Fonctions exponentielles et logarithmiques

($a>0$, $a\ne 1$) : $f(x)=a^x$ définie sur $\mathbb{R}$, à valeurs dans ${\mathbb{R}}^{+}$.

$f(x)=e^x$ où $e\approx 2,71828$.

($a>0$, $a\ne 1$) : ${\log }_a(x)$ est la fonction réciproque de $a^x$.

$\ln (x)={\log }_e(x)$ (réciproque de $e^x$).

croissance/décroissance exponentielle, base, réciproque (inverse), asymptote horizontale/verticale, composition.

(pour $x,y\in \mathbb{R}$, $n\in \mathbb{Z}$)

(pour $x>0$, $y>0$, $n\in \mathbb{R}$)

(pour $a>0$, $a\ne 1$, $x>0$)

• Mettre l’équation sous la forme $e^{A(x)}=k$ (avec $k>0$).
• Appliquer $\ln$ : $A(x)=\ln (k)$.
• Résoudre l’équation obtenue et vérifier.

• Déterminer l’ED : imposer toutes les conditions $(\text{argument de }\ln >0)$.
• Simplifier avec les règles (produit/quotient/puissance) si utile.
• Passer à l’exponentielle : si $\ln (U)=c$ alors $U=e^c$.
• Résoudre puis éliminer les solutions hors ED.

Utiliser la monotonie stricte de $e^x$ et $\ln x$ (toutes deux croissantes) pour comparer les membres sans inverser le sens :

Écrire l’ED (si $\ln$ apparaît).

Utiliser la monotonie :

• $e^x$ est strictement croissante sur $\mathbb{R}$.
• $\ln x$ est strictement croissante sur $(0,+\infty )$.

Ainsi, on peut comparer les arguments :

$e^{f(x)}$ ou $\ln (f(x))$ :

• Identifier la forme (composition, produit, quotient).
• Appliquer les règles usuelles : produit, quotient, chaîne.
• Pour $\ln (f(x))$ : ajouter la condition $f(x)>0$ (ED).

• Réécrire la limite sous forme de quotient, p.ex. $x^2{e}^{-x}=\frac{x^2}{e^x}$.
• Utiliser l’ordre de dominance à $+\infty$ :

• Conclure : polynôme sur exponentielle $\to 0$, exponentielle sur polynôme $\to +\infty$.

• $e^x$ est strictement croissante sur $\mathbb{R}$ et $e^x>0$.
• $\ln x$ est strictement croissante sur $(0,+\infty )$, et $\ln x<0$ si $0<x<1$, $\ln x>0$ si $x>1$.

• Pour $e^x$ : asymptote horizontale $y=0$ quand $x\to -\infty$.
• Pour $\ln x$ : asymptote verticale $x=0$ quand $x\to 0^{+}$.

• Les courbes de $y=e^x$ et $y=\ln x$ sont symétriques par rapport à la droite $y=x$.

[Voir graphique dans la fiche complète]

• À gauche, $e^x$ s’approche de $0$ sans jamais l’atteindre.
• Près de $0^{+}$, $\ln x$ descend vers $-\infty$.
• L’intersection avec $y=x$ illustre la relation de réciprocité (symétrie).

• Résoudre $\ln (x-2)=4$.

ED : $x-2>0\Rightarrow x>2$.
$\ln (x-2)=4⟺x-2=e^4⟺x=2+e^4$.
Vérification : $2+e^4>2$ donc solution OK.
Solution : $x=2+e^4$.

• Résoudre $e^{x+4}=5$.

Comme $5>0$, on applique $\ln$ : $x+4=\ln (5)$, donc $x=\ln (5)-4$.
Solution : $x=\ln (5)-4$.

dans toute équation/inéquation avec $\ln (\cdot )$, imposer argument $>0$ (et aussi dénominateur $\ne 0$ s’il y a une fraction).

$\ln (x^2)=2\ln x$ n’est valable en réels que si $x>0$ (sinon $\ln x$ n’existe pas).

$e^x>0$ donc une équation $e^{A(x)}=k$ n’a aucune solution si $k\le 0$.

• Avec $e^x$ ou $\ln x$ (bases $e$), pas de renversement : elles sont croissantes.
• Avec $a^x$ si $0<a<1$, la fonction est décroissante (le sens d’une inéquation se renverse en comparant les exposants).

transformer $x^n{e}^{-x}$ en $\frac{x^n}{e^x}$ pour appliquer la règle du podium.

oublier la condition $f(x)>0$ mène à des erreurs d’ED et de solutions.

Je connais l’ED de $e^x$ et de $\ln x$.

Je sais utiliser $e^x=y⟺x=\ln y$ (avec $y>0$).

Je maîtrise les règles : $\ln (xy)$, $\ln (x/y)$, $\ln (x^n)$ (conditions).

Je sais résoudre $e^{A(x)}=k$ en appliquant $\ln$ (et je vérifie $k>0$).

Je sais résoudre $\ln (U)=c$ en passant à $U=e^c$ (et je contrôle $U>0$).

Je sais résoudre une équation $\ln (U)=\ln (V)$ en imposant d’abord $U>0$ et $V>0$.

Je connais : $(e^x{)}^{\prime }=e^x$ et $(\ln x{)}^{\prime }=1/x$.

Je sais dériver $e^{f(x)}$ et $\ln (f(x))$ (règle de la chaîne + ED).

Je sais lire les asymptotes : $y=0$ pour $e^x$ à gauche, $x=0$ pour $\ln x$.

Je sais utiliser la règle du podium : $\ln (x)\ll x^n\ll e^x$ quand $x\to +\infty$.