Examen de maturité 2006 — mathématiques

5 problèmes · durée 240 min · niveau renforcé (Suisse romande)

Épreuve officielle de la maturité gymnasiale suisse (niveau renforcé, 2006). Énoncés reproduits à des fins pédagogiques et de révision ; corrigé, méthodes et commentaires rédigés par MatuMath.

À propos de l'examen de maturité 2006 (niveau renforcé)

Cet examen de maturité gymnasiale de mathématiques 2006, de niveau renforcé, comporte 5 problèmes (17 sous-questions) pour un total de 60 points, à traiter en 240 minutes. La note finale suit le barème officiel : note = 1 + 5 × (points obtenus / points maximum), soit environ 60 % des points pour atteindre la moyenne de 4 — tu peux convertir tes points avec le calculateur de note.

Chapitres et notions couverts par cet examen :

Analyse Géométrie analytique Nombres complexes Optimisation Probabilités

Le corrigé détaillé de cet examen 2006 est disponible gratuitement dans l'application MatuMath, en mode chronométré ou en correction pas à pas. Un aperçu des énoncés figure ci-dessous. Réviser d'abord la théorie : fiches de maths.

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Problème 1 — Analyse

15 pts

a)
Montrer que l’ensemble des points d’inflexion des graphes des fonctions $f_{k}$ et $g_{k}$
définies par
$f_{k} (x) = x e^{k x}, g_{k} (x) = x e^{- k x}; x \in R, k \in N^{*}$
se situent sur la droite $d$ d’équation $y = \frac{1}{e ^{2}} x$ .
6 pts
b)
Montrer que l’ensemble de tous les points extremum des graphes des fonctions
$f_{k} (x)$ et $g_{k} (x)$ sont aussi sur une droite dont on demande l’équation.
5 pts
c)
Déterminer les équations des tangentes aux graphes de $f_{1}$ et de $g_{1}$ en leurs points
d’inflexion.
4 pts

Problème 2 — Géométrie

15 pts

On considère une sphère $Γ$ de centre
$M (0; 0; 3)$ et de rayon $r = 3$ ainsi que le
point $S (0; 0; 8)$ .

On définit un cône droit $C$ de sommet $S$
dont $Γ$ est la sphère inscrite et tangente au
cône $C$ . Le cône $C$ a la hauteur $h = 8$ .

Figure — examen de maturité 2006 (niveau renforcé), problème 2 — mathématiques

a)
Calculer le rayon $R$ du cercle de base du cône $C$ .
4 pts
b)
Calculer le volume $V$ du cône $C$ .
2 pts
c)
Déterminer l’équation du plan $α$ qui contient le cercle de contact $Γ \cap C$ .
4 pts
d)
Le plan $α$ découpe la sphère en une grande et petite calotte. Calculer le volume du
corps contenu entre le cône $C$ et la plus petite des deux calottes.
5 pts

Problème 3 — Nombres complexes

10 pts

Soit, dans $C$ , l’équation :

P_{3} (z) = 2 z^{3} - (1 + 2 i) z^{2} + (- 1 + 25 i) z + 13 i = 0 (1)

a)
Vérifier que le nombre $z = - \frac{1}{2}$ est une solution de l’équation (1) donnée.
2 pts
b)
Montrer que le polynôme d’équation (1) peut s’écrire sous la forme
$P_{3} (z) = (z + \frac{1}{2}) (p z^{2} + q z + r), (2)$
où $p$ , $q$ et $r$ sont trois nombres complexes à déterminer.
3 pts
c)
Résoudre l’équation $P_{3} (z) = 0$ en utilisant (2) et les résultats obtenus sous 3.2.
5 pts

Problème 4 — Optimisation

10 pts

Le centre $M$ d’un cercle $γ$ de rayon 6 appartient à la parabole $Γ$ d’équation
$y = 1 - 2 x^{2}$ .

Soit $P$ et $Q$ les points d’intersection du cercle $γ$ et de l’axe $O y$ .

a)
Représenter soigneusement la parabole et le triangle $M P Q$ en choisissant un point
$M$ d’abscisse supérieure à 1.
4 pts
b)
Déterminer le point $M$ de telle sorte que l’aire du triangle $M P Q$ soit maximale.
6 pts

Problème 5 — Probabilités

10 pts

Un fabricant de biscuits a trouvé une astuce publicitaire pour améliorer la vente de ses
produits. Dans le tiers des paquets mis en vente, il insère un bon permettant de recevoir
des plaquettes de chocolat gratuites : 70\% de ces bons permettent de gagner une unique
plaquette de chocolat, alors que les 30\% qui restent donnent droit à deux plaquettes de
chocolat.

a)
Calculer la probabilité qu’un client qui achète un paquet de biscuits gagne une
plaquette de chocolat.
2 pts
b)
Jean-François a acheté un paquet de biscuits dans lequel il a trouvé un bon. Quel
est la probabilité que ce bon lui donne droit à une plaquette de chocolat ?
1 pts
c)
Michel achète deux paquets de biscuits. Quelle est la probabilité qu’il obtienne
ainsi deux plaquettes de chocolat gratuites, si, dans le premier paquet, il n’y avait
pas de bon donnant droit à une plaquette gratuite ?

Une association de consommateurs veut vérifier que la publicité est bien conforme à la
réalité, et, pour ce faire, va acheter des lots de dix paquets de ces biscuits dans plusieurs
magasins. Nous noterons $X$ la variable aléatoire égale au nombre de ces dix paquets qui
ne donnent pas droit à du chocolat.
3 pts
d)
Calculer $\overset{ˉ}{X}$ , la moyenne de $X$ et $σ_{X}^{2}$ la variance de $X$ .
2 pts
e)
Calculer la probabilité pour que $X = 5$ , c’est à dire que la moitié exactement des
paquets ne donnent pas droit à un chocolat parmi 10 paquets achetés.
2 pts