

Calculer les intersections du graphe de $f$ avec les axes $Ox$ et $Oy$. Donner le signe de $f$.

Déterminer les équations des éventuelles asymptotes horizontales au graphe de $f$.

Établir que la dérivée de $f$ est égale à $f^{\prime }(x)=(x^2-2x)\cdot e^{\left(x-\frac{x^2}{2}\right)}$.

Étudier la croissance de $f$ et donner les coordonnées de ses éventuels extremums.

Montrer que le graphe de $f$ possède un point d’inflexion d’abscisse égale à $1$. Déterminer les abscisses des deux autres points d’inflexion du graphe de $f$.

Représenter soigneusement le graphe de $f$ dans un repère orthonormé.

Déterminer l’aire du domaine situé dans le premier quadrant et limité par la courbe $y=f(x)$ et par les axes $Ox$ et $Oy$.

Déterminer une équation cartésienne de la médiatrice de $[AB]$ ainsi qu’une équation cartésienne de la médiatrice de $[AC]$.

Calculer les coordonnées du centre $I$ et le rayon $r$ du cercle circonscrit au triangle $ABC$.

Déterminer l’équation de la hauteur du triangle $ABC$ issue de $C$.

Calculer l’angle en $A$ du triangle $ABC$.

Calculer l’aire du triangle $ABC$.

Déterminer par calcul les coordonnées du point $D$ sur le cercle $\mathcal{C}$ tel que $ABCD$ soit un trapèze dont $[AB]$ est la grande base.

Déterminer et représenter dans le plan de Gauss l’image du carré de sommets $z_0=0$, $z_1=1$, $z_2=1+i$ et $z_3=i$.

Déterminer le point invariant de $f$ (la solution de l’équation $f(z)=z$).

Donner une interprétation géométrique de $f$ dans le plan de Gauss.

Déterminer et représenter dans le plan de Gauss l’image par $f$ de l’axe imaginaire.

Résoudre l’équation $(f(z){)}^2=-4$.

Déterminer les valeurs des nombres complexes $a$ et $b$ de manière que la fonction $g(z)=a\cdot z+b$ corresponde dans le plan de Gauss à une rotation de $90^{\circ }$ autour du point $c=3-2i$.

Déterminer les longueurs $AB$ et $AC$ pour lesquelles le volume du cône est maximal. Justifier que c’est bien un maximum. Donner ce volume.

Partie B

Un cône $C$ est déterminé par la rotation d’un segment $s$ de longueur $1$ autour d’une droite $d$. Appelons $\theta$ l’angle entre $d$ et $s$.

Exprimer, en fonction de $\theta$, le rayon $R$, la hauteur $H$ et le volume $V$ du cône $C$.

Montrer que le volume du cône $C$ peut s’exprimer en fonction de $\theta$ comme suit :

Déterminer l’angle $\theta$ pour lequel le volume de ce cône est maximal. Justifier que c’est bien un maximum.

De combien de manières différentes peut-il repeindre son appartement, si l’on considère par exemple que la cuisine verte et la salle de bain bleue est différent de la cuisine bleue et la salle de bain verte ?

S’il choisit les pots au hasard, quelle est la probabilité que sa cuisine soit peinte en jaune ?

S’il a repeint sa cuisine en jaune, et qu’il choisit les cinq autres pots au hasard quelle est la probabilité que son salon ne soit pas peint en blanc ?

Chez Picarubens la peinture ne coûte pas très cher, mais la qualité laisse parfois à désirer. Il arrive hélas que la peinture d’un pot soit inutilisable avec une probabilité de 3\%.

Calculer la probabilité que deux des pots achetés par Alexandre soient défectueux.

Calculer la probabilité qu’Alexandre achète au moins un pot de peinture défectueux.

Soit $X$ la variable aléatoire donnant le nombre de pots défectueux sur les six achetés.

Calculer la moyenne et l’écart-type de cette variable aléatoire $X$.

Après les achats d’Alexandre, il reste encore $164$ pots de peinture en stock chez Picarubens. À l’aide d’une approximation avec la loi normale, calculer la probabilité qu’entre $4$ et $8$ (y compris) soient défectueux.

On considère que la quantité de peinture contenue dans les pots de ce magasin suit une loi normale de moyenne $5$ litres et d’écart-type $0,08$ litre.

Calculer la probabilité que le pot de couleur beige acheté par Alexandre contienne moins de $4,9$ litres.