Examen de maturité 2008 — mathématiques

Calculer l'angle aigu $\theta$ que forment ces deux plans ${\pi }_1$ et ${\pi }_2$.

Donner des équations paramétriques de la droite $d_1$ formée par l'intersection des plans ${\pi }_1$ et ${\pi }_2$.

Pour tout nombre réel $\alpha$, considérons la sphère ${\Sigma }_{\alpha }$ définie par : $(x-\alpha {)}^2+(y-2\alpha {)}^2+z^2=81$.

Montrer que les centres de toutes ces sphères ${\Sigma }_{\alpha }$ se trouvent sur une même droite $d_2$ et donner des équations paramétriques de $d_2$.

Prouver que toutes ces sphères ${\Sigma }_{\alpha }$ présentent comme intersection avec le plan d'équation $z=0$ des cercles de même rayon, et donner la valeur de ce rayon.

Déterminer pour quelles valeurs du paramètre $\alpha$ ces sphères ${\Sigma }_{\alpha }$ possèdent plus d'un point commun avec le plan d'équation $y=0$.

On note $C_{\alpha }$ le centre de la sphère ${\Sigma }_{\alpha }$.
Trouver la valeur de $\alpha$ pour laquelle la distance du point $A(-3;14;8)$ à $C_{\alpha }$ est minimale.
En déduire la distance de $A$ à cette sphère ${\Sigma }_{\alpha }$.
Calculer le point $B$ sur cette sphère ${\Sigma }_{\alpha }$ qui est le plus proche du point $A$.

Calculer les fonctions dérivées $f^{\prime }$ et $f^{\prime \prime }$.

Montrer que le graphe de $f$ ne possède pas de point d'inflexion, quelle que soit la valeur de la constante $a$.

Trouver la valeur de $a$ pour laquelle le graphe de $f$ possède un point à tangente horizontale d'abscisse égale à $\frac{2}{e}$.

Pour toute la fin du problème, on pose $a=\frac{1}{e}$.

Procéder à une étude complète de la fonction $f$, en traitant les points suivants :

• le domaine de définition de $f$;
• les tableaux de signe de $f$ et de $f^{\prime }$;
• les zéros et les extrema, ainsi que les domaines de croissance/décroissance de $f$;
• les limites : $\underset{x\to e^{-1}}{\lim }f(x)$ et $\underset{x\to e^{-1}}{\lim }{f}^{\prime }(x)$;
• la représentation graphique de $f$.

Établir l'équation de la tangente $t$ au graphe de $f$, sachant que la pente de $t$ est égale à 1.

On considère la surface $S$ délimitée par le graphe de $f$, l'axe des abscisses et les droites $x=1+\frac{1}{e}$ et $x=2$. Hachurer cette surface $S$ sur votre graphique, puis calculer son aire.

Calculer $(x_2;y_2)$, $(x_3;y_3)$, $(x_4;y_4)$, $(x_5;y_5)$, $u_1$, $u_2$, $u_3$ et $u_4$.

Montrer par récurrence que $y_n>2^{n-1}$, pour tout nombre entier $n>1$.

Montrer par récurrence que $(x_n{)}^2-3(y_n{)}^2=1$, pour tout nombre entier $n>1$.
En déduire que $(u_n{)}^2-3=\frac{1}{(y_n{)}^2}$, pour tout nombre entier $n>1$.

Montrer que la suite $(u_n)$ converge vers $\sqrt{3}$.

Calculer la probabilité que l'élève interrogé lors du premier cours de l'année soit un garçon.

Calculer la probabilité que l'élève interrogé lors du huitième cours de l'année soit une fille.

Calculer la probabilité que 4 filles et 6 garçons soient interrogés durant les 10 prochains cours.

Calculer le plus petit nombre entier $n$ pour lequel la probabilité qu'aucun garçon ne soit interrogé durant $n$ cours consécutifs est inférieure à $0,002\%$.

Si le trimestre comporte 35 leçons, calculer le nombre moyen de filles qui seront interrogées.

Lors de l'examen de maturité oral, les probabilités respectives de tirer une question de géométrie, de probabilités, d'algèbre linéaire ou d'analyse forment une progression géométrique de raison 3. Il n'y a pas d'autres sujets possibles.
Calculer la probabilité qu'un candidat tire une question portant sur l'algèbre linéaire.

Après des années d'expérience, on a constaté que le temps utilisé par les élèves pour répondre aux questions de l'examen écrit de maturité est une variable aléatoire qui suit une loi normale de moyenne 208 minutes et d'écart-type 18 minutes.
Quelle est la probabilité qu'un élève rende sa copie avant 190 minutes ?

Calculer $\vec{c}=\vec{a}\times \vec{b}$, où ``$\times$'' désigne le produit vectoriel.

Trouver les images par $f$ des vecteurs $\vec{a}$, $\vec{b}$ et $\vec{c}$.

Résoudre l'équation $f(\vec{v})=\vec{v}$, où $\vec{v}$ désigne un vecteur de ${\mathbb{R}}^3$.

Montrer que $f$ est une symétrie orthogonale par rapport à un plan $\alpha$ et donner l'équation de ce plan $\alpha$.

Trouver l'image par $f$ du plan $\beta$ d'équation $2x-3y+z=0$.

Considérons l'application $g$ donnée par la matrice $G$ ci-dessus. La transformation $h$ est définie par la relation $h=g\circ f$. Donner la matrice $H$ de $h$.

Vérifier que $h(\vec{d})=\vec{d}$, pour $\vec{d}=\left(\begin{array}{c}1\\ -2\\ 1\end{array}\right)$.