Examen de maturité 2009 — mathématiques

5 problèmes · durée 240 min · niveau renforcé (Suisse romande)

Épreuve officielle de la maturité gymnasiale suisse (niveau renforcé, 2009). Énoncés reproduits à des fins pédagogiques et de révision ; corrigé, méthodes et commentaires rédigés par MatuMath.

À propos de l'examen de maturité 2009 (niveau renforcé)

Cet examen de maturité gymnasiale de mathématiques 2009, de niveau renforcé, comporte 5 problèmes (23 sous-questions) pour un total de 61 points, à traiter en 240 minutes. La note finale suit le barème officiel : note = 1 + 5 × (points obtenus / points maximum), soit environ 60 % des points pour atteindre la moyenne de 4 — tu peux convertir tes points avec le calculateur de note.

Chapitres et notions couverts par cet examen :

Analyse Géométrie analytique Probabilités Algèbre linéaire Nombres complexes

Le corrigé détaillé de cet examen 2009 est disponible gratuitement dans l'application MatuMath, en mode chronométré ou en correction pas à pas. Un aperçu des énoncés figure ci-dessous. Réviser d'abord la théorie : fiches de maths.

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Problème 1 — Analyse

14 pts

On considère la fonction $f$ définie par $f (x) = e^{2 x} - 4 e^{x} + 3$ .

a)
Étudier la fonction $f$ en traitant les points suivants :
- le domaine de définition de $f$ , les zéros et le signe de $f$ ;
- les asymptotes éventuelles de $f$ ;
- la dérivée $f^{'} (x)$ et la dérivée seconde $f^{''} (x)$ ;
- les intervalles de croissance/décroissance de $f$ ainsi que les coordonnées de ses extremums et points d'inflexion éventuels ;
- la représentation graphique de $f$ .
8 pts
b)
Écrire l'équation de la tangente au graphe de $f$ au point d'abscisse $x = 0$ et la représenter sur le graphique de $f$ .
3 pts
c)
Déterminer la valeur exacte de l'aire du domaine fermé borné $D$ limité par le graphe de $f$ , la droite $y = 1$ et les droites verticales $x = 0$ et $x = ln (3)$ .
3 pts

Problème 2 — Géométrie plane

14 pts

Dans le plan muni d'un repère orthonormé, on considère un triangle $A B C$ dont on donne le cercle circonscrit $γ : 4 x^{2} + 4 y^{2} - 16 x + 12 y - 100 = 0$ , la droite $A B : x + 2 y - 9 = 0$ et le sommet $C (- 3; - 4)$ .

a)
Déterminer le centre et le rayon du cercle $γ$ .
2 pts
b)
Déterminer les coordonnées des points $A$ et $B$ sachant que l'ordonnée de $A$ est inférieure à celle de $B$ .
3 pts
c)
Calculer les angles intérieurs du triangle $A B C$ .
3 pts
d)
Calculer l'aire du triangle $A B C$ .
2 pts
e)
Déterminer le centre et le rayon du cercle $η$ inscrit dans le triangle $A B C$ et donner l'équation de $η$ .
3 pts
f)
Faire une figure soignée illustrant la résolution du problème.
1 pts

Problème 3 — Probabilités

11 pts

Dans un salon de jeu se trouvent 4 machines à sous $A$ , $B$ , $C$ et $D$ . La probabilité qu'un joueur gagne lorsqu'il est opposé à l'une des machines $B$ , $C$ , $D$ est égale à $0.3$ . Cette probabilité vaut $0.6$ avec la machine $A$ qui est déréglée.

Un joueur choisit au hasard une machine et fait une partie.

Un joueur fait 4 parties sur la machine $A$ .

a)
Un joueur choisit au hasard une machine et fait une partie. Quelle est la probabilité qu’il gagne ?
1 pts
b)
Quelle est la probabilité qu’il choisisse la machine $A$ et qu’il gagne ?
1 pts
c)
Sachant qu’il a gagné, quelle est la probabilité qu’il ait choisi la machine $A$ ?
2 pts
d)
Un joueur fait 4 parties sur la machine $A$ . Quelle est la probabilité qu’il gagne la première partie et une seule des trois autres ?
2 pts
e)
Quelle est la probabilité qu’il gagne au moins une fois (sur ces 4 parties sur la machine $A$ ) ?
1 pts
f)
En choisissant la machine $A$ , quel est le nombre minimal de parties à jouer pour que la probabilité de gagner au moins une fois soit supérieure à $0.999$ ?
2 pts
g)
Deux amis choisissent d'utiliser la machine $B$ et conviennent de jouer à tour de rôle jusqu'à ce que l'un d'eux gagne.
Quelle est la probabilité que le joueur qui commence gagne à sa troisième partie ?
2 pts

Problème 4 — Algèbre linéaire

11 pts

Dans $R^{2}$ , muni de sa base canonique, on considère la famille d'applications linéaires $f_{m}$ données par leur matrice

F_{m} = (m - 2 m - 3 2 2 m - 7), m \in R .

a)
Déterminer les valeurs du réel $m$ pour lesquelles l'application $f_{m}$ n'est pas bijective. Préciser pour la plus grande des valeurs $m$ trouvées le noyau et l'image de $f_{m}$ .
3 pts
b)
Déterminer la matrice inverse de $F_{0}$ .
2 pts
c)
Déterminer les valeurs propres et les vecteurs propres de l'application $f_{3}$ . En déduire que $f_{3}$ est une affinité dont on précisera l'axe, la direction et le rapport.
3 pts
d)
Déterminer le réel $λ \neq = 0$ pour que $(λ \cdot F_{4})^{2} = λ \cdot F_{4}$ .
3 pts

Problème 5 — Nombres complexes

11 pts

On considère le polynôme à coefficients complexes

g (z) = (a z + 1 - i) (z^{2} + (- 3 + i) z + 4 - 3 i) .

a)
Déterminer le nombre complexe $a$ tel que $g (1) = 4 - 4 i$ .
3 pts
b)
Résoudre l'équation $z^{2} + (- 3 + i) z + 4 - 3 i = 0$ .
3 pts
c)
Déterminer les solutions de l'équation $z^{3} = 1 - 2 i$ sous forme trigonométrique et algébrique.
5 pts