Examen de maturité 2011 — mathématiques

5 problèmes · durée 240 min · niveau renforcé (Suisse romande)

Épreuve officielle de la maturité gymnasiale suisse (niveau renforcé, 2011). Énoncés reproduits à des fins pédagogiques et de révision ; corrigé, méthodes et commentaires rédigés par MatuMath.

À propos de l'examen de maturité 2011 (niveau renforcé)

Cet examen de maturité gymnasiale de mathématiques 2011, de niveau renforcé, comporte 5 problèmes (23 sous-questions) pour un total de 60 points, à traiter en 240 minutes. La note finale suit le barème officiel : note = 1 + 5 × (points obtenus / points maximum), soit environ 60 % des points pour atteindre la moyenne de 4 — tu peux convertir tes points avec le calculateur de note.

Chapitres et notions couverts par cet examen :

Analyse Géométrie analytique Suites Probabilités

Le corrigé détaillé de cet examen 2011 est disponible gratuitement dans l'application MatuMath, en mode chronométré ou en correction pas à pas. Un aperçu des énoncés figure ci-dessous. Réviser d'abord la théorie : fiches de maths.

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Problème 1 — Analyse

16 pts

On considère la fonction $f_{k}$ donnée par $f_{k} (x) = e^{- x} + k x - 1$ où $k$ est un nombre réel.

a)
Etudier $f_{k}$ pour $k = \frac{1}{2}$ .

Indication : un des zéros de $f_{1/2}$ vaut environ 1.594.

On demande
- l'ensemble de définition, les èquations des asymptotes èventuelles, les coordonnées des èventuels extremums ainsi que les intervalles de croissance / décroissance ;
- la représentation graphique (unité : 5 carreaux).
- l'équation de la tangente $t$ au graphe de $f_{1/2}$ au point d'abscisse $x = - 1$ et sa représentation sur le dessin précédent.
8 pts
b)
Déterminer les valeurs de $k$ pour lesquelles la tangente au graphe de $f_{k}$ au point d'abscisse $x = 0$ fait un angle de $3 0^{\circ}$ avec l'axe des abscisses.
3 pts
c)
Déterminer la valeur de $k$ de sorte que $2$ soit un zéro de $f_{k}$ .

Calculer alors l'aire de la surface limitée par le graphe de cette fonction $f_{k}$ et l'axe des abscisses.
5 pts

Problème 2 — Géométrie plane

14 pts

Dans le plan muni d'un repère orthonormé, on considère le cercle $Γ$ centré à l'origine et de rayon $2$ , ainsi que le point $P (λ; 2)$ , où $λ$ est un nombre réel strictement positif.

De $P$ , on trace les tangentes $a$ et $b$ au cercle $Γ$ . On appelle $A$ et $B$ les points de contact respectifs des tangentes $a$ et $b$ avec le cercle $Γ$ .

a)
Calculer les coordonnées des points $A$ et $B$ .
3 pts
b)
Calculer les coordonnées du point $M$ intersection des droites $(A B)$ et $(O P)$ .
3 pts
c)
Pour quelle valeur de $λ$ , la droite $(A B)$ est-elle de pente ègale à $- 2$ ?
2 pts
d)
Calculer l'aire du quadrilatère $O A P B$ en fonction de $λ$ et déterminer pour quelle valeur de $λ$ cette aire est ègale à $10$ .
3 pts
e)
On pose $λ = 3$ . Déterminer l'équation d'une tangente $c$ au cercle $Γ$ telle que le triangle formé par les droites $a$ , $b$ et $c$ soit isocèle de sommet $P$ .
3 pts

Problème 3 — Suites

10 pts

En mélangeant un litre d'eau à la température $T$ et un litre d'eau à la température $T^{'}$ , on obtient deux litres d'eau à la température $\frac{T + T ^{'}}{2}$ .

A un litre d'eau à la température $T_{1} = 8 0^{\circ} C$ , on ajoute un litre d'eau à la température $2 0^{\circ} C$ , ce qui nous donne deux litres d'eau à la température $T_{2}$ .
On prélève alors un litre sur les deux litres ainsi obtenus et on lui ajoute un litre d'eau à la température $2 0^{\circ} C$ , ce qui nous donne deux litres à la température $T_{3}$ .
On prélève alors un litre sur les deux litres ainsi obtenus et on lui ajoute un litre d'eau à la température $2 0^{\circ} C$ , ce qui nous donne deux litres à la température $T_{4}$ .
En continuant ainsi, on fabrique une suite de températures $(T_{n})$ , telle que $T_{n + 1}$ est la température d'un mélange d'un litre d'eau à la température $T_{n}$ avec un litre d'eau à la température $2 0^{\circ} C$ .

a)
Calculer les températures $T_{2}$ , $T_{3}$ et $T_{4}$ .
1 pts
b)
Exprimer $T_{n + 1}$ en fonction de $T_{n}$ .

On considère maintenant la suite $(u_{n})$ définie par $u_{n} = T_{n} - 20$ .
1 pts
c)
Vérifier que la suite $(u_{n})$ est géométrique, donner le 1er terme et la raison puis exprimer $u_{n}$ en fonction de $n$ .
2 pts
d)
Trouver une formule permettant d'exprimer $T_{n}$ en fonction de $n$ .
1 pts
e)
Déterminer combien de fois il faudra répéter ces mélanges pour obtenir deux litres d'eau à une température inférieure à $2 1^{\circ} C$ .
2 pts
f)
Calculer $n \to + \infty lim T_{n}$ .
1 pts
g)
Que vaut la moyenne $T$ des 40 premières températures $T_{1}$ à $T_{40}$ ?
2 pts

Problème 4 — Analyse

10 pts

On désire construire un petit pavillon permettant d'observer le ciel à l'abri du froid.
Cette construction prendra la forme d'un cylindre de bois surmonté d'une demi-sphère de plexiglas et aura un volume de $\frac{22}{3} π m^{3}$ .

Le prix au $m^{2}$ de la coupole en plexiglas est de 125 CHF ; celui au $m^{2}$ de la paroi en bois est de 50 CHF. La construction n'a pas de fond.

a)
Si $h$ désigne la hauteur du cylindre et $x$ le rayon commun du cylindre et de la demi-sphère, montrer que
$h = \frac{22 - 2 x ^{3}}{3 x ^{2}} .$
3 pts
b)
Montrer que le coût de la construction est donné par
$C (x) = 550 π (\frac{4 + x ^{3}}{3 x}) .$
3 pts
c)
Déterminer $x$ et $h$ pour que le coût de la construction soit minimal.
4 pts

Problème 5 — Probabilités

10 pts

Ignorant les recommandations en vigueur, un quart des 36 touristes suisses partis en groupe en voyage en Malaisie ont négligé de se faire vacciner contre la malaria avant leur départ.

Huit de ces 36 touristes mangent le lundi soir au restaurant de l'hôtel Royal Garden de Kuala Lumpur.

a)
Quelle est la probabilité que, parmi ces 8 touristes, la proportion de touristes non vaccinés soit la même que dans l'ensemble du groupe ?
2 pts
b)
Quelle est la probabilité que, parmi ces 8 touristes, il y en ait au moins deux qui n'aient pas èté vaccinés ?

De manière générale, on sait que le nombre de cas de malaria en 2010 chez les touristes non vaccinés en Malaisie suit une loi normale d'espérance 1340 et d'écart-type 40.
2 pts
c)
Calculer la probabilité pour que le nombre de cas de malaria chez des touristes non vaccinés soit au plus ègal à 1468 pour l'année 2010.
2 pts
d)
Si l'on constate que la proportion du nombre de cas de malaria chez les touristes non vaccinés en 2010 n'a pas dépassé 25\%, combien cela représente-t-il de touristes atteints par la maladie au maximum ?
2 pts
e)
Si l'on sait qu'en 2010 le nombre de cas de malaria chez les touristes non vaccinés a èté supérieur à 1300, quelle est la probabilité que le nombre de ces touristes atteints par la malaria soit d'au moins 1260 et d'au plus 1460 ?
2 pts