Variables aléatoires discrètes

fonction $X:\Omega \to \mathbb{R}$ qui à chaque issue d'une expérience aléatoire associe un nombre réel. Notée en majuscule (ex. $X,Y$) ; ses valeurs en minuscule ($x,y$).

variable aléatoire dont l'ensemble des valeurs possibles est fini ou dénombrable.

donnée des couples $(x_i,P(X=x_i))$ pour toutes les valeurs possibles. Les probabilités sont positives et leur somme vaut $1$.

moyenne pondérée des valeurs par leurs probabilités. Représente la valeur moyenne attendue de $X$ sur un grand nombre de répétitions.

mesurent la dispersion autour de l'espérance. $V(X)=E((X-E(X){)}^2)$, $\sigma (X)=\sqrt{V(X)}$.

$X$ vaut $1$ (succès) avec probabilité $p$, $0$ (échec) avec probabilité $1-p$. Modélise une expérience à deux issues.

$X$ = nombre de succès dans $n$ répétitions indépendantes d'une épreuve de Bernoulli de paramètre $p$.

$\sigma (X)=\sqrt{V(X)}$.

si $X$ et $Y$ sont indépendantes : $V(X+Y)=V(X)+V(Y)$. Attention : faux en général si elles ne le sont pas.

$P(X=1)=p$, $P(X=0)=1-p$. $E(X)=p$, $V(X)=p(1-p)$.

• Identifier toutes les valeurs possibles de $X$.
• Calculer $P(X=x_i)$ pour chacune.
• Vérifier que la somme vaut $1$.
• Présenter sous forme de tableau.

• Dresser le tableau des valeurs $x_i$ et des probabilités $p_i$.
• $E(X)=\sum x_i{p}_i$.
• Calculer $E(X^2)=\sum x_i^2{p}_i$.
• $V(X)=E(X^2)-E(X{)}^2$.
• $\sigma (X)=\sqrt{V(X)}$.

• Nombre fixé $n$ de répétitions.
• Chaque épreuve a deux issues : succès / échec.
• Même probabilité $p$ de succès à chaque fois.
• Épreuves indépendantes.
• Si ces 4 conditions sont réunies, appliquer les formules.

• $P(X\le k)={\sum }_{i=0}^{k}P(X=i)$.
• $P(X\ge k)=1-P(X\le k-1)$ (complément).
• Pour la loi binomiale avec $n$ grand, utiliser la calculatrice ou un tableau.

On lance un dé équilibré, $X$ = résultat affiché.

Loi : $P(X=i)=1/6$ pour $i=1,\dots ,6$.

$E(X)=\frac{1+2+3+4+5+6}{6}=3,5$.

$E(X^2)=\frac{1+4+9+16+25+36}{6}=\frac{91}{6}$.

$V(X)=\frac{91}{6}-3,5^2=\frac{91}{6}-\frac{49}{4}=\frac{35}{12}\approx 2,92$.

On lance 10 fois une pièce équilibrée. $X$ = nombre de Pile. Alors $X\sim \mathcal{B}(10,0,5)$.

$P(X=5)=\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{10}{5}\right)0,5^5\cdot 0,5^5=252\cdot 0,5^{10}\approx 0,246$.

$E(X)=10\cdot 0,5=5$, $V(X)=10\cdot 0,5\cdot 0,5=2,5$.

On mise 1 CHF. Avec probabilité $0,3$, on gagne 2 CHF (gain net = 1 CHF). Avec probabilité $0,7$, on perd sa mise (gain net = $-1$ CHF).

$E(X)=0,3\cdot 1+0,7\cdot (-1)=-0,4$ CHF.

Le jeu est défavorable : on perd en moyenne 40 centimes par partie.

$X\sim \mathcal{B}(n_1,p)$ et $Y\sim \mathcal{B}(n_2,p)$ indépendantes. Alors $X+Y\sim \mathcal{B}(n_1+n_2,p)$.

$E(X+Y)=(n_1+n_2)p$, $V(X+Y)=(n_1+n_2)p(1-p)$.

$V(X)=E(X^2)-E(X{)}^2$ est plus rapide en pratique. Attention : $E(X^2)\ne E(X{)}^2$ en général.

$V(aX)=a^{2}V(X)$, pas $aV(X)$. Cette erreur est très fréquente.

$V(X+Y)=V(X)+V(Y)$ uniquement si $X$ et $Y$ sont indépendantes.

si les épreuves ne sont pas indépendantes (tirage sans remise par exemple), la loi n'est pas binomiale mais hypergéométrique.

toute loi de probabilité doit vérifier $\sum p_i=1$. Si ce n'est pas le cas, il y a une erreur.

l'espérance est la moyenne, pas le mode. Par exemple, $E(X)=3,5$ pour un dé alors qu'aucune face ne donne 3,5.

Je sais établir la loi de probabilité d'une variable aléatoire discrète.

Je connais les formules de $E(X)$, $V(X)$ et $\sigma (X)$.

Je sais utiliser König-Huygens $V(X)=E(X^2)-E(X{)}^2$.

Je connais les propriétés de linéarité et de transformation affine.

Je sais reconnaître et utiliser les lois de Bernoulli et binomiale.

Je connais $E(X)=np$ et $V(X)=np(1-p)$ pour $\mathcal{B}(n,p)$.