Examen de maturité 2019 — mathématiques

5 problèmes · durée 240 min · niveau renforcé (Suisse romande)

Épreuve officielle de la maturité gymnasiale suisse (niveau renforcé, 2019). Énoncés reproduits à des fins pédagogiques et de révision ; corrigé, méthodes et commentaires rédigés par MatuMath.

À propos de l'examen de maturité 2019 (niveau renforcé)

Cet examen de maturité gymnasiale de mathématiques 2019, de niveau renforcé, comporte 5 problèmes (34 sous-questions) pour un total de 62 points, à traiter en 240 minutes. La note finale suit le barème officiel : note = 1 + 5 × (points obtenus / points maximum), soit environ 60 % des points pour atteindre la moyenne de 4 — tu peux convertir tes points avec le calculateur de note.

Chapitres et notions couverts par cet examen :

Analyse Nombres complexes Géométrie dans l'espace Probabilités

Le corrigé détaillé de cet examen 2019 est disponible gratuitement dans l'application MatuMath, en mode chronométré ou en correction pas à pas. Un aperçu des énoncés figure ci-dessous. Réviser d'abord la théorie : fiches de maths.

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Problème 1 — Analyse

14 pts

On considère la fonction $f$ définie de $D$ dans $R$ par $f (x) = \frac{1}{x ( 1 - ln ( x ))}$ .

a)
Déterminer le domaine de définition $D$ de cette fonction.
2 pts
b)
Calculer les éventuelles intersections du graphe de $f$ avec l’axe $O x$ , respectivement avec l’axe $O y$ .
1 pts
c)
Déterminer les équations de toutes les asymptotes au graphe de $f$ .
3 pts
d)
Montrer que la dérivée de $f$ est donnée par $f^{'} (x) = \frac{ln ( x )}{x ^{2} ( 1 - ln ( x ) ) ^{2}}$ .
2 pts
e)
Étudier la croissance de $f$ et donner les coordonnées de ses éventuels extremums.
2 pts
f)
Représenter le graphe de $f$ sans oublier les asymptotes.
2 pts
g)
On appelle $t$ la droite tangente au graphe de $f$ au point d’abscisse $x = e^{2}$ .

Établir son équation en donnant la valeur exacte des coefficients, puis déterminer le point d’intersection de $t$ et de l’axe $O x$ .

La représentation graphique de cette droite $t$ n’est pas demandée.
1 pts
h)
Trouver une primitive $F (x)$ de $f (x)$ .

Suggestion : effectuer la substitution $u = 1 - ln (x)$ .
1 pts

Problème 2 — Nombres complexes

12 pts

On donne la fonction complexe $f$ définie de $C$ dans $C$ par $f (z) = z^{2} + 2 i z + 3$ .

a)
Déterminer les zéros de cette fonction.
2 pts
b)
Déterminer les solutions de l’équation $f (z) = 4 + 18 i$ .
2 pts
c)
Déterminer le nombre $w$ pour lequel l’équation $f (z) = w$ n’a qu’une solution (ou deux solutions confondues), puis donner cette solution.
2 pts
d)
On pose $f (x + y i) = u + v i$ avec $x, y, u, v \in R$ .

Montrer que $u = x^{2} - y^{2} - 2 y + 3$ et $v = 2 x y + 2 x$ .
2 pts
e)
Prouver que l’image par $f$ d’un nombre purement imaginaire, donc de la forme $z = y i$ , est un nombre réel, puis déterminer l’image par $f$ de l’axe imaginaire.
1 pts
f)
L’image par $f$ de l’axe réel est une parabole dont l’axe de symétrie est l’axe réel.

Donner une équation de cette parabole.
2 pts
g)
Déterminer l’image réciproque de l’axe réel, c’est-à-dire l’ensemble des nombres $z \in C$ tels que $f (z) \in R$ .
1 pts

Problème 3 — Géométrie dans l'espace

12 pts

On donne les droites

d_{1} : ⎩ ⎨ ⎧ x = 1 - λ y = 3 + 2 λ z = 2 + 2 λ

d_{2} : ⎩ ⎨ ⎧ x = - 21 + 8 μ y = - 13 + 4 μ z = - 5 + μ

a)
Montrer que les droites $d_{1}$ et $d_{2}$ sont sécantes et donner les coordonnées du point d’intersection $I$ de ces deux droites.
2 pts
b)
Calculer l’angle aigu formé par les droites $d_{1}$ et $d_{2}$ .
1 pts
c)
Donner l’équation cartésienne du plan $α$ contenant les droites $d_{1}$ et $d_{2}$ .

On appelle $p$ la droite qui est parallèle à $d_{1}$ et qui passe par l’origine $O (0; 0; 0)$ et on appelle $n$ la droite qui passe par l’origine $O (0; 0; 0)$ et qui coupe $d_{1}$ à angle droit en un point appelé $A$ .
2 pts
d)
Déterminer le point d’intersection $A$ des droites $d_{1}$ et $n$ .
2 pts
e)
Calculer la distance entre les droites $d_{2}$ et $p$ .
2 pts
f)
Calculer la distance entre les droites $d_{1}$ et $p$ .
1 pts
g)
Donner l’équation cartésienne du plan formé des points équidistants de la droite $d_{1}$ et de la droite $p$ .
2 pts

Problème 4 — Analyse

12 pts

On considère un silo à grains formé d’un cylindre de hauteur $h$ et de rayon $r$ surmonté d’une demi-sphère de même rayon $r$ . On appelle aire totale du silo la somme de l’aire latérale du cylindre et de l’aire de la demi-sphère.

a)
Si l’aire totale du silo est de $200 π m^{2}$ , pour quelle valeur de $r$ le volume du silo est-il maximal ? Que vaut alors $h$ ?
5 pts
b)
On désire construire un silo de volume égal à $126 π m^{3}$ . La construction de la partie cylindrique coûte 100 francs par $m^{2}$ et celle de la partie sphérique 300 francs par $m^{2}$ . Montrer que le prix de la construction, en fonction de $r$ , d’un tel silo vaut $\frac{1400 π}{3} (\frac{54}{r} + r^{2})$ .
3 pts
c)
Pour quelles valeurs de $r$ et $h$ le prix de construction est-il minimal ?
4 pts

Problème 5 — Probabilités

12 pts

Dans un casino, pour jouer avec un certain type de machines à sous, il faut introduire une pièce de 1 franc puis appuyer sur un bouton. Quant aux gains, les machines sont réglées de la manière suivante :

la probabilité que la machine distribue une pièce de 2 francs vaut 20\%, dans ce cas le joueur réalise un bénéfice de 1 franc ;
la probabilité que la machine distribue un billet de 10 francs vaut 5\%, dans ce cas le joueur réalise un bénéfice de 9 francs ;
certaines fois, évidemment, la machine garde le franc misé et ne distribue rien, dans ce cas le joueur perd 1 franc.

a)
Si un joueur introduit une pièce de 1 franc, calculer la probabilité que la machine ne distribue rien.
1 pts
b)
Calculer la moyenne de la variable aléatoire qui exprime le bénéfice réalisé par un joueur qui introduit une fois 1 franc. Ce jeu est-il équitable ? Sinon, à qui est-il profitable ?
2 pts
c)
Gaston joue 8 fois. Quelle est la probabilité que la machine lui distribue de l’argent 2 fois ?
1 pts
d)
Combien de fois, au minimum, Gaston doit-il jouer pour que la probabilité que la machine lui distribue au moins une fois un billet de 10 francs dépasse 90\% ?
2 pts
e)
Gaston joue 2 fois. Quelle est la probabilité, qu’au final, il ne fasse ni bénéfice ni perte ?
1 pts
f)
Gaston joue 3 fois. Quelle est la probabilité, qu’au final, il fasse un bénéfice total de 9 francs ?
1 pts
g)
Gaston décide de jouer jusqu’à ce que la machine lui distribue un billet de 10 francs. Quelle est la probabilité qu’il doive jouer plus de 5 fois ?
1 pts
h)
Jules, sans le sou, aperçoit son ami Gaston et lui fait la demande suivante : « J’aimerais jouer encore 2 fois avant de partir. Prête-moi 2 francs s’il te plaît. Je te les rendrai quand j’aurai joué ». Si Gaston accède à la demande de Jules, quelle est la probabilité que ce dernier gagne suffisamment pour lui rendre la somme prêtée après avoir joué 2 fois ?
1 pts
i)
Sachant que Gaston a joué deux fois et que, à chaque fois la machine lui a distribué de l’argent, calculer la probabilité qu’il ait empoché au moins une fois un billet de 10 francs.
2 pts