Examen de maturité 2020 — mathématiques

Donner l'ensemble de définition de $f$.

Déterminer les équations des éventuelles asymptotes au graphe de $f$.

Montrer que la fonction dérivée de $f$ est donnée par

Calculer la dérivée seconde de $f$ et donner les coordonnées des éventuels points d'inflexion du graphe de $f$.

Représenter le graphe de $f$ dans un repère orthonormé.

Donner l'équation de la tangente au graphe de $f$ en son point d'abscisse $0$.

Calculer l'intégrale

Donner l'équation du cercle ${\Gamma }^{\ast }$ dont le segment $[PE]$ est un diamètre.

Déterminer les coordonnées du centre $C$ et le rayon $r$ du cercle $\Gamma$.

Prouver par un calcul que la droite $a$ est tangente au cercle $\Gamma$.

Vérifier que le point $P$ est sur le cercle $\Gamma$ et donner l'équation de la tangente $t$ à $\Gamma$ au point $P$.

Donner l'équation de la tangente à $\Gamma$, parallèle à la droite $a$.

Déterminer les équations des bissectrices des droites $a$ et $b$.

Donner les coordonnées du centre du cercle tangent à la droite $a$ au point $A(-6;-8)$ sachant que ce centre est sur la verticale d'équation $x=-3$.

Montrer que $A$ appartient à la droite $d$ et que $B$ n'appartient pas à la droite $d$.

On considère le plan $\beta$ qui contient le point $B$ et la droite $d$. Donner une équation cartésienne de $\beta$ et vérifier que $\beta$ passe par l'origine.

En calculant un angle, montrer qu'il n'est pas possible de trouver un point $C$ de la droite $d$ tel que le triangle $ABC$ soit équilatéral.

On considère un point $P$ de la droite $d$. Déterminer ses coordonnées s'il s'agit du point le plus proche de $B$.

On considère un point $D$ de la droite $d$. Déterminer ses coordonnées pour que le triangle $ABD$ soit isocèle au sommet $B$.

Sans faire de calculs, expliquer la marche à suivre pour trouver le point $E$ de la droite $d$ de sorte que le triangle $ABE$ soit isocèle au sommet $E$.

Déterminer le zéro de $f$. Donner la réponse sous la forme $x+yi$.

Donner une interprétation géométrique de cette fonction dans le plan de Gauss.

Déterminer le point invariant de $f$ (la solution de l'équation $f(z)=z$). En déduire une interprétation géométrique de $f$ ne faisant pas intervenir de translation.

Déterminer l'expression de la fonction $f\circ f$. Donner le point invariant de $f\circ f$.

Déterminer l'expression de la fonction réciproque de $f$.

Résoudre l'équation $f(z^2)=3f(z)$.

De combien de manières différentes les organisateurs peuvent-ils choisir les 18 jeunes qui participeront à ce stage ?

Fred et Mathieu se sont inscrits pour participer à ce stage. Si les participants sont choisis par un tirage au sort, quelle est la probabilité qu’ils participent les deux à ce stage ?

Combien y a-t-il de façons différentes d’attribuer les 18 chambres aux 18 heureux participants à ce stage ?

Après des années d’expérience, les organisateurs ont constaté que la probabilité d’attraper un rhume durant le stage est de 22\% pour une jeune fille et de 28\% pour un jeune homme. Quelle est la probabilité que 4 jeunes filles et 2 jeunes hommes attrapent un rhume durant le stage ?

On entend soudain un jeune éternuer, ayant attrapé un rhume. Quelle est la probabilité qu’il s’agisse d’une fille ?

Catherine a eu la chance d’être sélectionnée pour ce stage à 4 reprises durant ces dernières années. Quelle est la probabilité qu’elle ait attrapé au moins une fois un rhume ?

Pour se rendre à ce stage, les organisateurs ont acheté des billets d’avion Genève-Biarritz. En moyenne, le vol dure 68 minutes, avec un écart-type de 4 minutes.

Calculer la probabilité pour que la durée $D$ du vol aller de ce groupe de surfeurs soit comprise entre 66 minutes et 71 minutes.

Calculer la probabilité que ce vol dure plus de 73 minutes.