Fonctions et équations exponentielles

pour $a>0$ et $a\ne 1$, on définit

équation dans laquelle l'inconnue apparaît en exposant (ex. $2^{x-1}=8$).

$10^x$ (base $10$) et $e^x$ (base $e\simeq 2,71828$).

• Fonction puissance : $x\mapsto x^n$ (exposant fixe, base variable).
• Fonction exponentielle : $x\mapsto a^x$ (base fixe, exposant variable).

• $a^x>0$ pour tout $x\in \mathbb{R}$ ; donc pas de zéro.
• Si $a>1$, $a^x$ est strictement croissante. Si $0<a<1$, elle est strictement décroissante.
• Le point $(0,1)$ appartient toujours au graphe car $a^0=1$.

(pour $a>0$, $a\ne 1$ et $x,y\in \mathbb{R}$, $n\in \mathbb{Z}$) :

(base $a>0$, $a\ne 1$) :

(utile pour résoudre) :

• Placer les points \ $(0,1)$ \ et \ $(1,a)$.
• Ajouter éventuellement \ $(-1,1/a)$.
• Utiliser : \ $a>1$ $\Rightarrow$ courbe croissante ; \ $0<a<1$ $\Rightarrow$ décroissante.
• Penser à l'asymptote horizontale : \ $y=0$.

$a^{u(x)}=a^{v(x)}$ :

• Vérifier que les deux membres sont des puissances de même base $a$.
• Appliquer l'injectivité : \ $u(x)=v(x)$.
• Résoudre l'équation obtenue (souvent linéaire).

• Exprimer chaque terme comme puissance d'une même base (souvent $2$, $3$, $10$).
• Simplifier avec les règles de puissances.
• Conclure avec \ $a^u=a^v\iff u=v$.

$a^{2x}$, $a^x$ (substitution) :

• Identifier une même « brique » : $a^x$.
• Poser $t=a^x$ (avec condition $t>0$).
• Transformer l'équation en une équation en $t$ (souvent du 2e degré).
• Résoudre en $t$, garder seulement $t>0$, puis revenir à $x$ via $a^x=t$.

• Isoler une exponentielle : $a^{f(x)}=b$.
• Prendre un logarithme (par ex. $\ln$) des deux côtés.
• Utiliser : $f(x)=\frac{\ln b}{\ln a}$ puis résoudre.
• Vérifier : les conditions : $a>0$, $a\ne 1$, $b>0$.

Domaine : $\mathbb{R}$. Image : ${\mathbb{R}}_{>0}$.

$y=0$ (la courbe s'en approche sans la toucher).

Points repères : $(0,1)$ et $(1,a)$.

Sens de variation :

• $a>1$ : croissance (plus $a$ est grand, plus la croissance est rapide).
• $0<a<1$ : décroissance (souvent on note $a=\frac{1}{b}$ avec $b>1$).

$y=k{a}^{x-h}+c$

• $h$ : décalage horizontal (droite si $h>0$).
• $k$ : étirement vertical (et symétrie par rapport à l'axe des $x$ si $k<0$).
• $c$ : décalage vertical ; asymptote devient $y=c$.

[Voir graphique dans la fiche complète]

On sait que le point $P(4;9)$ est sur la courbe $y=a^x$ avec $a>0$, $a\ne 1$.
Alors $9=a^4$. On en déduit :

Résoudre $4^{x-2}=16$.
On écrit tout en base $2$ :

Résoudre $2^{2x+2}-7\cdot 2^{x+1}=8$.
On factorise les puissances :

Résoudre $10^x=562$.
On prend ${\log }_{10}$ des deux côtés :

$2^x$ (exponentielle) n'est pas $x^2$ (puissance).

une exponentielle $a^x$ exige $a>0$ et $a\ne 1$ (sinon fonction constante $1$).

si $t=a^x$, ne pas oublier $t>0$. On rejette toute solution $t\le 0$.

$\ln (b)$ ou $\log (b)$ n'existent que pour $b>0$. Donc on ne peut pas prendre le log d'un nombre négatif ou nul.

avant de « simplifier », vérifier qu'on ne divise pas par $0$ (en exponentielle, $a^x\ne 0$, donc souvent sûr).

$a^x+a^y\ne a^{x+y}$ (règle fausse très fréquente).

pour $0<a<1$, la fonction est décroissante (même si $a$ est « positif »).

Je sais définir une fonction exponentielle $f(x)=a^x$ avec $a>0$, $a\ne 1$.

Je connais les règles : $a^x{a}^y=a^{x+y}$, $\frac{a^x}{a^y}=a^{x-y}$, $(a^x{)}^n=a^{nx}$.

Je sais que $a^x>0$ et que $(0,1)$ est toujours sur le graphe.

Je sais : $a>1$ $\Rightarrow$ croissante ; $0<a<1$ $\Rightarrow$ décroissante.

Je sais résoudre $a^{u(x)}=a^{v(x)}$ en égalant les exposants.

Je sais réécrire sur une base commune (souvent $2$, $3$ ou $10$).

Je sais poser $t=a^x$ quand il y a $a^{2x}$ et $a^x$ (et garder $t>0$).

Je sais isoler $a^{f(x)}=b$ puis utiliser un logarithme : $f(x)=\frac{\ln b}{\ln a}$.

Je vérifie les conditions : base $a>0$, $a\ne 1$ et côté droit $b>0$ si j'utilise un log.