Examen de maturité 2021 — mathématiques

5 problèmes · durée 240 min · niveau renforcé (Suisse romande)

Épreuve officielle de la maturité gymnasiale suisse (niveau renforcé, 2021). Énoncés reproduits à des fins pédagogiques et de révision ; corrigé, méthodes et commentaires rédigés par MatuMath.

À propos de l'examen de maturité 2021 (niveau renforcé)

Cet examen de maturité gymnasiale de mathématiques 2021, de niveau renforcé, comporte 5 problèmes (34 sous-questions) pour un total de 62 points, à traiter en 240 minutes. La note finale suit le barème officiel : note = 1 + 5 × (points obtenus / points maximum), soit environ 60 % des points pour atteindre la moyenne de 4 — tu peux convertir tes points avec le calculateur de note.

Chapitres et notions couverts par cet examen :

Analyse Suites Géométrie analytique Algèbre linéaire

Le corrigé détaillé de cet examen 2021 est disponible gratuitement dans l'application MatuMath, en mode chronométré ou en correction pas à pas. Un aperçu des énoncés figure ci-dessous. Réviser d'abord la théorie : fiches de maths.

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Problème 1 — Analyse

12 pts

Soit la fonction $f$ définie par $f (x) = \frac{x ^{3} + 6 x ^{2}}{x ^{3} - 8}$ .

a)
Établir le tableau des signes de $f$ et donner l’équation de toutes les asymptotes au graphe de $f$ .
2 pts
b)
Calculer la dérivée de $f$ , puis montrer qu’elle peut être écrite sous la forme
$f^{'} (x) = \frac{- 6 x ( x + 2 ) ( x ^{2} - 2 x + 8 )}{( x ^{3} - 8 ) ^{2}} .$
2 pts
c)
À l’aide d’un tableau, étudier la croissance de $f$ en précisant les coordonnées des extremums du graphe de $f$ .
2 pts
d)
Représenter le graphe de $f$ dans un repère orthonormé en choisissant une unité égale à deux carreaux. Faire figurer les asymptotes.
2 pts
e)
Donner l’équation de la tangente $t_{1}$ au graphe de $f$ au point d’abscisse $x = 1$ .

On considère maintenant la fonction $g$ définie par $g (x) = \frac{6 x ^{2}}{x ^{3} - 8}$ .
2 pts
f)
Calculer $\int_{0}^{1} g (x) d x$ .
2 pts

Problème 2 — Suites

14 pts

Gaston possède une boîte qui contient 10 pièces de 5 francs.
Il y a trois sortes de pièces : 5 pièces normales, 2 pièces truquées qui présentent face des deux côtés et 3 pièces truquées qui présentent pile des deux côtés.

a)
Gaston prend au hasard une pièce de sa boîte et la lance.
Montrer que la probabilité que face apparaisse vaut $\frac{9}{20}$ .
2 pts
b)
Gaston prend au hasard une pièce de sa boîte et la lance. La pièce présente le côté pile. Quelle est la probabilité que la pièce soit truquée ?
2 pts
c)
Gaston prend au hasard une pièce de sa boîte et la lance 10 fois de suite. Quelle est la probabilité que face apparaisse exactement 2 fois ?

Gaston sépare ses pièces en deux groupes : les pièces normales et les pièces truquées.
2 pts
d)
Il prend les 5 pièces normales et les lance. Quelle est la probabilité qu’au moins une des pièces présente face ?
2 pts
e)
Il prend sans les regarder les 5 pièces truquées et les aligne devant lui. Quelle est la probabilité que les deux pièces qui présentent face des deux côtés ne soient pas voisines ?

Gaston remet toutes les pièces dans sa boîte et prend au hasard 2 pièces.
2 pts
f)
Quelle est la probabilité que les 2 pièces soient de la même sorte ? On rappelle qu’il y a 3 sortes de pièces.

Gaston remet encore une fois toutes les pièces dans la boîte pour l’expérience suivante :
Il prend au hasard une pièce qu’il lance. Il regarde si la pièce présente pile ou face et la remet dans la boîte.
Si la pièce a montré le côté pile, il répète l’expérience. Sinon, il l’arrête.
Appelons $X$ le nombre de lancers nécessaire pour obtenir face. Nous savons déjà [voir a)] que $P (X = 1) = \frac{9}{20}$ .
2 pts
g)
Calculer $P (X = 2)$ et $P (X = 3)$ .
2 pts

Problème 3 — Géométrie plane

12 pts

On donne les points $A (0; 3; - 2)$ , $B (1; 2; 2)$ , $C (- 3; 1; 5)$ et $D (12; - 3; 5)$ .

a)
Calculer l’aire du triangle $A B C$ .
2 pts
b)
Calculer l’angle formé par le plan $(A B C)$ et la droite $(A D)$ .
2 pts
c)
Déterminer les coordonnées du point $E$ de la droite $(A B)$ qui est le plus proche du point $C$ .
2 pts
d)
Prouver qu’il n’existe pas de point $F$ de la droite $(C D)$ tel que le triangle $A B F$ soit rectangle en $F$ .
2 pts
e)
Prouver que les droites $(A B)$ et $(C D)$ sont gauches.
2 pts
f)
Déterminer l’équation cartésienne du plan $α$ tel que tous les points des droites $(A B)$ et $(C D)$ soient équidistants de ce plan.
2 pts

Problème 4 — Algèbre linéaire

12 pts

On considère l’application linéaire $f$ de $R^{2}$ dans $R^{2}$ donnée par sa matrice

M = (α + 2 2 2 α - 1)

relativement à une base orthonormée

B = (\tilde{e}_{1}, \tilde{e}_{2})

a)
Existe-t-il un nombre $α$ pour lequel $f (2 \tilde{e}_{1} - 3 \tilde{e}_{2}) = 2 \tilde{e}_{1} + \tilde{e}_{2}$ ? Si oui, donner ce nombre.
2 pts
b)
Pour quelle(s) valeur(s) de $α$ l’application $f$ est-elle bijective ?
2 pts
c)
Montrer que le vecteur $\tilde{v} = (21)$ est un vecteur propre de $f$ pour tout $α \in R$ . Donner la valeur propre associée au vecteur propre $\tilde{v}$ .
2 pts
d)
Pour $α = - \frac{1}{2}$ , on a
$M = \frac{3}{2} 2 2 - \frac{3}{2} .$
Calculer $f^{2} = f \circ f$ et en donner une interprétation géométrique.

Pour la suite du problème, on pose $α = 3$ . Donc, $f$ est définie par la matrice
$M = (5222) .$
2 pts
e)
Déterminer les valeurs propres de $f$ . Donner un vecteur propre associé à chaque valeur propre.
2 pts
f)
Donner la matrice de l’application réciproque de $f$ .
1 pts
g)
Déterminer le vecteur $\tilde{v}$ tel que $f (\tilde{v}) = (82)$ .
1 pts

Problème 5 — Suites

12 pts

Considérons la suite $(u_{n})$ , définie par la relation de récurrence :
$u_{0} = 1$ , et pour tout nombre $n > 0$ , $u_{n + 1} = \frac{u _{n}}{2 u _{n} + 1}$ .

a)
Calculer $u_{1}$ , $u_{2}$ , $u_{3}$ et $u_{4}$ .
1 pts
b)
L’affirmation suivante est-elle vraie ou fausse ?
« Pour tout nombre entier $n > 0$ , $u_{n}$ est strictement positif. »
(Justifier la réponse.)

Pour tout entier naturel $n$ , on définit une nouvelle suite $(v_{n})$ par : $v_{n} = \frac{1}{u _{n}}$ .
1 pts
c)
Montrer que $(v_{n})$ est une suite arithmétique, en précisant la valeur de son premier terme $v_{0}$ et sa raison.
2 pts
d)
Déterminer l’expression de $v_{n}$ en fonction de $n$ , puis en déduire l’expression de $u_{n}$ en fonction de $n$ .

On définit une nouvelle suite $(w_{n})$ par :
$w_{n} = 2^{- 1 - 2 n}$ , pour tout entier naturel $n$ .
2 pts
e)
Montrer que $(w_{n})$ est une suite géométrique de raison $\frac{1}{4}$ , en précisant la valeur de son premier terme $w_{0}$ .
1 pts
f)
Quel est le premier terme de cette suite qui est strictement inférieur à $1 0^{- 25}$ ?
2 pts
g)
Cette suite $(w_{n})$ converge-t-elle ? Si oui, que vaut sa limite ?
1 pts
h)
Que vaut la somme infinie des termes de cette suite $(w_{n})$ ?
2 pts