Examen de maturité 2015 — mathématiques

5 problèmes · durée 240 min · niveau renforcé (Suisse romande)

Épreuve officielle de la maturité gymnasiale suisse (niveau renforcé, 2015). Énoncés reproduits à des fins pédagogiques et de révision ; corrigé, méthodes et commentaires rédigés par MatuMath.

À propos de l'examen de maturité 2015 (niveau renforcé)

Cet examen de maturité gymnasiale de mathématiques 2015, de niveau renforcé, comporte 5 problèmes (26 sous-questions) pour un total de 63 points, à traiter en 240 minutes. La note finale suit le barème officiel : note = 1 + 5 × (points obtenus / points maximum), soit environ 60 % des points pour atteindre la moyenne de 4 — tu peux convertir tes points avec le calculateur de note.

Chapitres et notions couverts par cet examen :

Suites Algèbre linéaire Probabilités Géométrie analytique

Le corrigé détaillé de cet examen 2015 est disponible gratuitement dans l'application MatuMath, en mode chronométré ou en correction pas à pas. Un aperçu des énoncés figure ci-dessous. Réviser d'abord la théorie : fiches de maths.

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Problème 1 — Suites

14 pts

On considère les fonctions $f$ du type $f (x) = a ln (x) \cdot (ln (x) + b)$ avec $a$ et $b$ des nombres réels non nuls.

a)
Calculer $f^{'} (x)$ , la dérivée de $f (x)$ .
2 pts
b)
Déterminer l'équation de la tangente au graphe de $f$ en son point d'abscisse $x = 1$ .
1 pts
c)
Déterminer les valeurs de $a$ et de $b$ pour lesquelles le graphe de $f$ possède une tangente horizontale au point $H (e; - 1)$ .

Pour la suite du problème, on choisit XMATHOPEN4MATHCLOSEX et XMATHOPEN5MATHCLOSEX, donc XMATHOPEN6MATHCLOSEX.
2 pts
d)
Étudier la fonction $f$ . On demande :
- L'ensemble de définition ;
- Les points d'intersection du graphe et des axes de référence ;
- Le tableau des signes de $f$ ;
- La limite à droite de $f$ en zéro ;
- Les coordonnées des éventuels points à tangente horizontale ainsi que les intervalles de croissance et de décroissance.
- La représentation graphique dans un repère orthonormé.
4 pts
e)
Résoudre l'équation $f (x) = 3$ .
1 pts
f)
Déterminer les valeurs des constantes $A$ , $B$ et $C$ de manière que la fonction
$F (x) = x (A ln^{2} (x) + B ln (x) + C)$
soit une primitive de la fonction $f$ .
2 pts
g)
Hachurer la surface fermée délimitée par le graphe de $f$ et l'axe des abscisses, puis calculer son aire.
2 pts

Problème 2 — Algèbre linéaire

10 pts

On considère l'application linéaire $f$ définie par sa matrice

A = (a^{2} ab ab b^{2})

où les nombres

a

b

sont réels et non nuls.

a)
Vérifier que les vecteurs $v = (- b a)$ et $w = (a b)$ sont des vecteurs propres de $f$ .
En déduire les valeurs propres de $f$ .

Pour la suite du problème, on pose XMATHOPEN4MATHCLOSEX et XMATHOPEN5MATHCLOSEX. Donc, XMATHOPEN6MATHCLOSEX est définie par la matrice XMATHOPEN7MATHCLOSEX.
3 pts
b)
Donner une interprétation géométrique précise de l'application linéaire $f$ .

On définit une autre application linéaire $g$ par sa matrice
$B = (34 4 - 3) .$
2 pts
c)
Déterminer les valeurs propres de $g$ . Donner un vecteur propre associé à chaque valeur propre de $g$ .
2 pts
d)
Donner la matrice de l'application linéaire réciproque de $g$ .
1 pts
e)
Calculer la matrice $C$ associée à l'application linéaire $f \circ g^{- 1}$ . Déterminer le noyau de $f \circ g^{- 1}$ .
2 pts

Problème 3 — Probabilités

13 pts

On fait tourner le rectangle ci-dessous autour de l'axe des $x$ d'abord, autour de celui des $y$ ensuite. On obtient ainsi deux corps de révolution de volumes respectifs $V_{1}$ et $V_{2}$ .

Figure — examen de maturité 2015 (niveau renforcé), problème 3 — mathématiques

a)
Dans cette première question, l'aire du rectangle vaut $4$ . Trouver les dimensions de ce rectangle sachant que la somme des volumes $V_{1}$ et $V_{2}$ est minimale.
7 pts
b)
Dans cette deuxième question, le périmètre du rectangle vaut $4$ . Trouver les dimensions de cet autre rectangle sachant que le produit des volumes $V_{1}$ et $V_{2}$ est maximal.
Indication. Vérifier que le produit des volumes peut s'écrire $π^{2} (2 x - x^{2})^{3}$ .
6 pts

Problème 4 — Géométrie plane

13 pts

On considère le plan $α$ :

⎩ ⎨ ⎧ x y z = - 2 λ + 2 μ = 6 + 3 λ + 3 μ = - 5 μ

a)
Déterminer par calcul si le point $P (1; \frac{5}{2}; \frac{3}{2})$ appartient au plan $α$ .
2 pts
b)
On appelle $A$ , $B$ et $C$ les points d'intersection respectifs du plan $α$ avec les axes $O_{x}$ , $O_{y}$ et $O_{z}$ . Vérifier que ces points sont $A (4; 0; 0)$ , $B (0; 6; 0)$ et $C (0; 0; 5)$ .
Calculer l'aire du triangle $A B C$ .
3 pts
c)
Déterminer les coordonnées du point du plan $α$ qui est le plus proche de l'origine $O (0; 0; 0)$ .
3 pts
d)
Calculer la distance de l'origine $O$ à la droite $(A B)$ .
2 pts
e)
Déterminer les équations paramétriques de la droite $d$ qui passe par le point $Q (2; 3; 2)$ et qui est parallèle à la fois au plan $α$ et au plan $(O A B)$ .
2 pts
f)
Calculer l'angle aigu formé par les deux plans $α$ et $β$ , où $β$ est le plan qui passe par l'origine $O$ et dont un vecteur normal est $n_{β} = - 15 1012$ .
1 pts

Problème 5 — Probabilités

13 pts

Une usine fabrique des appareils rouges et des appareils bleus.

Dans la camionnette de l'usine, le livreur a chargé $8$ de ces appareils, qu'il a pris au hasard dans l'entrepôt où se trouvaient $13$ appareils rouges et $10$ bleus. Comme ils sont tous emballés dans des cartons beiges, il n'a pas la moindre idée du nombre d'appareils de chaque couleur qu'il a ainsi chargés.

a)
Calculer la probabilité qu'il y ait le même nombre d'appareils de chaque couleur dans la camionnette.
2 pts
b)
Calculer la probabilité que tous les appareils dans la camionnette soient de la même couleur.
2 pts
c)
Calculer la probabilité que le livreur ait chargé au moins deux appareils bleus.

La durée de vie des appareils rouges suit une loi normale de moyenne $μ = 174$ jours et d'écart-type $σ = 29$ .
2 pts
d)
Calculer la probabilité que la durée de vie d'un appareil rouge soit comprise entre $205$ et $225$ jours.
3 pts
e)
Sur $200$ appareils rouges, combien de ceux-ci, en moyenne, auront-ils une durée de vie de plus de $160$ jours ?
2 pts
f)
Déterminer le nombre de jours à partir duquel la probabilité qu'un appareil rouge fonctionne encore est inférieure à $10%$ .
2 pts