Puissances, racines, exp & log · niveau renforcé

Fonctions exponentielles et logarithmiques

Fiche vérifiée par Stéphane Hartmann (ing. EPFL) · Mise à jour : juillet 2026

📘

Définition

▾

Exponentielle de base $a$

( $a > 0$ , $a \neq = 1$ ) : $f (x) = a^{x}$ définie sur $R$ , à valeurs dans $R^{+}$ .

Exponentielle naturelle

$f (x) = e^{x}$ où $e \approx 2, 71828$ .

Logarithme de base $a$

( $a > 0$ , $a \neq = 1$ ) : $lo g_{a} (x)$ est la fonction réciproque de $a^{x}$ .

Logarithme naturel

$ln (x) = lo g_{e} (x)$ (réciproque de $e^{x}$ ).

Relations d’inversion

e^{x} = y ⟺ x = ln (y) (x \in R, y > 0), e^{l n x} = x (x > 0), ln (e^{x}) = x (x \in R) .

Ensembles de définition (ED)

ED (e^{x}) = R, ED (ln x) = {x \in R ∣ x > 0} .

Zéros

e^{x} \neq = 0 pour tout x, ln (x) = 0 ⟺ x = 1.

Vocabulaire

croissance/décroissance exponentielle, base, réciproque (inverse), asymptote horizontale/verticale, composition.

Sens de variation selon la base

Si $a > 1$ , alors $a^{x}$ est strictement croissante sur $R$ .
Si $0 < a < 1$ , alors $a^{x}$ est strictement décroissante sur $R$ (décroissance exponentielle).

Propriétés de $lo g_{a}$

ED (lo g_{a} x) = (0, + \infty), Im (lo g_{a}) = R, lo g_{a} (1) = 0, lo g_{a} (a) = 1.

Interprétation :

lo g_{a} (y)

est l’unique réel

x

tel que

a^{x} = y

(avec

y > 0

Notations usuelles

$lo g (x)$ peut désigner $lo g_{10} (x)$ selon le contexte ; en analyse on privilégie $ln (x)$ .

🧮

Formules essentielles

▾

Valeurs de base

e^{0} = 1, e^{1} = e, ln (1) = 0, ln (e) = 1.

Règles sur l’exponentielle

(pour $x, y \in R$ , $n \in Z$ )

e^{x} e^{y} = e^{x + y}, \frac{e ^{x}}{e ^{y}} = e^{x - y}, (e^{x})^{y} = e^{x y} .

Idée clé :

e^{A} = e^{B} ⟺ A = B

Règles sur le logarithme

(pour $x > 0$ , $y > 0$ , $n \in R$ )

ln (x y) = ln x + ln y, ln (\frac{x}{y}) = ln x - ln y, ln (x^{n}) = n ln x (si x > 0) .

Attention : en réels,

ln (x^{n})

n’a de sens que si

x^{n} > 0

(et la règle

ln (x^{n}) = n ln x

s’emploie sans risque si

x > 0

Changement de base

(pour $a > 0$ , $a \neq = 1$ , $x > 0$ )

lo g_{a} (x) = \frac{ln ( x )}{ln ( a )} .

Dérivées (à connaître)

(e^{x})^{'} = e^{x}, (ln x)^{'} = \frac{1}{x} (x > 0) .

(e^{f (x)})^{'} = e^{f (x)} f^{'} (x), (ln (f (x)))^{'} = \frac{f ^{'} ( x )}{f ( x )} (si f (x) > 0) .

Réécritures très utiles

a^{x} = e^{x l n (a)} (a > 0), lo g_{a} (x) = \frac{ln x}{ln a} (a > 0, a \neq = 1, x > 0) .

Conséquence pratique : dès que

lo g_{a}

apparaît, on peut tout ramener à

ln

Dérivées en base $a$ (très utiles en exercices)

(a^{x})^{'} = ln (a) a^{x} (a > 0, a \neq = 1), (lo g_{a} x)^{'} = \frac{1}{x ln ( a )} (x > 0) .

(a^{f (x)})^{'} = ln (a) a^{f (x)} f^{'} (x), (lo g_{a} (f (x)))^{'} = \frac{f ^{'} ( x )}{f ( x ) ln ( a )} (si f (x) > 0) .

Limites fondamentales et asymptotes

x \to - \infty lim e^{x} = 0 (AH : y = 0 \overset{a}{ˋ} gauche), x \to + \infty lim e^{x} = + \infty.

x \to 0^{+} lim ln x = - \infty (AV : x = 0), x \to + \infty lim ln x = + \infty.

Croissances comparées (règle du podium, utile en limites)

pour tout n \in N : x \to + \infty lim \frac{e ^{x}}{x ^{n}} = + \infty, x \to + \infty lim \frac{x ^{n}}{e ^{x}} = 0,

pour tout n \in N : x \to + \infty lim \frac{ln x}{x ^{n}} = 0, x \to + \infty lim \frac{x ^{n}}{ln x} = + \infty.

Limites de référence (très fréquentes)

x \to 0 lim \frac{e ^{x} - 1}{x} = 1, x \to 0 lim \frac{ln ( 1 + x )}{x} = 1.

Astuce : ces limites servent à reconnaître des « formes standard » via une substitution.

(Renforcé) Approximations locales (ordre 1) et tangentes

e^{x} \approx 1 + x (x \approx 0), ln (1 + x) \approx x (x \approx 0) .

Lecture : ce sont les tangentes en

0

pour

e^{x}

et en

0

pour

ln (1 + x)

Inégalités classiques (convexité/concavité)

e^{x} \geq 1 + x (\forall x \in R), ln x \leq x - 1 (x > 0),

avec égalité seulement pour

x = 0

dans la première et

x = 1

dans la seconde.

Règle de Bernoulli--L'Hospital (B--H)

Si x \to a lim \frac{f ( x )}{g ( x )} est de type \frac{0}{0} ou \frac{\pm \infty}{\pm \infty}, alors x \to a lim \frac{f ( x )}{g ( x )} = x \to a lim \frac{f ^{'} ( x )}{g ^{'} ( x )}

à condition que

f, g

soient dérivables près de

a

g^{'} (x) \neq = 0

près de

a

, et que la limite du quotient des dérivées existe (éventuellement

\pm \infty

).
Remarque : on peut appliquer B--H plusieurs fois si nécessaire.

Asymptote oblique / droite d’approximation

Si m = x \to \pm \infty lim \frac{f ( x )}{x} existe, alors on tente y = m x + h avec h = x \to \pm \infty lim (f (x) - m x) .

Idée : écrire

f (x) = m x + h + δ (x)

avec

lim_{x \to \pm \infty} δ (x) = 0

🛠️

Méthodes

▾

Pour résoudre une équation exponentielle (avec $e$ )

Mettre l’équation sous la forme $e^{A (x)} = k$ (avec $k > 0$ ).
Appliquer $ln$ : $A (x) = ln (k)$ .
Résoudre l’équation obtenue et vérifier.

Pour résoudre une équation logarithmique

Déterminer l’ED : imposer toutes les conditions $(argument de ln > 0)$ .
Simplifier avec les règles (produit/quotient/puissance) si utile.
Passer à l’exponentielle : si $ln (U) = c$ alors $U = e^{c}$ .
Résoudre puis éliminer les solutions hors ED.

Pour résoudre une inéquation avec $ln$ ou $e^{x}$

Utiliser la monotonie stricte de $e^{x}$ et $ln x$ (toutes deux croissantes) pour comparer les membres sans inverser le sens :

Écrire l’ED (si $ln$ apparaît).

Utiliser la monotonie :

$e^{x}$ est strictement croissante sur $R$ .
$ln x$ est strictement croissante sur $(0, + \infty)$ .

Ainsi, on peut comparer les arguments :

e^{A (x)} \leq e^{B (x)} ⟺ A (x) \leq B (x), ln (U) \leq ln (V) ⟺ U \leq V (U, V > 0) .

Pour dériver une fonction contenant

$e^{f (x)}$ ou $ln (f (x))$ :

Identifier la forme (composition, produit, quotient).
Appliquer les règles usuelles : produit, quotient, chaîne.
Pour $ln (f (x))$ : ajouter la condition $f (x) > 0$ (ED).

Pour calculer une limite « type podium »

Réécrire la limite sous forme de quotient, p.ex. $x^{2} e^{- x} = \frac{x ^{2}}{e ^{x}}$ .
Utiliser l’ordre de dominance à $+ \infty$ :

ln (x) ≪ x^{n} ≪ e^{x} (n \in N) .

Conclure : polynôme sur exponentielle $\to 0$ , exponentielle sur polynôme $\to + \infty$ .

Pour résoudre une équation exponentielle en base $a$

Mettre sous la forme $a^{A (x)} = k$ avec $a > 0$ , $a \neq = 1$ et $k > 0$ .
Appliquer $ln$ : $A (x) ln (a) = ln (k)$ , donc $A (x) = \frac{ln ( k )}{ln ( a )}$ .
Résoudre et vérifier (notamment $k > 0$ et les éventuels dénominateurs).

Pour résoudre une équation du type

$A (x)^{B (x)} = C (x)$ :

Imposer $A (x) > 0$ (pour pouvoir prendre $ln$ ).
Prendre $ln$ des deux côtés : $B (x) ln (A (x)) = ln (C (x))$ (avec $C (x) > 0$ ).
Résoudre l’équation obtenue puis contrôler l’ED.

Pour une inéquation avec $a^{x}$ quand $0 < a < 1$

Identifier que $a^{x}$ est décroissante.
Comparer les exposants en renversant le sens :

a^{A (x)} \leq a^{B (x)} ⟺ A (x) \geq B (x) (0 < a < 1) .

Résoudre puis vérifier.

Pour une limite en indétermination

$\frac{0}{0}$ ou $\frac{\infty}{\infty}$ : B--H :

Vérifier la forme : numérateur et dénominateur $\to 0$ ou $\to \pm \infty$ .
Dériver numérateur et dénominateur, puis recalculer la limite.
Répéter si nécessaire (tant qu’on reste dans une forme indéterminée).

Pour déterminer une asymptote oblique $y = m x + h$

Calculer $m = x \to \pm \infty lim \frac{f ( x )}{x}$ (si la limite existe).
Calculer $h = x \to \pm \infty lim (f (x) - m x)$ (si la limite existe).
Conclure : si $δ (x) = f (x) - (m x + h) \to 0$ , alors $y = m x + h$ est une asymptote (à droite/gauche selon le cas).

Pour étudier une fonction avec $ln (\cdot)$ (schéma standard)

ED : imposer tous les arguments de $ln$ strictement positifs.
Limites aux bornes de l’ED : souvent $x \to 0^{+}$ , $x \to + \infty$ , et points interdits.
Dérivée : utiliser $(ln (f (x)))^{'} = \frac{f ^{'} ( x )}{f ( x )}$ (avec $f (x) > 0$ ).
Signe de $f^{'} (x)$ : tableau de variations, puis concavité si demandé (via $f^{''}$ ).

📈

Interprétations et graphiques

▾

Monotonie et image

$e^{x}$ est strictement croissante sur $R$ et $e^{x} > 0$ .
$ln x$ est strictement croissante sur $(0, + \infty)$ , et $ln x < 0$ si $0 < x < 1$ , $ln x > 0$ si $x > 1$ .

Points repères

e^{0} = 1 \Rightarrow (0, 1) \in C_{e^{x}}, ln (1) = 0 \Rightarrow (1, 0) \in C_{l n x} .

Asymptotes

Pour $e^{x}$ : asymptote horizontale $y = 0$ quand $x \to - \infty$ .
Pour $ln x$ : asymptote verticale $x = 0$ quand $x \to 0^{+}$ .

Lien réciproque

Les courbes de $y = e^{x}$ et $y = ln x$ sont symétriques par rapport à la droite $y = x$ .

Convexité / concavité (lecture graphique)

$e^{x}$ est convexe sur $R$ : les tangentes sont en dessous de la courbe (ex : $e^{x} \geq 1 + x$ ).
$ln x$ est concave sur $(0, + \infty)$ : les tangentes sont au-dessus de la courbe (ex : $ln x \leq x - 1$ ).

Impact de la base $a$ sur le graphe de $a^{x}$

Toutes les courbes passent par $(0, 1)$ .
Si $a > 1$ : croissance (plus $a$ est grand, plus la croissance est rapide).
Si $0 < a < 1$ : décroissance (et $a^{x} = (\frac{1}{a})^{- x}$ ).

Exemple (graphique)

[Voir graphique dans la fiche complète]

Figure : analyse 2 2 fonctions exp et ln

Lecture rapide

À gauche, $e^{x}$ s’approche de $0$ sans jamais l’atteindre.
Près de $0^{+}$ , $ln x$ descend vers $- \infty$ .
L’intersection avec $y = x$ illustre la relation de réciprocité (symétrie).

Graphe comparatif de $a^{x}$ pour différentes bases

[Voir graphique dans la fiche complète]

✏️

Exemples-types

▾

Équations simples avec $ln$ et $e^{x}$

Résoudre $ln (x - 2) = 4$ .

ED : $x - 2 > 0 \Rightarrow x > 2$ .
$ln (x - 2) = 4 ⟺ x - 2 = e^{4} ⟺ x = 2 + e^{4}$ .
Vérification : $2 + e^{4} > 2$ donc solution OK.
Solution : $x = 2 + e^{4}$ .

Résoudre $e^{x + 4} = 5$ .

Comme $5 > 0$ , on applique $ln$ : $x + 4 = ln (5)$ , donc $x = ln (5) - 4$ .
Solution : $x = ln (5) - 4$ .

Variante : résoudre $1 0^{x} = 7$ . On réécrit $1 0^{x} = e^{x l n (10)}$ . Comme $7 > 0$ :

1 0^{x} = 7 ⟺ x ln (10) = ln (7) ⟺ x = \frac{ln ( 7 )}{ln ( 10 )} = lo g_{10} (7) .

Solution :

x = \frac{ln ( 7 )}{ln ( 10 )}

Variante : résoudre $3^{2 x - 1} = 5$ .

Comme $5 > 0$ :

3^{2 x - 1} = 5 ⟺ (2 x - 1) ln (3) = ln (5) ⟺ 2 x - 1 = \frac{ln ( 5 )}{ln ( 3 )} .

S o l u t i o n : x = \frac{1}{2} (1 + \frac{ln ( 5 )}{ln ( 3 )}) .

Équation logarithmique (avec ED) :

ln (x + 3) = ln (2 x + 7) .

ED :

x + 3 > 0

2 x + 7 > 0 \Rightarrow x > - 3

x > - \frac{7}{2}

, donc

x > - 3

.
Comme

ln

est injective sur

(0, + \infty)

ln (x + 3) = ln (2 x + 7) ⟺ x + 3 = 2 x + 7 ⟺ x = - 4.

- 4 \neq > - 3

, donc aucune solution.
Conclusion :

\emptyset

Équation avec quotient dans le logarithme

ln (\frac{x + 3}{2 - x}) = 0.

ED : il faut

\frac{x + 3}{2 - x} > 0

2 - x \neq = 0

.
Étude de signe (points critiques :

x = - 3

x = 2

) :

\frac{x + 3}{2 - x} > 0 ⟺ - 3 < x < 2.

Résolution :

ln (\frac{x + 3}{2 - x}) = 0 ⟺ \frac{x + 3}{2 - x} = e^{0} = 1 ⟺ x + 3 = 2 - x ⟺ 2 x = - 1 ⟺ x = - \frac{1}{2} .

Vérification :

- \frac{1}{2} \in (- 3, 2)

donc OK.
Solution :

x = - \frac{1}{2}

Dérivée (produit + chaîne) et conséquence sur le signe

f (x) = (x^{2} + x + 1) e^{- 2 x} .

Dérivation (produit) :

f^{'} (x) = (2 x + 1) e^{- 2 x} + (x^{2} + x + 1) (e^{- 2 x})^{'} .

(e^{- 2 x})^{'} = e^{- 2 x} \cdot (- 2)

, donc

f^{'} (x) = e^{- 2 x} ((2 x + 1) - 2 (x^{2} + x + 1)) = e^{- 2 x} (- 2 x^{2} - 1) .

Comme

e^{- 2 x} > 0

- 2 x^{2} - 1 < 0

pour tout

x

, on a

f^{'} (x) < 0

sur

R

.
Conclusion :

f

est strictement décroissante sur

R

Règle de Bernoulli--L'Hospital

Calculer

x \to 2 lim \frac{x ^{2} - 4}{e ^{x - 2} - 1} .

On a une indétermination

\frac{0}{0}

, donc B--H :

x \to 2 lim \frac{x ^{2} - 4}{e ^{x - 2} - 1} = x \to 2 lim \frac{( x ^{2} - 4 ) ^{'}}{( e ^{x - 2} - 1 ) ^{'}} = x \to 2 lim \frac{2 x}{e ^{x - 2}} = \frac{4}{1} = 4.

⚠️

Pièges et cas particuliers

▾

Oublier l’ED

dans toute équation/inéquation avec $ln (\cdot)$ , imposer argument $> 0$ (et aussi dénominateur $\neq = 0$ s’il y a une fraction).

Mauvaise simplification

ln (x + y) \neq = ln x + ln y

(faux !)
Les seules règles sont produit/quotient/puissance (avec conditions).

Puissance dans le log

$ln (x^{2}) = 2 ln x$ n’est valable en réels que si $x > 0$ (sinon $ln x$ n’existe pas).

Confusion inverse / opposé

ln (e^{x}) = x (toujours), e^{l n x} = x seulement si x > 0.

Exponentielle toujours positive

$e^{x} > 0$ donc une équation $e^{A (x)} = k$ n’a aucune solution si $k \leq 0$ .

Inéquations : attention au sens

Avec $e^{x}$ ou $ln x$ (bases $e$ ), pas de renversement : elles sont croissantes.
Avec $a^{x}$ si $0 < a < 1$ , la fonction est décroissante (le sens d’une inéquation se renverse en comparant les exposants).

Limites

transformer $x^{n} e^{- x}$ en $\frac{x ^{n}}{e ^{x}}$ pour appliquer la règle du podium.

Dérivée de $ln (f (x))$

oublier la condition $f (x) > 0$ mène à des erreurs d’ED et de solutions.

B--H : ne pas l’appliquer « par réflexe »

B--H s’applique uniquement aux formes $\frac{0}{0}$ ou $\frac{\infty}{\infty}$ .
Vérifier que $g^{'} (x) \neq = 0$ près du point et que les fonctions sont dérivables sur un voisinage adapté.

Approximations : ne pas les transformer en égalités exactes

e^{x} \approx 1 + x (pr \overset{e}{ˋ} s de 0) ne signifie pas e^{x} = 1 + x .

Même vigilance pour

ln (1 + x) \approx x

Asymptote oblique : deux limites à faire

Trouver $m$ ne suffit pas : il faut aussi $h$ et vérifier $f (x) - (m x + h) \to 0$ .
Ne pas confondre « droite d’approximation » et « égalité ».

$ln$ et valeurs négatives

En réels : $ln (x)$ n’existe pas si $x \leq 0$ .
Les expressions comme $ln (x^{2})$ sont définies pour $x \neq = 0$ , mais on ne peut pas écrire $2 ln (x)$ si $x < 0$ .

✅

À retenir

▾

Je connais l’ED de $e^{x}$ et de $ln x$ .

Je sais utiliser $e^{x} = y ⟺ x = ln y$ (avec $y > 0$ ).

Je maîtrise les règles : $ln (x y)$ , $ln (x / y)$ , $ln (x^{n})$ (conditions).

Je sais résoudre $e^{A (x)} = k$ en appliquant $ln$ (et je vérifie $k > 0$ ).

Je sais résoudre $ln (U) = c$ en passant à $U = e^{c}$ (et je contrôle $U > 0$ ).

Je sais résoudre une équation $ln (U) = ln (V)$ en imposant d’abord $U > 0$ et $V > 0$ .

Je connais : $(e^{x})^{'} = e^{x}$ et $(ln x)^{'} = 1/ x$ .

Je sais dériver $e^{f (x)}$ et $ln (f (x))$ (règle de la chaîne + ED).

Je sais lire les asymptotes : $y = 0$ pour $e^{x}$ à gauche, $x = 0$ pour $ln x$ .

Je sais utiliser la règle du podium : $ln (x) ≪ x^{n} ≪ e^{x}$ quand $x \to + \infty$ .

Je sais ramener $a^{x}$ et $lo g_{a}$ à $ln$ : $a^{x} = e^{x l n (a)}$ et $lo g_{a} (x) = \frac{ln x}{ln a}$ .

Je connais $(a^{x})^{'} = ln (a) a^{x}$ et $(lo g_{a} x)^{'} = \frac{1}{x ln ( a )}$ .

Je sais quand une inéquation se renverse (cas $0 < a < 1$ ).

Je reconnais une indétermination $\frac{0}{0}$ ou $\frac{\infty}{\infty}$ et j’applique B--H correctement.

Je sais déterminer une asymptote oblique en calculant $m = lim \frac{f ( x )}{x}$ puis $h = lim (f (x) - m x)$ .

Je connais les approximations : $e^{x} \approx 1 + x$ et $ln (1 + x) \approx x$ (près de $0$ ) et je ne les confonds pas avec des égalités.

🃏 Étape suivante Flashcards — Puissances, racines, exp & log Mémorise les définitions et formules de ce chapitre, carte par carte. →