Équations trigonométriques

équation faisant intervenir au moins une fonction trigonométrique de l'inconnue (typiquement $x$).

puisque $\sin$ et $\cos$ sont $2\pi$-périodiques, si $x_0$ est solution, $x_0 + 2k\pi$ l'est aussi pour tout $k \in \Z$.

pour $\tan$, $\pi$-périodique, les solutions sont de la forme $x_0 + k\pi$.

on restreint souvent à $[0, 2\pi[$ ou $[-\pi, \pi]$ pour énumérer les solutions dans une seule période.

• Si $|k| > 1$ : pas de solution réelle.
• Sinon : déterminer un angle de référence $a$ tel que $\sin a = k$ (resp. $\cos a = k$).
• Appliquer la formule des équations de base.
• Éventuellement restreindre les solutions à un intervalle donné.

• Poser $t = \sin x$ (ou $t = \cos x$).
• Résoudre l'équation polynomiale en $t$.
• Ne retenir que les valeurs avec $|t| \leq 1$.
• Pour chaque valeur valide, résoudre l'équation trigonométrique correspondante.

• Utiliser $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$ pour tout remettre en fonction d'une seule quantité.
• Ou utiliser une formule d'addition / duplication pour simplifier.
• Pour $a \sin x + b \cos x = c$, passer par la forme $R \sin(x + \varphi) = c$.

• Trouver toutes les solutions sous la forme générale ($+ 2k\pi$ ou $+ k\pi$).
• Donner à $k$ des valeurs entières et ne retenir que celles qui tombent dans l'intervalle.

Résoudre $\sin x = \dfrac{1}{2}$ dans $[0, 2\pi[$.

Angle de référence : $a = \pi/6$. Donc $x = \pi/6 + 2k\pi$ ou $x = \pi - \pi/6 + 2k\pi = 5\pi/6 + 2k\pi$.

Dans $[0, 2\pi[$ : $\mathcal{S} = \{\pi/6,\; 5\pi/6\}$.

Résoudre $2\cos^2 x - \cos x - 1 = 0$ dans $[0, 2\pi[$.

Poser $t = \cos x$ : $2t^2 - t - 1 = 0 \Rightarrow t = 1$ ou $t = -\dfrac{1}{2}$.

$\cos x = 1 \Rightarrow x = 0$.
$\cos x = -\dfrac{1}{2} \Rightarrow x = 2\pi/3$ ou $x = 4\pi/3$.

$\mathcal{S} = \{0,\; 2\pi/3,\; 4\pi/3\}$.

Résoudre $\sin x = \cos x$ dans $[0, 2\pi[$.

Si $\cos x \neq 0$ : $\tan x = 1 \Rightarrow x = \pi/4 + k\pi$.

Dans $[0, 2\pi[$ : $\mathcal{S} = \{\pi/4,\; 5\pi/4\}$.

Résoudre $\sin 2x = \sin x$ dans $[0, 2\pi[$.

$2 \sin x \cos x - \sin x = 0 \Rightarrow \sin x (2 \cos x - 1) = 0$.

$\sin x = 0 \Rightarrow x = 0, \pi$.
$\cos x = 1/2 \Rightarrow x = \pi/3, 5\pi/3$.

$\mathcal{S} = \{0,\; \pi/3,\; \pi,\; 5\pi/3\}$.

$\sin x = \sin a$ a DEUX familles ($a + 2k\pi$ ET $\pi - a + 2k\pi$). Ne pas en oublier une.

quand l'énoncé restreint à $[0, 2\pi[$, ne garder que les solutions dans cet intervalle.

peut faire perdre des solutions. Toujours factoriser plutôt que diviser.

vérifier d'emblée que $|k| \leq 1$ pour $\sin x = k$ ou $\cos x = k$.

$\sin$ et $\cos$ sont $2\pi$-périodiques ; $\tan$ est $\pi$-périodique. L'expression générale des solutions en dépend.

Je connais les solutions générales de $\sin x = \sin a$, $\cos x = \cos a$, $\tan x = \tan a$.

Je connais les valeurs remarquables pour identifier l'angle de référence.

Je sais traiter une équation polynomiale en $\sin$ ou $\cos$ par changement de variable.

Je sais traiter une équation mixte (sin + cos) avec une formule de duplication ou factorisation.

Je sais restreindre les solutions à un intervalle donné.

Je vérifie toujours que $|k| \leq 1$ avant de résoudre $\sin x = k$.