Examen de maturité 2016 — mathématiques

Montrer que $f(x)$ peut aussi s’écrire ainsi : $f(x)=\frac{e^{4x}}{1+e^{4x}}$, puis prouver que

Effectuer l’étude complète de cette fonction $f$, en traitant les points suivants:

• le domaine de définition, le signe de $f$ et les éventuelles intersections avec les axes des $x$ et des $y$;
• les éventuelles asymptotes (verticales, horizontales ou obliques);
• le tableau des variations de $f$ et les éventuels extremums;
• la représentation graphique de $f$, en faisant figurer toutes les éventuelles particularités trouvées

aux questions précédentes (intersections avec les axes, asymptotes, extremums).

Déterminer l’abscisse du point du graphe de $f$ en lequel la pente de la tangente vaut $1$, puis
donner l’équation de cette tangente.

Calculer pour quelle valeur du nombre $\alpha >0$ l’aire du domaine délimité par l’axe des $x$, les
droites verticales d’équation $x=0$ et $x=\alpha$, et le graphe de $f$ vaut exactement XMATHOPEN5MATHCLOSEX.

Soit $f$ une application linéaire de ${\mathbb{R}}^2$ dans ${\mathbb{R}}^2$, donnée par sa matrice

Existe-il des vecteurs invariants pour cette application $f$, c'est-à-dire des vecteurs qui sont
égaux à leur image par $f$ [et donc solution de l'équation $f(v)=v$] ? Si oui, lesquels ?

Déterminer le noyau et l'image de cette application linéaire $f$.

Cette application est-elle bijective ?
- Si oui, calculer la matrice de l'application linéaire réciproque de $f$.
- Si non, donner deux vecteurs différents dans ${\mathbb{R}}^2$ qui ont la même image par $f$.

Calculer les valeurs propres de $f$ et donner tous les vecteurs propres associés à chaque
valeur propre.

Partie 2 :

On cherche une application linéaire $g$ de ${\mathbb{R}}^2$ dans ${\mathbb{R}}^2$, telle que son ensemble image $\mathrm{Im}(g)$
soit égal à l’ensemble des vecteurs de la forme $\left(\begin{array}{c}2k\\ -4k\end{array}\right)$, où $k\in \mathbb{R}$.
Donner une matrice $M_g$ d’une telle application $g$.

L’application linéaire $g$ trouvée à la question 2.6 est-elle bijective ?

Donner l'ensemble des préimages de $\left(\begin{array}{c}-3\\ 5\end{array}\right)$ par $g$.

Partie 3 :

Donner la matrice $M_h$ de l'application linéaire $h$ de ${\mathbb{R}}^2$ dans ${\mathbb{R}}^2$,
telle que

Résoudre dans l’ensemble des nombres complexes l’équation $z^2-z+1=0$.
Donner les solutions sous forme algébrique et sous forme trigonométrique.

Résoudre dans l’ensemble des nombres complexes l’équation $z^6-z^3+1=0$.
Donner cette fois les solutions uniquement sous forme trigonométrique.

On donne la fonction complexe $f$ de $\mathbb{C}$ dans $\mathbb{C}$ définie par $f:z\to w=z^2+1$.

Trouver les zéros de cette fonction $f$.

Écrire l’image par $f$ de $z=x+iy$ sous la forme $w=u+iv$, avec $x,y,u,v\in \mathbb{R}$.

Trouver l’image par $f$ de la droite du plan de Gauss d’équation $y=x$.

Vérifier que l’image par $f$ de la droite d’équation $x=1$ n’est pas une droite.

Représenter dans le plan de Gauss l’image du triangle de sommets $z_1=0$, $z_2=1$ et $z_3=1+i$.

Représenter cette situation par un arbre.

Calculer la probabilité de gagner à ce jeu.

Le candidat tire d’abord la boule verte. Quelle est alors la probabilité qu’il perde à ce jeu ?

Jean regarde la retransmission de ce jeu à la télévision, mais en zappant, il ne voit que le
moment où le candidat saute de joie car il a gagné. Quelle est la probabilité que ce candidat
ait commencé le jeu en tirant la boule verte ?

Jean, passionné par ce jeu, le regarde 4 soirs de suite.
Quelle est la probabilité qu’il y ait au moins un gagnant ?

Lors de la saison passée, il y a eu 120 émissions de ce jeu diffusées à la télévision. En
utilisant l’approximation de la loi binomiale par la loi normale, calculer la probabilité qu’il
y ait eu entre 35 et 45 gagnants y compris au cours de cette saison.

Pour la prochaine saison de ce jeu, l’organisateur décide de modifier le nombre de boules pour
que la probabilité de gagner change. Il fixe cette probabilité à $18/55$. Il désire placer $x$ boules
dorées, $2x$ boules noires et deux boules vertes dans l’urne. On précise que si le candidat tire deux
fois une boule verte, il aura perdu.

Calculer le nombre de boules dorées et noires que devra contenir cette urne pour que les
exigences de l’organisateur soient satisfaites.

Déterminer des équations paramétriques de la droite $(AC)$ qui passe par $A$ et $C$.

Montrer que le triangle $ABC$ est rectangle en $B$, puis calculer son aire.

Donner une équation cartésienne du plan $\delta$ qui contient les points $A$, $B$ et $C$.

Déterminer les coordonnées du milieu $M$ du segment $[DC]$, puis donner l’équation du plan
$\pi$ qui est perpendiculaire au segment $[DC]$ et qui passe par $M$.

Calculer le point d’intersection $I$ de la droite $(AC)$ avec ce plan $\pi$.

Calculer la distance du point $A$ au plan $\pi$.

Montrer que le triangle $ABM$ est isocèle en $M$, c’est-à-dire que $MA=MB$.