Examen de maturité 2017 — mathématiques

Donner le signe de $f$ et l'équation de toutes les asymptotes au graphe de $f$.

Représenter le graphe de $f$.

Donner l'équation de la tangente au graphe de $f$ en son point d'abscisse $x=1$.

Donner l'équation d'une des tangentes au graphe de $f$ parallèle à la droite d'équation $y=-4x$.

Pour quelle(s) valeur(s) de $x$ la tangente au graphe de $f$ au point $(x;f(x))$ passe-t-elle par l'origine $(0;0)$ ?

Montrer que la fonction $f$ peut aussi s'écrire $f(x)=-\frac{2}{3}+\frac{1}{9x-3}$.

Calculer l'aire du domaine $D$ délimité par l'axe des $x$, le graphe de $f$ et les verticales $x=\frac{1}{2}$ et $x=5$.

On fait tourner le domaine $D$ autour de l'axe des $x$. Donner une primitive permettant de calculer le volume de ce solide de révolution. On ne demande pas de calculer ce volume.

Donner l'équation du cercle centré en $W$ et passant par $T$ (ce cercle est donc ${\mathcal{C}}_1$).

Déterminer, par calcul, les coordonnées du point de contact $U$ de la droite $(AB)$
avec le cercle ${\mathcal{C}}_1$.

Donner l'équation de la tangente $t$ au cercle ${\mathcal{C}}_1$ en $T$ (cette droite est donc
$(BC)$).

Vérifier, par calcul, que les coordonnées du sommet $C$ sont égales à $(3;4)$.

Vérifier, par calcul, que le symétrique du point $T$ par rapport à $b_C$ est $V(1;0)$.
Justifier que ce point est sur le côté $(AC)$ et former l'équation de $(AC)$.

Vérifier, par calcul, que les coordonnées des deux autres sommets du triangle
$ABC$ sont $A(-5;-12)$ et $B(15;-2)$.

Déterminer le centre et le rayon de ${\mathcal{C}}_2$.

Montrer : $2r_1+2r_2=CA+CB$.

Quelle est l'image par $f$ du vecteur $\vec{u}=\left(\begin{array}{c}-1\\ -3\end{array}\right)$ ?

Existe-t-il un ou plusieurs vecteurs $\vec{v}$ colinéaires à $\left(\begin{array}{c}8\\ 11\end{array}\right)$ tels que $f(\vec{v})=\left(\begin{array}{c}-\frac{1}{2}\\ -2\end{array}\right)$ ?
Si oui, donner ce(s) vecteur(s).

Montrer que $\vec{w}=\left(\begin{array}{c}2\\ 3\end{array}\right)$ est un vecteur propre de $f$.

Déterminer les valeurs propres de $f$. Donner un vecteur propre associé à chaque
valeur propre de $f$.
L'application linéaire $f$ est-elle bijective ? (Justifier votre réponse.)

Calculer la matrice $M^2$ de l'application linéaire $f^2=f\circ f$.
En déduire la matrice $M^6$ de l'application linéaire $f^6=f\circ f\circ f\circ f\circ f\circ f$.

Donner une interprétation géométrique précise de $f$.

Montrer que les équations suivantes

Déterminer les équations paramétriques de la droite $d$, intersection du plan $\alpha$
et du plan $\beta :28x+y+9z-66=0$.

On appelle $C_1$, $C_2$ et $C_3$ les points d'intersection respectifs du plan $\alpha$ avec les
axes $Ox$, $Oy$ et $Oz$. Calculer l'aire du triangle de sommets $C_1$, $C_2$ et $C_3$.

On donne les points $A(-4;3;-2)$ et $B(-6;7;4)$.
Calculer les coordonnées du point $I$ milieu du segment $[AB]$ et calculer la
distance de ce point $I$ au plan $\alpha$.

Déterminer les équations paramétriques de la droite $g$ passant par $I$ et perpendiculaire
au plan $\alpha$. Calculer les coordonnées du point $P$ qui est la projection
orthogonale du point $I$ sur le plan $\alpha$.

Déterminer l'équation cartésienne du plan $\gamma$, parallèle au plan $\alpha$, et contenant
le symétrique du point $I$ par rapport à $\alpha$. (Remarque : ce point symétrique
n'est pas demandé.)

Montrer que dans le plan de Gauss le triangle de sommets $z_0$, $z_1$ et $z_2$ est
équilatéral.

Déterminer le nombre $z_6$ ($z_6\ne z_2$) tel que le triangle de sommets $z_0$, $z_1$ et $z_6$
soit également équilatéral.

Un hexagone régulier est centré en $z_0=0$ ; ses sommets sont $z_1$, $z_2$, $z_3$, $z_4$, $z_5$
et $z_6$. Donner les sommets $z_3$, $z_4$ et $z_5$.

On donne la fonction complexe $f:\mathbb{C}\to \mathbb{C}$ définie par

Calculer $f(z_0)$, $f(z_1)$ et $f(z_2)$ ; puis en déduire une interprétation géométrique
simple de la fonction $f$.

Dans le plan de Gauss, les nombres complexes $z=x+iy$ dont les images
par $f$ sont sur l'axe réel forment une droite. Déterminer, par un calcul ou un
raisonnement géométrique, une équation de cette droite.