Cercle trigonométrique et identités

cercle de centre $O$ et de rayon $1$ dans un repère orthonormé. Un angle $\theta$ est mesuré depuis l'axe des abscisses positives, dans le sens trigonométrique (anti-horaire).

pour un point $M$ du cercle associé à l'angle $\theta$ : $\cos \theta$ est l'abscisse de $M$, $\sin \theta$ son ordonnée. Elles sont définies pour tout $\theta \in \R$.

$\tan \theta = \dfrac{\sin \theta}{\cos \theta}$, définie pour $\cos \theta \neq 0$, soit $\theta \neq \dfrac{\pi}{2} + k\pi$.

$\sin$ et $\cos$ sont $2\pi$-périodiques ; $\tan$ est $\pi$-périodique.

$\cos$ est paire : $\cos(-\theta) = \cos \theta$. $\sin$ et $\tan$ sont impaires : $\sin(-\theta) = -\sin \theta$, $\tan(-\theta) = -\tan \theta$.

$\pi$ rad $= 180°$. $1$ tour complet $= 2\pi$ rad.

$\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$.

• Placer l'angle $\theta$ sur le cercle trigonométrique.
• Lire l'abscisse (cosinus) et l'ordonnée (sinus) du point correspondant.
• Utiliser les symétries (par rapport aux axes) pour ramener à un angle remarquable.

• Identifier une identité applicable (Pythagore, duplication, addition).
• Remplacer $\sin^2$ par $1 - \cos^2$ ou vice-versa.
• Factoriser ou développer selon le but (simplifier ou linéariser).

• Quadrant I ($0 < \theta < \pi/2$) : $\sin > 0$, $\cos > 0$.
• Quadrant II ($\pi/2 < \theta < \pi$) : $\sin > 0$, $\cos < 0$.
• Quadrant III ($\pi < \theta < 3\pi/2$) : $\sin < 0$, $\cos < 0$.
• Quadrant IV ($3\pi/2 < \theta < 2\pi$) : $\sin < 0$, $\cos > 0$.

$\cos(150°) = \cos(180° - 30°) = -\cos(30°) = -\dfrac{\sqrt{3}}{2}$.

$\sin(150°) = \sin(180° - 30°) = \sin(30°) = \dfrac{1}{2}$.

Sachant $\sin \theta = \dfrac{3}{5}$ avec $\theta$ dans le premier quadrant, calculer $\sin 2\theta$.

$\cos \theta = \sqrt{1 - 9/25} = \dfrac{4}{5}$ (positif car $\theta$ au I).

$\sin 2\theta = 2 \sin \theta \cos \theta = 2 \cdot \dfrac{3}{5} \cdot \dfrac{4}{5} = \dfrac{24}{25}$.

Simplifier $\cos(a+b) + \cos(a-b)$.

$= [\cos a \cos b - \sin a \sin b] + [\cos a \cos b + \sin a \sin b] = 2 \cos a \cos b$.

$\sin^2 \theta = (\sin \theta)^2$, alors que $\sin \theta^2 = \sin(\theta^2)$.

toujours vérifier le signe en identifiant le quadrant de l'angle.

ne jamais distribuer un sinus ou un cosinus sur une somme. Utiliser la formule d'addition.

aux points $\theta = \pi/2 + k\pi$, $\tan$ n'est pas définie (asymptote verticale).

en trigonométrie, le sens positif est le sens anti-horaire. Un angle négatif correspond au sens horaire.

Je sais placer un angle sur le cercle trigonométrique.

Je connais les valeurs remarquables de sin, cos, tan.

Je connais l'identité $\sin^2 + \cos^2 = 1$.

Je sais utiliser les angles associés ($\pi - \theta$, $\pi + \theta$, $\pi/2 - \theta$, $-\theta$).

Je connais les formules d'addition et de duplication.

Je connais les formules de linéarisation (carré $\to$ angle double).

Je sais déterminer le signe de sin et cos par quadrant.