Examen de maturité 2013 — mathématiques

Étudier la fonction $f$. On demande :

• L'ensemble de définition et le signe de $f$.
• Les points d'intersection du graphe et des axes de référence.
• Les équations des éventuelles asymptotes.
• Les coordonnées des éventuels extrémums ainsi que les intervalles de croissance et de décroissance.
• La représentation graphique en utilisant comme échelle une unité égale à deux carreaux.

Calculer une primitive de $f$.

Calculer l'aire du domaine borné limité par le graphe de $f$ et la tangente au graphe de $f$ en son maximum.

Montrer que $\frac{1}{f(x)}=\frac{x}{3}+\frac{4}{3x^2}$ et donner une primitive de $\frac{1}{f}$.

Quelle est la probabilité d’obtenir $1$ vrai billet et $1$ faux billet ?

Quelle est la probabilité de n’obtenir que des faux billets ?

Si vous n'avez obtenu que des faux billets, quelle est la probabilité que vous ayez tiré les billets dans la boîte jaune ?

On joue 5 parties de ce jeu en remettant à chaque fois les billets dans la configuration initiale.

Quelle est la probabilité d'obtenir au moins un vrai billet ?

Quelle est la probabilité que dans exactement trois parties vous n'obteniez que des faux billets ?

Donner une équation vectorielle du plan $\pi$.

Décrire la position du plan $\pi$ par rapport aux axes de référence, et donner son équation cartésienne.

Calculer les coordonnées du point d'intersection de la droite $d$ et de la droite $g$ passant par $A$ et $B$. Calculer l'angle aigu entre ces deux droites.

Calculer la distance de la droite $d$ au plan $\pi$.

Le point $R$ se trouve sur la droite $d$ et forme avec les points $P$ et $Q$ un triangle rectangle en $R$.

Calculer les coordonnées de ce point $R$.

Décrire précisément l'ensemble $H$ de tous les points équidistants des trois points $P$, $Q$ et $R$. (On peut répondre à cette question sans connaître les coordonnées de $R$.) Donner une représentation paramétrique de $H$.

Optimisation de l'aire du triangle $MPQ$.

• Calculer, en fonction de $x$, l'aire du triangle $PMQ$. Utiliser que celle-ci est donnée par $\frac{1}{2}\cdot MP\cdot MQ\cdot \sin (\widehat{PMQ})$.
• Déterminer $x$ pour que l'aire du triangle $MPQ$ soit maximale.

Optimisation du périmètre du triangle $MPQ$.

• Montrer, à l'aide du théorème du cosinus dans le triangle $MPQ$, que le côté $PQ$ est de longueur $\sqrt{3x^2-15x+25}$.
• Déterminer $x$ pour que le périmètre du triangle $MPQ$ soit minimal.

Déterminer les zéros de $f$, c'est-à-dire les nombres complexes $z$ tels que $f(z)=0$.

Quels sont les nombres complexes $z$ tels que $f(z)=2z$ ?

Soit $y\in \mathbb{R}$, calculer $f(-1+iy)$. Montrer que, pour tout $y\in \mathbb{R}$, la valeur obtenue est réelle, et toujours inférieure ou égale à $4$.

On considère un nombre complexe de la forme $z=1+iy$ avec $y\in \mathbb{R}$. Déterminer la partie réelle $u$ et la partie imaginaire $v$ de $f(1+iy)$ en fonction de $y$.

Ayant écrit sous d) $u$ et $v$ en fonction de $y$, éliminer $y$ pour avoir $u$ en fonction de $v$. L'équation obtenue est celle d'une courbe dans le plan de Gauss des nombres $u+iv$; quelle est la nature de cette courbe ?