Puissances, racines, exp & log · niveau commun

Logarithmes

Fiche vérifiée par Stéphane Hartmann (ing. EPFL) · Mise à jour : juillet 2026

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Définition

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Idée clé :

un logarithme retrouve un exposant.

Logarithme en base $a$ :

si $a > 0$ et $a \neq = 1$ , et si $b > 0$ , alors

lo g_{a} (b) est l’unique r \overset{e}{ˊ} el x tel que a^{x} = b .

Équivalence (définition) :

x = lo g_{a} (b) ⟺ a^{x} = b .

Domaines / conditions :

Argument : $b > 0$ (on ne prend pas le logarithme d'un nombre $\leq 0$ en réels).
Base : $a > 0$ et $a \neq = 1$ .

Notations usuelles :

$lo g (b)$ : logarithme décimal (base $10$ ), donc $lo g (b) = lo g_{10} (b)$ .
$ln (b)$ : logarithme naturel (base $e$ ), donc $ln (b) = lo g_{e} (b)$ .

Fonctions :

pour $a > 0$ , $a \neq = 1$ , la fonction $f (x) = lo g_{a} (x)$ est définie pour $x > 0$ .

Lien avec l'exponentielle :

$f (x) = lo g_{a} (x)$ est la fonction réciproque de $g (x) = a^{x}$ .

🧮

Formules essentielles

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Définition (rappel) :

$x = lo g_{a} (b) ⟺ a^{x} = b$ (avec $a > 0$ , $a \neq = 1$ , $b > 0$ ).

Valeurs de base :

pour tout $a > 0$ , $a \neq = 1$ ,

lo g_{a} (1) = 0, lo g_{a} (a) = 1.

Réciprocité (attention aux conditions) :

lo g_{a} (a^{x}) = x (pour tout x \in R), a^{l o g_{a} (x)} = x (pour x > 0) .

Lois des logarithmes

(pour $x > 0$ , $y > 0$ , et $q \in R$ ) :

lo g_{a} (x y) = lo g_{a} (x) + lo g_{a} (y),

lo g_{a} (\frac{x}{y}) = lo g_{a} (x) - lo g_{a} (y),

lo g_{a} (x^{q}) = q lo g_{a} (x),

lo g_{a} (\frac{1}{x}) = - lo g_{a} (x) .

Changement de base

(pour $a > 0$ , $a \neq = 1$ , $x > 0$ ) :

lo g_{a} (x) = \frac{lo g ( x )}{lo g ( a )} = \frac{ln ( x )}{ln ( a )} .

Monotonie (utile pour comparer) :

si $a > 1$ , alors $lo g_{a}$ est croissante ;
si $0 < a < 1$ , alors $lo g_{a}$ est décroissante.

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Méthodes

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Pour passer d'une écriture logarithmique à exponentielle :

Identifier la base $a$ , l'argument $b$ , et le résultat $x$ dans $lo g_{a} (b) = x$ .
Réécrire immédiatement : $a^{x} = b$ .
Vérifier que $a > 0$ , $a \neq = 1$ , et $b > 0$ .

Pour évaluer un logarithme ``sans calculatrice'' :

Reconnaître une puissance : écrire $b$ sous la forme $a^{k}$ si possible.
Conclure : $lo g_{a} (a^{k}) = k$ .
Exemples rapides : $lo g (1000) = 3$ , $ln (e^{- 2}) = - 2$ , $lo g_{2} (32) = 5$ .

Pour simplifier une expression avec des logarithmes :

Regrouper avec les lois : somme $\leftrightarrow$ produit, différence $\leftrightarrow$ quotient.
Sortir les exposants : $lo g_{a} (x^{q}) = q lo g_{a} (x)$ .
Ne jamais ``distribuer'' sur une somme : pas de $lo g (x + y) = lo g x + lo g y$ .
Garder les conditions : tous les arguments doivent rester $> 0$ .

Pour résoudre une équation exponentielle (inconnue dans un exposant) :

Isoler la puissance (ex. $a^{f (x)} = b$ avec $b > 0$ ).
Appliquer un logarithme adapté des deux côtés (souvent $ln$ ou $lo g$ ) :

$ln (a^{f (x)}) = ln (b)$ .

Utiliser $ln (a^{f (x)}) = f (x) ln (a)$ , puis résoudre l'équation obtenue.

Pour résoudre une équation logarithmique (inconnue dans un log) :

Domaine d'abord : imposer chaque argument $> 0$ .
Regrouper les logs d'un même côté, puis utiliser les lois pour obtenir un seul log :

lo g_{a} (expression) = constante

ou bien deux logs égaux.

Passer en exponentiel : si $lo g_{a} (U) = k$ alors $U = a^{k}$ .
Résoudre puis vérifier que les solutions respectent le domaine.

Pour calculer $lo g_{a} (x)$ avec une calculatrice (si seulement $lo g$ et $ln$ sont disponibles) :

Utiliser le changement de base : $lo g_{a} (x) = \frac{ln ( x )}{ln ( a )}$ (ou avec $lo g$ ).

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Interprétations et graphiques

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Interprétation :

$lo g_{a} (x)$ est l'exposant qu'il faut mettre à $a$ pour obtenir $x$ .

Points remarquables (pour $a > 0$ , $a \neq = 1$ ) :

lo g_{a} (1) = 0 \Rightarrow (1, 0), lo g_{a} (a) = 1 \Rightarrow (a, 1) .

Asymptote verticale :

$x = 0$ (la fonction n'est définie que pour $x > 0$ ).

Variations :

si $a > 1$ : $x \mapsto lo g_{a} (x)$ est croissante (elle monte lentement) ;
si $0 < a < 1$ : elle est décroissante.

Lien avec l'exponentielle :

les graphes de $y = a^{x}$ et $y = lo g_{a} (x)$ sont symétriques par rapport à la droite $y = x$ (fonctions réciproques).

Graphe (exemple) : $y = ln (x)$ et l'asymptote $x = 0$

Figure : puissance racine exp et log 3 logarithmes

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Exemples-types

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Évaluer des logarithmes ``à vue''

Calculer :

lo g (1000), lo g (0, 01), ln (e^{- 3}), lo g_{2} (32) .

Solution :

$1000 = 1 0^{3} \Rightarrow lo g (1000) = 3$ .
$0, 01 = 1 0^{- 2} \Rightarrow lo g (0, 01) = - 2$ .
$ln (e^{- 3}) = - 3$ (car $ln (e^{k}) = k$ ).
$32 = 2^{5} \Rightarrow lo g_{2} (32) = 5$ .

Simplifier une expression

Simplifier :

A = lo g_{a} (\frac{x ^{3} y}{a y}) (avec a > 0, a \neq = 1, x > 0, y > 0) .

Solution :

A = lo g_{a} (x^{3}) + lo g_{a} (y) - lo g_{a} (a) - lo g_{a} (y) .

Puis

lo g_{a} (x^{3}) = 3 lo g_{a} (x), lo g_{a} (y) = lo g_{a} (y^{1/2}) = \frac{1}{2} lo g_{a} (y), lo g_{a} (a) = 1.

Donc

A = 3 lo g_{a} (x) + \frac{1}{2} lo g_{a} (y) - 1 - lo g_{a} (y) = 3 lo g_{a} (x) - \frac{1}{2} lo g_{a} (y) - 1.

Résoudre une équation logarithmique simple

Résoudre :

3 lo g_{2} (x + 1) = 15.

Solution :

Domaine : : $x + 1 > 0 \Rightarrow x > - 1$ .
Diviser par $3$ : $lo g_{2} (x + 1) = 5$ .
Passer en exponentiel : $x + 1 = 2^{5} = 32$ .
Donc $x = 31$ , et $31 > - 1$ : solution $x = 31$ .

Résoudre une équation avec plusieurs logarithmes (avec vérification)

Résoudre :

lo g (x + 2) - lo g (3) = lo g (2 x - 1) + lo g (7) .

Solution :

Domaine : : $x + 2 > 0$ et $2 x - 1 > 0$ \ \ $\Rightarrow x > - 2$ et $x > \frac{1}{2}$ \ \ $\Rightarrow x > \frac{1}{2}$ .
Regrouper :

lo g (\frac{x + 2}{3}) = lo g (7 (2 x - 1)) .

Même base et mêmes logs, donc égalité des arguments (car arguments $> 0$ sur le domaine) :

\frac{x + 2}{3} = 7 (2 x - 1) = 14 x - 7.

Résoudre :

x + 2 = 42 x - 21 \Rightarrow 23 = 41 x \Rightarrow x = \frac{23}{41} .

Vérification du domaine : $\frac{23}{41} \approx 0, 561 > \frac{1}{2}$ ⇒ solution $x = \frac{23}{41}$ .

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Pièges et cas particuliers

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Oublier les conditions :

$lo g_{a} (\cdot)$ exige argument $> 0$ ; la base doit vérifier $a > 0$ et $a \neq = 1$ .

Erreur classique :

$lo g (x + y) \neq = lo g x + lo g y$ (aucune loi pour une somme).

Vérification finale obligatoire :

après résolution d'une équation logarithmique, contrôler que les solutions donnent des arguments strictement positifs.

Base entre 0 et 1 :

si $0 < a < 1$ , alors $lo g_{a}$ est décroissante. (Utile en comparaisons/variations.)

Zéro :

$lo g_{a} (0)$ n'existe pas (en réels). On a plutôt $lo g_{a} (x) \to - \infty$ quand $x \to 0^{+}$ .

Confusion $lo g$ / $ln$ :

$lo g$ est en base $10$ (souvent), $ln$ en base $e$ .

Puissances et parenthèses :

$lo g_{a} (x^{q}) = q lo g_{a} (x)$ seulement si $x > 0$ (sinon $x^{q}$ peut poser problème en réels si $q$ n'est pas entier).

Changer de base proprement :

lo g_{a} (x) = \frac{ln ( x )}{ln ( a )} et pas \frac{ln ( a )}{ln ( x )} .

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À retenir

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Je connais la définition : $lo g_{a} (b) = x ⟺ a^{x} = b$ .

Je sais les conditions : $a > 0$ , $a \neq = 1$ , $b > 0$ .

Je sais que $lo g (\cdot)$ est en base $10$ et $ln (\cdot)$ en base $e$ .

Je sais : $lo g_{a} (1) = 0$ et $lo g_{a} (a) = 1$ .

Je maîtrise : produit, quotient, puissance, inverse.

Je sais utiliser le changement de base $lo g_{a} (x) = \frac{ln x}{ln a}$ .

Je sais transformer une équation logarithmique en équation exponentielle.

Je pense au domaine avant de résoudre et je vérifie après.

Je sais décrire le graphe : domaine $x > 0$ , asymptote $x = 0$ , point $(1, 0)$ .

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Logarithmes

Définition

Idée clé :

Logarithme en base a :

Équivalence (définition) :

Domaines / conditions :

Notations usuelles :

Fonctions :

Lien avec l'exponentielle :

Formules essentielles

Définition (rappel) :

Valeurs de base :

Réciprocité (attention aux conditions) :

Lois des logarithmes

Changement de base

Monotonie (utile pour comparer) :

Méthodes

Pour passer d'une écriture logarithmique à exponentielle :

Pour évaluer un logarithme ``sans calculatrice'' :

Pour simplifier une expression avec des logarithmes :

Pour résoudre une équation exponentielle (inconnue dans un exposant) :

Pour résoudre une équation logarithmique (inconnue dans un log) :

Pour calculer loga​(x) avec une calculatrice (si seulement log et ln sont disponibles) :

Interprétations et graphiques

Interprétation :

Points remarquables (pour a>0, a=1) :

Asymptote verticale :

Variations :

Lien avec l'exponentielle :

Exemples-types

Évaluer des logarithmes ``à vue''

Simplifier une expression

Résoudre une équation logarithmique simple

Résoudre une équation avec plusieurs logarithmes (avec vérification)

Pièges et cas particuliers

Oublier les conditions :

Erreur classique :

Vérification finale obligatoire :

Base entre 0 et 1 :

Zéro :

Confusion log / ln :

Puissances et parenthèses :

Changer de base proprement :

À retenir

Logarithme en base $a$ :

Pour calculer $lo g_{a} (x)$ avec une calculatrice (si seulement $lo g$ et $ln$ sont disponibles) :

Points remarquables (pour $a > 0$ , $a \neq = 1$ ) :

Confusion $lo g$ / $ln$ :