Examen de maturité 2018 — mathématiques

5 problèmes · durée 240 min · niveau renforcé (Suisse romande)

Épreuve officielle de la maturité gymnasiale suisse (niveau renforcé, 2018). Énoncés reproduits à des fins pédagogiques et de révision ; corrigé, méthodes et commentaires rédigés par MatuMath.

À propos de l'examen de maturité 2018 (niveau renforcé)

Cet examen de maturité gymnasiale de mathématiques 2018, de niveau renforcé, comporte 5 problèmes (25 sous-questions) pour un total de 62 points, à traiter en 240 minutes. La note finale suit le barème officiel : note = 1 + 5 × (points obtenus / points maximum), soit environ 60 % des points pour atteindre la moyenne de 4 — tu peux convertir tes points avec le calculateur de note.

Chapitres et notions couverts par cet examen :

Analyse Nombres complexes Suites Probabilités Géométrie analytique

Le corrigé détaillé de cet examen 2018 est disponible gratuitement dans l'application MatuMath, en mode chronométré ou en correction pas à pas. Un aperçu des énoncés figure ci-dessous. Réviser d'abord la théorie : fiches de maths.

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Problème 1 — Analyse

14 pts

Considérons la fonction $f (x) = (x + 5) 3 x^{2},$ dont on donne la dérivée première

f^{'} (x) = \frac{5 ( x + 2 )}{3 3 x} .

a)
Étudier complétement la fonction $f$ , en traitant les points suivants :
- Domaine de définition de $f$ , intersections éventuelles du graphe de $f$ avec les axes $O x$ et $O y$ .
- Recherche des éventuelles asymptotes au graphe de $f$ .
- Vérifier que la dérivée $f^{'}$ est bien celle donnée au début de l’exercice et détermination du domaine de dérivabilité de $f$ .
- Étude de la croissance de $f$ . Recherche des éventuels extremums de $f$ .
- Représentation graphique de $f$ , en se limitant à des valeurs de $x$ comprises entre $- 6$ et $2$ .
7 pts
b)
Calculer l’aire du domaine fermé délimité par l’axe $O x$ et le graphe de $f$ .
3 pts
c)
Calculer l’équation de la tangente $t$ au graphe de $f$ au point d’abscisse $x = 1$ .
2 pts
d)
Déterminer les coordonnées du point d’intersection de $t$ avec $O x$ .
2 pts

Problème 2 — Nombres complexes

12 pts

On considère les nombres complexes $z_{1} = 2 i$ et $z_{2} = 8 i$ .

a)
Calculer le nombre $w = \frac{( z _{2} ) ^{2}}{( z _{1} ) ^{5}}$ . Donner la réponse sous forme algébrique.
2 pts
b)
Résoudre l'équation $z^{2} = z_{1}$ . Donner les solutions sous forme algébrique.
2 pts
c)
Résoudre l'équation $z^{3} = z_{2}$ . Donner les solutions sous forme trigonométrique.

On rappelle, pour la suite du problème, qu’un nombre $z_{0}$ est un point invariant d’une fonction $f$ s’il satisfait l’équation $f (z_{0}) = z_{0}$ .
2 pts
d)
On considère la fonction complexe $f (z) = z_{1} \cdot z + z_{2}$ .

Déterminer le zéro de $f$ .
Déterminer le point invariant de $f$ .
Donner une interprétation géométrique de la fonction $f$ .
3 pts
e)
Trouver la fonction polynomiale $g (z)$ du deuxième degré qui a les propriétés suivantes : $z_{1} = 2 i$ et $z_{2} = 8 i$ sont les zéros de $g$ et $z_{0} = 4 i$ est un point invariant de $g$ .
2 pts
f)
On donne le polynôme $P (z) = z^{3} - 11 i z^{2} - 26 z + 16 i$ .

Prouver que $z_{1} = 2 i$ et $z_{2} = 8 i$ sont des zéros de $P$ , puis déterminer le troisième zéro de ce polynôme.
1 pts

Problème 3 — Suites

12 pts

Dans le plan muni d’un repère orthonormé, on donne la droite $d_{1}$ d’équation $3 x - y = 0$ et la droite $d_{2}$ d’équation $x - 3 y + 8 = 0$ .

a)
Déterminer les coordonnées de $A$ , le point d’intersection de $d_{1}$ avec $d_{2}$ . Vérifier la réponse.
2 pts
b)
Déterminer les coordonnées des sommets $B$ , $C$ et $D$ du losange $A B C D$ situé entièrement dans le premier quadrant et construit de la manière suivante :
- le côté $A D$ est sur $d_{1}$ et le côté $A B$ est sur $d_{2}$ .
- la longueur des côtés est de $210$ .
Si on ne trouve pas les sommets de ce losange, on prendra les points suivants pour la suite du problème :
$A (\frac{1}{2}; \frac{1}{2}), B (\frac{13}{2}; \frac{5}{2}), C (\frac{17}{2}; \frac{17}{2}), D (\frac{5}{2}; \frac{13}{2}) .$
3 pts
c)
Calculer les angles ainsi que l’aire du losange $A B C D$ .
3 pts
d)
On considère le cercle $Γ$ de rayon $r = 10 - 2$ , tangent aux droites $(A D)$ et $(A B)$ et intérieur au losange $A B C D$ . Déterminer les coordonnées du centre $Ω$ de $Γ$ .
2 pts
e)
Montrer que le point $(6 - 5; 8 - 5)$ est le centre du cercle inscrit dans le triangle $A B D$ .
2 pts

Problème 4 — Probabilités

12 pts

Pour mesurer l’impact d’un traitement sur la guérison d’une certaine maladie, on effectue un test sur 2'500 personnes atteintes de cette maladie.

On prescrit un médicament $A$ à 1'200 de ces personnes, on prescrit un médicament $B$ à 800 autres de ces personnes et un médicament sans substance active, un placebo, aux 500 dernières personnes.

Dans le groupe traité avec le médicament $A$ , on observe 700 guérisons.
Dans le groupe traité avec le médicament $B$ , on observe 500 guérisons.
Dans le groupe traité avec le placebo, on observe 250 guérisons.

On choisit au hasard une personne parmi les 2'500 personnes atteintes de cette maladie.
Les questions a), b), c), d), e) sont indépendantes.

a)
Calculer la probabilité qu’elle ait reçu le médicament $B$ ou qu’elle ait reçu le placebo.
1 pts
b)
Calculer la probabilité qu’elle ait reçu le médicament $A$ et qu’elle ne soit pas guérie.
1 pts
c)
Calculer la probabilité qu’elle soit guérie.
1 pts
d)
On constate qu’elle est guérie ; quelle est la probabilité que cette personne ait été traitée avec le placebo ?
2 pts
e)
Le fait qu’une personne soit guérie est-il indépendant du fait qu’elle ait été traitée avec le placebo ? Justifier la réponse.

On s’intéresse maintenant au médicament $B$ , qui semble être le plus approprié pour traiter cette maladie. On a constaté qu’en pharmacie, le prix de ce médicament suit une loi normale de moyenne égale à 35.90 frs avec un écart-type de 4.50 frs.
1 pts
f)
Calculer la probabilité qu’une boîte achetée en pharmacie coûte plus de 38 frs.

Un nouveau médicament $M$ est arrivé sur le marché. On constate qu’avec le médicament $M$ , le taux de guérison est de 80 \%.
2 pts
g)
Calculer la probabilité que sur 6 personnes malades et traitées avec ce médicament $M$ , plus de la moitié guérisse.
2 pts
h)
Calculer la plus petite valeur de $n$ ( $n$ entier) pour laquelle la probabilité qu’au moins une personne parmi $n$ personnes ne guérisse pas avec ce médicament $M$ soit supérieure à 99\%.
2 pts

Problème 5 — Géométrie plane

12 pts

Un rectangle contient deux disques tangents entre eux et tangents à certains côtés du rectangle, comme le montre la figure ci-contre.

Figure — examen de maturité 2018 (niveau renforcé), problème 5 — mathématiques

a)
L’aire du rectangle est égale à $42$ . Déterminer $x$ et $y$ pour que la somme des aires des deux disques soit minimale. Justifier que c’est bien un minimum.
7 pts
b)
Dans cette nouvelle question, on ne tient plus compte des disques. Sachant que la longueur de la diagonale du rectangle est égale à $22$ , déterminer $x$ et $y$ pour que l’aire du rectangle soit maximale. Justifier que c’est bien un maximum.
5 pts