Examen de maturité 2007 — mathématiques

Étudier la fonction $f$ (sans la seconde dérivée). Préciser en particulier le domaine de définition de $f$, les zéros et le signe de $f$, la dérivée $f^{\prime }(x)$, les intervalles de croissance/décroissance de $f$ et ses éventuels extrema et calculer la limite ${\lim }_{x\to 0^{+}}{f}^{\prime }(x)$ .

Dessiner la courbe $\gamma$ ainsi que les tangentes à $\gamma$ au point $A(5;0)$ .

Calculer la valeur de l’angle que forment les tangentes à la courbe $\gamma$ au point $A(5;0)$ .

Vérifier par calcul que la tangente à la courbe $\gamma$ au point $B(4;2)$ coupe $\gamma$ en un point d’ordonnée $\frac{9}{64}$ .

Déterminer une primitive de $f$ et calculer l’aire de la surface fermée formée par la courbe $\gamma$ .

Calculer $a_1$, $a_2$, $a_3$, $a_4$ et $a_5$ .

Vérifier que $a_n$ est divisible par $(2+n)$ pour $n=1$, $2$, $3$, $4$ et $5$ .

Soit $b_n=\frac{a_n}{2+n}$ . Calculer $b_1$, $b_2$, $b_3$, $b_4$ et $b_5$ .

En déduire une formule pour calculer $a_n$ en fonction de $n$ (valable pour ces cinq termes).

Vérifier par récurrence que la formule trouvée en 2.2 est valable pour tout entier $n$ strictement positif.

Donner la loi de probabilité de la variable aléatoire $X$ qui est égale à la somme dépensée par abonné interrogé. Répondre à l’aide d’un tableau :

Calculer l’espérance mathématique $\overline{X}$ et l’écart-type ${\sigma }_X$ de la variable aléatoire $X$ .

De plus, une étude a montré que le public de ce théâtre est relativement jeune, puisque 65\% des abonnés ont moins de 30 ans. Parmi ces jeunes spectateurs, la répartition des types d’abonnements est la suivante :

• 40\% d’entre eux ont acheté l’abonnement « découverte » ;
• 40\% d’entre eux ont acheté l’abonnement « amateur » ;
• les autres ont acheté l’abonnement « passion ».

Lors d’un sondage, la direction du théâtre appelle un abonné choisi au hasard.

Partie B

Quelle est la probabilité que cet abonné ait 30 ans ou plus ?

Si l’on sait que l’abonné appelé a moins de 30 ans, quelle est la probabilité qu’il ait choisi la formule « amateur » ?

Calculer la probabilité que cet abonné ait moins de 30 ans et qu’il ait choisi la formule « amateur ».

Montrer que la probabilité pour que l’abonné soit âgé de 30 ans ou plus et qu’il ait choisi la formule « amateur » vaut 0.04 .

Calculer la probabilité que l’abonné ait choisi la formule « amateur » s’il a 30 ans ou plus.

Trouver une équation cartésienne du plan $\pi$ .

Vérifier que $A$ , $B$ et $C$ sont trois sommets d’un carré $ABCD$ et calculer les coordonnées du sommet $D$ .

Soit la sphère $\Gamma$ de centre $E(9;5;7)$ qui passe par le point $A$ .

Trouver une équation cartésienne de $\Gamma$ et vérifier que la sphère passe aussi par les points $B$ , $C$ et $D$ .

Trouver une équation cartésienne du plan $\beta$ qui est tangent à $\Gamma$ au point $B$ et calculer l’angle que forment $\pi$ et $\beta$ .

Trouver des équations paramétriques de la droite d’intersection $t$ des plans $\pi$ et $\beta$ .

Calculer les coordonnées des points d’intersection $A$ et $B$ des deux paraboles et trouver une équation de la droite $d$ qui passe par $A$ et $B$ .

Calculer en fonction de $x$ la distance de la droite $d$ au point $P(x;y)$ , puis l’aire $S(x)$ du triangle $ABP$ .

Trouver pour quelle valeur de $x$ l’aire $S(x)$ est maximale ; calculer alors les coordonnées du point $P$ correspondant au triangle $ABP$ dont l’aire est maximale.

Donner cette aire maximale.

Trouver une équation de la tangente $t$ en $P$ à la parabole $p_1$ .

Dessiner le triangle $ABP$ ainsi que la tangente $t$ .