Examen de maturité 2010 — mathématiques

le domaine de définition de $f$;

Considérons le domaine $D$ délimité par la courbe $y=f(x)$, l'axe $Ox$ et les deux droites d'équations $x=-1$ et $x=\alpha$, où $\alpha >-1$.

Déterminer pour quelle(s) valeur(s) du nombre $\alpha$ le volume de révolution $V$ obtenu par la rotation de ce domaine $D$ autour de l'axe $Ox$ vaut exactement $\frac{\pi }{3}(\alpha +4)$.

les éventuelles asymptotes de $f$;

le calcul de la dérivée $f^{\prime }(x)$ et de la dérivée seconde $f^{\prime \prime }(x)$;

les domaines de croissance/décroissance de $f$ et ses éventuels extremums (à l'aide d'un tableau);

la courbure et les éventuels points d'inflexion de $f$ (à l'aide d'un tableau);

la représentation graphique de $f$, en traçant également les asymptotes éventuelles.

Déterminer $\alpha >-1$ pour que $V=\frac{\pi }{3}(\alpha +4)$.

Résoudre l'équation $f(z)=9i$ et montrer que les trois solutions sont sur une même droite du plan de Gauss.

Prouver que le nombre $w_1=3i$ est un point fixe de cette fonction $f$, c'est-à-dire qu'il satisfait l'équation $f(z)=z$.

Déterminer $w_2$ et $w_3$, les deux autres points fixes de $f$, c'est-à-dire les deux autres solutions de l'équation $f(z)=z$.

Démontrer par un calcul que les trois points fixes $w_1$, $w_2$ et $w_3$ de $f$ sont les sommets d'un triangle équilatéral.

Rappel : on nomme axe imaginaire l'ensemble des nombres complexes dont la partie réelle est nulle.

Montrer que si un nombre $z$ est sur l'axe imaginaire, son image $f(z)$ sera également sur l'axe imaginaire.

Trouver les nombres réels dont les images par $f$ sont sur l'axe imaginaire.

Quelle est la probabilité qu'il réponde correctement à au moins une question ?

Quelle est la probabilité qu'il réponde correctement à exactement 3 questions ?

L'étudiant Bernard a préparé son examen de telle manière que pour chaque question :

• la probabilité qu'il réponde au hasard est égale à $\frac{1}{10}$ ;
• la probabilité qu'il ne réponde pas au hasard est égale à $\frac{9}{10}$ et, dans ce cas, on admet qu'il répond correctement.

L'étudiant Bernard se présente à l'examen.

Quelle est la probabilité qu'il réponde correctement à la première question ?

Quelle est la probabilité que, parmi ses deux premières réponses, une seule soit juste ?

Sachant que sa première réponse est juste, calculer la probabilité qu'il n'ait pas répondu au hasard à cette question.

Calculer la probabilité qu'il réussisse son examen.

Déterminer la matrice $M$ de $f$.

Montrer que l'application $f$ n'est pas bijective.

Déterminer les valeurs propres de $f$ et les vecteurs propres associés à ces valeurs propres.

Déterminer le noyau [noté $\mathrm{Ker}(f)$] et l'image [notée $\mathrm{Im}(f)$] de $f$.

Déterminer le vecteur $\vec{u}$ de $\mathrm{Ker}(f)$ dont la première composante vaut 10.
Déterminer le vecteur $\vec{v}$ de $\mathrm{Im}(f)$ dont la deuxième composante vaut 4.
Montrer alors que $(\vec{u};\vec{v})$ est une base de ${\mathbb{R}}^2$.

Déterminer la matrice $M^{\prime }$ de $f$ dans cette nouvelle base $(\vec{u};\vec{v})$.

En déduire que $f$ est la composée d'une projection vectorielle (dont on donnera la direction et la base) et d'une homothétie vectorielle (dont on donnera le rapport).

Donner l'équation cartésienne du plan $(ABC)$.

Vérifier que le point $D$ appartient aussi au plan $(ABC)$.

Établir des équations paramétriques des droites $(AC)$ et $(BD)$, puis calculer les coordonnées du point d'intersection $E$ de ces deux droites $(AC)$ et $(BD)$.

Prouver que le quadrilatère $ABCD$ est un losange et calculer son aire.

Calculer l'angle aigu $\theta$ déterminé par la droite $(BD)$ et le plan d'équation $z=0$.

Calculer la distance $\delta$ du plan $(ABC)$ à l'origine.

Trouver le point $P$ du plan $(ABC)$ qui est le plus proche de l'origine.