Puissances et racines

Pour $a\in \mathbb{R}$ et $n\in \mathbb{N}$ :

Pour $a\in {\mathbb{R}}^{\ast }$ et $n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$ :

$a$ = base, $n$ = exposant.

Pour $a\in {\mathbb{R}}^{+}$ et $n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$ :

• $\sqrt{[}2]a=\sqrt{a}$ (racine carrée), $\sqrt{[}3]a$ (racine cubique).
• Si $a<0$ : $\sqrt{[}n]a$ est définie en réels seulement si $n$ est impair (alors $\sqrt{[}n]a<0$).

Pour $a>0$, $p\in \mathbb{Z}$, $q\in {\mathbb{N}}^{\ast }$ :

(pour $a,b\in \mathbb{R}$, avec conditions indiquées) :

• $a^m\cdot a^n=a^{m+n}$ (mêmes bases).
• $\frac{a^m}{a^n}=a^{m-n}$ (si $a\ne 0$).
• $(a^m{)}^n=a^{mn}$.
• $(ab{)}^n=a^n{b}^n$ (utile surtout si $n\in \mathbb{Z}$).
• ${\left(\frac{a}{b}\right)}^n=\frac{a^n}{b^n}$ (si $b\ne 0$).
• $a^{-n}=\frac{1}{a^n}$ (si $a\ne 0$).

(en général pour $a,b\ge 0$, $n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$) :

• $\sqrt[n]{ab}=\sqrt[n]{a}\sqrt[n]{b}$.
• $\sqrt[n]{\frac{a}{b}}=\frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}}(b>0)$.
• $(\sqrt[n]{a}{)}^n=a$.
• $\sqrt[n]{a^n}=|a|$ si $n$ est pair, et $\sqrt[n]{a^n}=a$ si $n$ est impair.

(pour $a>0$) :

• $a^{\frac{1}{q}}=\sqrt[q]{a}$, $a^{\frac{p}{q}}=\sqrt[q]{a^p}$.
• $a^{-\frac{p}{q}}=\frac{1}{a^{\frac{p}{q}}}$.

En général :
$\sqrt[n]{a+b}\ne \sqrt[n]{a}+\sqrt[n]{b}$.

• Regrouper les termes de même base : utiliser $a^m{a}^n=a^{m+n}$ et $\frac{a^m}{a^n}=a^{m-n}$.
• Transformer les exposants négatifs : $a^{-n}=\frac{1}{a^n}$.
• Simplifier les produits/quotients de nombres : séparer $(ab{)}^n=a^n{b}^n$ si ça aide.
• Vérifier les conditions : divisions par $0$, base nulle avec exposant négatif, etc.

• Factoriser le nombre sous la racine pour isoler une puissance $n$-ième : $a=c^n\cdot d$.
• Sortir la puissance parfaite : $\sqrt{n}{c}^{n}d=c\sqrt[n]{d}$ (avec $c\ge 0$ si $n$ pair).
• Réduire le nombre sous la racine au plus simple (éviter des grands nombres).

• Si $\frac{1}{\sqrt{a}}$ : multiplier haut et bas par $\sqrt{a}$.
• Si $\frac{1}{u+\sqrt{v}}$ : multiplier par le conjugué $u-\sqrt{v}$.
• Simplifier le résultat.

• Reconnaître : $\sqrt[q]{a^p}\leftrightarrow a^{p/q}$ (avec $a>0$ au niveau réels).
• Simplifier en utilisant les règles des puissances, puis revenir en racines si souhaité.

• Mettre sous la forme $(\text{expression}{)}^2=k$ avec $k\ge 0$.
• Prendre la racine carrée : $\text{expression}=\pm \sqrt{k}$.
• Isoler $x$ et vérifier (surtout si transformations ont pu ajouter des solutions).

• $a^n$ (avec $n\in \mathbb{N}$) : multiplications répétées (croissance rapide si $|a|>1$, décroissance vers $0$ si $0<|a|<1$).
• $\sqrt{x}$ : inverse de $x^2$ sur $x\ge 0$ (même idée pour $\sqrt[n]{x}$ et $x^n$ selon la parité).

• $f(x)=x^2$ : définie sur $\mathbb{R}$, $f(x)\ge 0$, symétrie par rapport à l’axe $y$.
• $g(x)=\sqrt{x}$ : définie sur $[0,+\infty )$, $g(x)\ge 0$, croissante.
• Lien : $g$ est la réciproque de $f$ restreinte à $x\ge 0$.

$\sqrt{a+b}\ne \sqrt{a}+\sqrt{b}$.

$\sqrt{a^2}=\left|a\right|$ (et pas forcément $a$).

$\frac{a^m}{a^n}$ exige $a\ne 0$ (et tout dénominateur $\ne 0$).

$a^{-n}$ n’a pas de sens si $a=0$.

$0^0$ est non défini dans la plupart des contextes scolaires.

• $\sqrt[3]{-8}=-2$ (indice impair : OK).
• $\sqrt{-16}$ n’est pas définie dans $\mathbb{R}$ .

au niveau réel, on retient en pratique

attention aux erreurs de signe avec les conjugués :

Je sais appliquer $a^m{a}^n=a^{m+n}$ et $a^m/a^n=a^{m-n}$ (avec $a\ne 0$).

Je transforme correctement $a^{-n}$ en $\frac{1}{a^n}$.

Je sais simplifier $(a^m{)}^n=a^{mn}$.

Je sais extraire une puissance parfaite d’une racine (ex. $\sqrt{72}=6\sqrt{2}$).

Je sais quand $\sqrt[n]{a}$ est définie dans $\mathbb{R}$ (selon le signe de $a$ et la parité de $n$).

Je n’écris jamais $\sqrt{a+b}=\sqrt{a}+\sqrt{b}$.

Je sais que $\sqrt{a^2}=\left|a\right|$.

Je sais rationaliser un dénominateur avec $\sqrt{\cdot }$ (et avec un conjugué si besoin).

Je sais résoudre $(x-a{)}^2=k$ en écrivant $x-a=\pm \sqrt{k}$.

Je sais relier racines et puissances rationnelles : $a^{1/q}=\sqrt[q]{a}$ (avec $a>0$ en réels).