Puissances, racines, exp & log · niveau commun

Applications concrètes

Fiche vérifiée par Stéphane Hartmann (ing. EPFL) · Mise à jour : juillet 2026

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Définition

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Variation en pourcentage :

augmenter de $p %$ revient à multiplier par $1 + \frac{p}{100}$ ; diminuer de $p %$ revient à multiplier par $1 - \frac{p}{100}$ .

Croissance/décroissance exponentielle (discrète) :

une quantité change de la même proportion à chaque période.

Q (t) = Q_{0} \cdot a^{t}, a > 0

Facteur de croissance :

$a = 1 + r$ si $r$ est le taux par période (ex. $r = 0, 03$ pour $3%$ ).

Croissance/décroissance exponentielle (continue) :

Q (t) = Q_{0} e^{k t} (k \in R)

Logarithme :

pour $a > 0$ , $a \neq = 1$ , et $x > 0$ ,

lo g_{a} (x) = y ⟺ a^{y} = x .

Domaines typiques :

intérêts composés, inflation, démographie, dépréciation, radioactivité (demi-vie), échelles logarithmiques (pH, décibels, Richter), lois de refroidissement/approche (modèles en $e^{k t}$ ).

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Formules essentielles

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Pourcentages

Ajouter p % : \times (1 + \frac{p}{100}), Retrancher p % : \times (1 - \frac{p}{100}) .

Modèle exponentiel discret (périodes entières)

Q (t) = Q_{0} (1 + r)^{t}, r > - 1, t \in {0, 1, 2, \dots}

Modèle exponentiel continu

Q (t) = Q_{0} e^{k t}, t \geq 0

Lien discret / continu (utile pour interpréter)

(1 + r)^{t} = e^{t l n (1 + r)} \Rightarrow k = ln (1 + r) .

Résoudre une équation exponentielle (avec logarithmes)

Q_{0} (1 + r)^{t} = Q ⟺ (1 + r)^{t} = \frac{Q}{Q _{0}} ⟺ t = \frac{ln ( \frac{Q}{Q _{0}} )}{ln ( 1 + r )} .

Temps de doublement / de multiplication

Q (t) = Q_{0} (1 + r)^{t}, Q (t) = m Q_{0} \Rightarrow t = \frac{ln ( m )}{ln ( 1 + r )} .

Demi-vie (radioactivité)

Q (t) = Q_{0} \cdot 2^{- t / T}, T > 0

et donc

\frac{Q ( t )}{Q _{0}} = 2^{- t / T} \Rightarrow t = T \frac{ln ( \frac{Q _{0}}{Q ( t )} )}{ln 2} .

Règles de logarithmes (pour $x, y > 0$ )

ln (x y) = ln x + ln y, ln (\frac{x}{y}) = ln x - ln y, ln (x^{k}) = k ln x .

Changement de base (si nécessaire)

lo g_{a} (x) = \frac{ln x}{ln a} = \frac{lo g x}{lo g a} .

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Méthodes

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Pour modéliser une croissance/décroissance en % (périodes régulières) :

Identifier $Q_{0}$ (valeur initiale) et le taux $r$ par période (en décimal).
Choisir le facteur $a = 1 + r$ (croissance) ou $a = 1 - r$ (décroissance).
Écrire $Q (t) = Q_{0} \cdot a^{t}$ avec $t$ = nombre de périodes.
Vérifier : à $t = 0$ , on retrouve $Q (0) = Q_{0}$ .

Pour calculer une valeur future (projection) :

Écrire le modèle $Q (t) = Q_{0} a^{t}$ .
Remplacer $t$ par le nombre de périodes et calculer.
Donner une réponse avec unités (CHF, habitants, mg, …) et arrondir raisonnablement.

Pour retrouver la valeur passée $Q_{0}$ (retour en arrière) :

Partir de $Q (t) = Q_{0} a^{t}$ .
Isoler $Q_{0}$ : \ $Q_{0} = \frac{Q ( t )}{a ^{t}}$ .
Calculer et interpréter (valeur à l'origine).

Pour déterminer le temps $t$ (quand atteindre un seuil) :

Écrire $Q_{0} a^{t} = Q_{cible}$ .
Diviser par $Q_{0}$ : $a^{t} = \frac{Q _{cible}}{Q _{0}}$ .
Prendre un logarithme (souvent $ln$ ) : $t ln a = ln (\frac{Q _{cible}}{Q _{0}})$ .
Isoler $t$ : $t = \frac{ln ( \frac{Q _{cible}}{Q _{0}} )}{ln a}$ .
Contrôle : : si $Q_{cible} > Q_{0}$ et $a > 1$ , alors $t > 0$ .

Pour déterminer un taux $r$ à partir de deux valeurs :

Partir de $Q (t) = Q_{0} (1 + r)^{t}$ .
Isoler $(1 + r)^{t} = \frac{Q ( t )}{Q _{0}}$ .
Prendre $ln$ : $t ln (1 + r) = ln (\frac{Q ( t )}{Q _{0}})$ .
Isoler $1 + r = exp (\frac{1}{t} ln (\frac{Q ( t )}{Q _{0}}))$ puis $r = (1 + r) - 1$ .

Pour interpréter une relation logarithmique (échelles) :

Identifier la base ( $lo g_{10}$ souvent) et la grandeur mesurée.
Comprendre qu'une différence en échelle log correspond à un rapport en grandeur réelle.
Utiliser les règles : $lo g (x) - lo g (y) = lo g (\frac{x}{y})$ .

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Interprétations et graphiques

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Lecture d'un modèle discret $Q (t) = Q_{0} a^{t}$ :

$Q_{0}$ : valeur initiale.
$a$ : facteur multiplicatif par période.
$a > 1$ : croissance (courbe qui monte) ; $0 < a < 1$ : décroissance (courbe qui descend vers $0$ ).

Taux et facteur :

si $r$ est le taux (en décimal), alors $a = 1 + r$ .

Exemple : $+ 3% \Rightarrow a = 1, 03$ ; $- 15% \Rightarrow a = 0, 85$ .

Temps de doublement :

plus $r$ est grand, plus le doublement est rapide :

t_{\times 2} = \frac{ln 2}{ln ( 1 + r )} .

Exponentialité = % constant :

si chaque année on ajoute le même % (et pas la même quantité), alors le modèle est exponentiel.

Échelles logarithmiques :

une augmentation de $1$ unité sur une échelle en base $10$ correspond à une multiplication par $10$ de la grandeur réelle.

Graphe typique : croissance vs décroissance (discret, prolongé en continu pour visualiser).

Figure : puissance racine exp et log 4 applications

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Exemples-types

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Intérêts composés (projection).

Un capital de $C_{0} = 15000$ CHF est placé à $3, 5%$ par an, capitalisation annuelle. Quelle valeur après $18$ ans ?

C (18) = 15000 \cdot (1 + 0, 035)^{18} = 15000 \cdot 1, 03 5^{18} .

Calcul (arrondi) :

1, 03 5^{18} \approx e^{18 l n (1, 035)} \approx e^{18 \cdot 0, 0344} \approx e^{0, 619} \approx 1, 857.

Donc

C (18) \approx 15000 \cdot 1, 857 \approx 27855 CHF .

Interprétation : à taux fixe, la croissance est exponentielle.

Dépréciation (valeur future).

Une voiture achetée 15 000 CHF perd $15%$ de sa valeur chaque année. Quelle valeur après $4$ ans ?

V (4) = 15000 \cdot (1 - 0, 15)^{4} = 15000 \cdot 0, 8 5^{4} .

0, 8 5^{2} = 0, 7225, 0, 8 5^{4} = (0, 7225)^{2} \approx 0, 522.

V (4) \approx 15000 \cdot 0, 522 \approx 7830 CHF .

Interprétation : décroissance exponentielle vers

0

Temps pour doubler (logarithmes).

Une population augmente de $7%$ par an. Après combien d'années double-t-elle ?

P (t) = P_{0} \cdot 1, 0 7^{t} .

Doubler signifie

P (t) = 2 P_{0}

1, 0 7^{t} = 2 \Rightarrow t = \frac{ln 2}{ln ( 1 , 07 )} .

ln 2 \approx 0, 693, ln (1, 07) \approx 0, 0677 \Rightarrow t \approx \frac{0 , 693}{0 , 0677} \approx 10, 2.

Réponse : environ

10

ans (un peu plus).

Demi-vie (radioactivité).

Une substance suit $Q (t) = Q_{0} \cdot 2^{- t / T}$ . On observe qu'après $1$ an, il reste $99, 57%$ de la quantité initiale. Estimer $T$ .

\frac{Q ( 1 )}{Q _{0}} = 0, 9957 = 2^{- 1/ T} .

Prendre

ln

ln (0, 9957) = ln (2^{- 1/ T}) = - \frac{1}{T} ln 2.

Donc

T = \frac{ln 2}{- ln ( 0 , 9957 )} .

Approximation :

ln (0, 9957) \approx - 0, 00431, ln 2 \approx 0, 693 \Rightarrow T \approx \frac{0 , 693}{0 , 00431} \approx 161.

Réponse : demi-vie d'environ

161

ans.

⚠️

Pièges et cas particuliers

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Confusion % vs facteur :

$+ 5%$ signifie $\times 1, 05$ (pas $+ 0, 05$ en valeur absolue).

Deux diminutions successives ne s'additionnent pas :

$- 10%$ puis $- 10%$ donne $\times 0, 9 \times 0, 9 = \times 0, 81$ (soit $- 19%$ , pas $- 20%$ ).

Domaines :

$ln (x)$ et $lo g (x)$ ne sont définis que pour $x > 0$ .

Attention à la base :

$ln$ (base $e$ ) et $lo g$ (souvent base $10$ ) ne donnent pas les mêmes valeurs, mais conduisent au même résultat final si on reste cohérent.

Signe de $t$ :

si $0 < a < 1$ et qu'on cherche un seuil plus grand que $Q_{0}$ , l'équation n'a pas de solution en $t \geq 0$ (le modèle décroît).

Arrondis :

arrondir à la fin pour éviter des erreurs (surtout pour des puissances).

Unités :

toujours préciser l'unité de $t$ (années, minutes, …) et vérifier la cohérence du taux par période.

Valeur négative impossible :

un modèle exponentiel $Q_{0} a^{t}$ reste positif si $Q_{0} > 0$ et $a > 0$ (utile pour détecter une erreur de saisie).

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À retenir

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Je sais convertir un taux $p %$ en facteur $1 + \frac{p}{100}$ (ou $1 - \frac{p}{100}$ ).

Je reconnais une situation exponentielle (même % à chaque période).

Je sais écrire $Q (t) = Q_{0} (1 + r)^{t}$ et identifier $Q_{0}$ , $r$ , $t$ .

Je sais calculer une valeur future et une valeur passée avec le modèle.

Je sais résoudre $Q_{0} a^{t} = Q$ pour $t$ avec les logarithmes.

Je sais calculer un temps de doublement (ou pour multiplier par $m$ ).

Je sais retrouver un taux $r$ à partir de deux valeurs (avec $ln$ ).

Je vérifie la cohérence : signe de $t$ , croissance/décroissance, unités.

Je maîtrise les règles : $ln (x y)$ , $ln (x / y)$ , $ln (x^{k})$ .

Je sais interpréter une échelle logarithmique comme un rapport.

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