Examen de maturité 2014 — mathématiques

5 problèmes · durée 240 min · niveau renforcé (Suisse romande)

Épreuve officielle de la maturité gymnasiale suisse (niveau renforcé, 2014). Énoncés reproduits à des fins pédagogiques et de révision ; corrigé, méthodes et commentaires rédigés par MatuMath.

À propos de l'examen de maturité 2014 (niveau renforcé)

Cet examen de maturité gymnasiale de mathématiques 2014, de niveau renforcé, comporte 5 problèmes (27 sous-questions) pour un total de 62 points, à traiter en 240 minutes. La note finale suit le barème officiel : note = 1 + 5 × (points obtenus / points maximum), soit environ 60 % des points pour atteindre la moyenne de 4 — tu peux convertir tes points avec le calculateur de note.

Chapitres et notions couverts par cet examen :

Analyse Algèbre linéaire Suites Nombres complexes Géométrie dans l'espace

Le corrigé détaillé de cet examen 2014 est disponible gratuitement dans l'application MatuMath, en mode chronométré ou en correction pas à pas. Un aperçu des énoncés figure ci-dessous. Réviser d'abord la théorie : fiches de maths.

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Problème 1 — Analyse

13 pts

Soit la fonction $f$ , définie par

f (x) = \frac{x ^{2} - e ^{x + 1}}{x ^{2} + e ^{x}} .

a)
Justifier que $IR$ est bien l'ensemble de définition de $f$ , puis déterminer ses asymptotes.
3 pts
b)
Vérifier que
$f^{'} (x) = \frac{( 2 x - x ^{2} ) ( e ^{x} + e ^{x + 1} )}{( x ^{2} + e ^{x} ) ^{2}},$
puis étudier la croissance de $f$ et donner les coordonnées de ses éventuels extremums.
4 pts
c)
Calculer $f (- 1)$ , puis tracer le graphe de $f$ dans un repère orthonormé.
3 pts
d)
Calculer l'angle $θ$ entre les tangentes aux deux points du graphe d'abscisses $0$ et $1$ respectivement.
3 pts

Problème 2 — Algèbre linéaire

13 pts

Aujourd'hui, c'est l'examen de maturité de mathématiques au lycée de la Forêt Verte. Regardons cet examen de plus près.

Dans l'énoncé, il y a 4 questions d'analyse, 2 questions de probabilités, 1 question d'algèbre linéaire, 3 questions de géométrie et 2 questions d'arithmétique.

a)
Les candidats ont le droit de traiter les questions dans l'ordre de leur choix. Dans combien d'ordres différents Bertrand peut-il traiter toutes les questions ?
1 pts
b)
Si l'on exige de plus que toutes les questions d'un même sujet soient traitées à la suite, mais dans l'ordre que l'on veut, dans combien d'ordres différents Ludivine peut-elle traiter toutes les questions ?

Si l'on demande aux candidats de ne traiter qu'une seule question de chacun des cinq sujets.
2 pts
c)
De combien de manières différentes Christian peut-il choisir les questions et dans combien d'ordres différents peut-il alors les traiter ?
2 pts
d)
Léa a choisi 5 questions au hasard, quelle est la probabilité qu'elle ait fait un choix compatible avec la consigne de la question 2.3 ?

Les rédacteurs de l'examen estiment que la probabilité qu'un candidat obtienne une note suffisante est de 58~\%.
2 pts
e)
Calculer la probabilité qu'exactement trois quarts des élèves du lycée obtiennent une note suffisante à cet examen, sachant qu'il y a 60 élèves qui passent l'examen de maturité dans cet établissement scolaire.
2 pts
f)
En utilisant l'approximation par la loi normale, déterminer la probabilité pour que moins de 45~\% de ces 60 élèves obtiennent une note insuffisante à cet examen.
2 pts
g)
La société pour l'Encouragement des Mathématiques décide d'offrir un prix aux meilleurs des 375 candidats de la région. Pour l'obtenir, il convient de figurer parmi les 8\% des meilleurs résultats. Sachant que cet examen est noté sur 180 points, que les résultats des candidats suivent une loi normale de moyenne 104 points et d'écart-type de 23 points, déterminer combien il faut obtenir de points au minimum pour décrocher ce prix.
2 pts

Problème 3 — Suites

12 pts

On note $I_{k}$ l'intégrale suivante : \ $I_{k} = \int_{0}^{1} x (1 - x)^{k - 1} d x$ , où $k$ est un nombre entier strictement positif.

a)
En utilisant l'intégration par parties, montrer que : $I_{k} = \frac{1}{k ( k + 1 )}$ .
3 pts
b)
On pose $S_{n} = I_{1} + I_{2} + \dots + I_{n}$ . Calculer $S_{1}$ , $S_{2}$ et $S_{3}$ .
3 pts
c)
Prouver à l'aide d'une démonstration par récurrence que $S_{n} = \frac{n}{n + 1}$ .
3 pts
d)
Montrer que la suite ${S_{n}}$ est strictement croissante et calculer \ $S_{\infty} = lim_{n \to \infty} S_{n}$ .
3 pts

Problème 4 — Nombres complexes

12 pts

Considérons l'équation \ $z^{3} + 2 z^{2} - 16 = 0$ , où $z$ désigne un nombre complexe.

a)
Vérifier que 2 est une solution de cette équation.
1 pts
b)
Déterminer toutes les solutions de cette équation. Donner ces solutions sous forme algébrique et sous forme trigonométrique.
3 pts
c)
Représenter les nombres complexes $a = - 2 - 2 i$ , $b = 2$ , $c = 2 + 4 i$ et $d = - 2 + 2 i$ dans le plan de Gauss et prouver que $ab c d$ forme un parallélogramme.
2 pts
d)
Appelons $e$ l'image du nombre $c$ par la rotation de centre $b$ et d'angle $- \frac{π}{2}$ et

$f$ l'image du nombre $c$ par la rotation de centre $d$ et d'angle $+ \frac{π}{2}$ .

Calculer $e$ et $f$ , puis les représenter dans le plan de Gauss.
2 pts
e)
Montrer que : $\frac{f - a}{e - a} = i$ .
2 pts
f)
Montrer que le triangle $a e f$ est isocèle en $a$ et rectangle en $a$ , en comparant les modules et les arguments des deux membres de l'égalité de la question 4.5.
2 pts

Problème 5 — Géométrie dans l'espace

12 pts

Dans l'espace muni d'un repère orthonormé, on donne les points $A (3; 0; 0)$ , $B (0; 4; 0)$ , $C (3; 4; 4)$ et $D (5; 4; - 2)$ .

a)
Montrer que le triangle $A B C$ est isocèle.
1 pts
b)
Déterminer les équations paramétriques de la droite $d$ , perpendiculaire au triangle $A B C$ et passant par le sommet $C$ de ce triangle.
2 pts
c)
Montrer que l'équation cartésienne du plan $α$ contenant le triangle $A B C$ est : \ $4 x + 3 y - 3 z - 12 = 0$ .
1 pts
d)
Calculer l'aire du triangle $A B C$ , la distance du point $D$ au plan $α$ ainsi que le volume du tétraèdre $A B C D$ .

On considère un deuxième plan $β$ , d'équation $6 x + 3 y + 2 z - 18 = 0$ et le point $E (7; 9; - 1)$ .
3 pts
e)
Calculer l'angle aigu $φ$ entre le plan $β$ et le plan contenant les axes $O y$ et $O z$ .
2 pts
f)
Le point $S (- 1; 1; 3)$ est le symétrique du point $E$ par rapport à un plan $π$ . Déterminer une équation cartésienne de ce plan $π$ .
3 pts