Trigonométrie dans le triangle

triangle ayant un angle droit. Le côté opposé à l'angle droit est l'hypoténuse ; les deux autres sont les cathètes.

$\sin \alpha = \dfrac{\text{cathète opposée}}{\text{hypoténuse}}$.

$\cos \alpha = \dfrac{\text{cathète adjacente}}{\text{hypoténuse}}$.

$\tan \alpha = \dfrac{\text{cathète opposée}}{\text{cathète adjacente}} = \dfrac{\sin\alpha}{\cos\alpha}$.

triangle $ABC$ de côtés $a, b, c$ (opposés aux sommets $A, B, C$) et d'angles $\alpha, \beta, \gamma$ aux sommets correspondants.

unité d'angle : $180° = \pi$ rad. Conversion : $\alpha_{\text{rad}} = \alpha_{\text{deg}} \cdot \dfrac{\pi}{180}$.

dans un triangle rectangle d'hypoténuse $c$ : $a^2 + b^2 = c^2$.

$\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$ pour tout angle $\alpha$.

dans un triangle quelconque $ABC$ :

$\alpha + \beta + \gamma = 180° = \pi$ rad.

• Identifier l'hypoténuse et l'angle de référence.
• Choisir la relation : sin, cos ou tan selon les éléments connus.
• Utiliser Pythagore pour le dernier côté si besoin.

• 3 côtés (SSS) : utiliser la loi des cosinus pour obtenir un angle.
• 2 côtés et angle compris (SAS) : loi des cosinus pour le 3e côté, puis loi des sinus.
• 2 angles et 1 côté (AAS / ASA) : somme des angles, puis loi des sinus.
• 2 côtés et angle non compris (SSA) : loi des sinus, attention au cas ambigu.

appliquer directement $\mathcal{A} = \dfrac{1}{2} ab \sin \gamma$.

multiplier par $\pi/180$ (deg $\to$ rad) ou $180/\pi$ (rad $\to$ deg).

Dans un triangle rectangle en $C$, $AB = 10$ (hypoténuse) et $\widehat{A} = 35°$. Calculer $BC$ et $AC$.

$BC = AB \cdot \sin 35° \approx 10 \cdot 0{,}574 \approx 5{,}74$.
$AC = AB \cdot \cos 35° \approx 10 \cdot 0{,}819 \approx 8{,}19$.

Triangle $ABC$ avec $a = 7$, $b = 5$, $\gamma = 60°$. Calculer $c$.

$c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos \gamma = 49 + 25 - 70 \cdot \tfrac{1}{2} = 39$.

$c = \sqrt{39} \approx 6{,}24$.

Triangle $ABC$ avec $\alpha = 40°$, $\beta = 75°$, $a = 8$. Calculer $b$.

$\dfrac{b}{\sin 75°} = \dfrac{8}{\sin 40°} \Rightarrow b = \dfrac{8 \sin 75°}{\sin 40°} \approx \dfrac{8 \cdot 0{,}966}{0{,}643} \approx 12{,}02$.

Triangle avec $a = 6$, $b = 8$, $\gamma = 30°$. Aire : $\mathcal{A} = \tfrac{1}{2} \cdot 6 \cdot 8 \cdot \sin 30° = 24 \cdot \tfrac{1}{2} = 12$.

pour un triangle quelconque, utiliser la loi des sinus ou des cosinus.

toujours vérifier le mode avant de calculer $\sin, \cos, \tan$. Les examens suisses utilisent les deux.

avec 2 côtés et un angle non compris, il peut y avoir 0, 1 ou 2 triangles solutions. Vérifier les conditions.

$\cos \alpha < 0$ si $\alpha > 90°$. Attention aux signes.

conserver plusieurs décimales dans les calculs intermédiaires et arrondir seulement à la fin.

Je connais sin, cos, tan dans le triangle rectangle (SOH-CAH-TOA).

Je connais les valeurs remarquables aux angles 0°, 30°, 45°, 60°, 90°.

Je sais appliquer le théorème de Pythagore.

Je sais appliquer la loi des sinus et la loi des cosinus.

Je sais calculer l'aire d'un triangle avec deux côtés et l'angle compris.

Je sais convertir degrés $\leftrightarrow$ radians.

Je sais résoudre un triangle complet (les 3 côtés et 3 angles) dans les 4 cas de figure.