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Probabilités · niveau commun

Loi binomiale (épreuves de Bernoulli)

Fiche vérifiée par Stéphane Hartmann (ing. EPFL) · Mise à jour : juillet 2026

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Définition

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Épreuve de Bernoulli

expérience à deux issues : succès $S$ ou échec $E$ .

Paramètres

$p = P (S)$ et $q = P (E) = 1 - p$ .

Schéma de Bernoulli à $n$ étapes

on répète $n$ fois la même épreuve de Bernoulli, avec :

• mêmes probabilités à chaque étape ( $p$ constant),
indépendance : entre les répétitions.

Variable aléatoire binomiale

$X =$ nombre de succès obtenus en $n$ répétitions.

On note : $X \sim Bin (n, p)$ (loi binomiale de paramètres $n$ et $p$ ).

Valeurs possibles

$X \in {0, 1, 2, \dots, n}$ .

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Formules essentielles

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Coefficient binomial

(k n) = \frac{n !}{k ! ( n - k )!} pour k \in {0, \dots, n} .

Probabilité d'obtenir exactement $k$ succès

(fonction de masse) :

P (X = k) = (k n) p^{k} q^{n - k} avec q = 1 - p, k = 0, \dots, n .

Somme des probabilités

k = 0 \sum n P (X = k) = 1.

Probabilités cumulées

P (X \leq r) = k = 0 \sum r (k n) p^{k} q^{n - k}, P (X \geq r) = k = r \sum n (k n) p^{k} q^{n - k} .

Complément (très utile)

P (X \geq r) = 1 - P (X \leq r - 1) .

Cas fréquent : au moins un succès

P (X \geq 1) = 1 - P (X = 0) = 1 - q^{n} = 1 - (1 - p)^{n} .

Espérance et dispersion

(lecture du ``centre'' et de l'étalement) :

E [X] = n p, Var (X) = n pq, σ_{X} = n pq .

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Méthodes

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Pour modéliser une situation par une loi binomiale :

• Identifier l'épreuve : deux issues (succès/échec).
Vérifier que la probabilité de succès est constante : $p$ .
Vérifier l'indépendance des répétitions.
Définir $X =$ nombre de succès en $n$ répétitions, puis écrire $X \sim Bin (n, p)$ .

Pour calculer

$P (X = k)$ (exactement $k$ succès) :

• Relever $n$ , $p$ et $k$ (avec $0 \leq k \leq n$ ).
Calculer $q = 1 - p$ .
Appliquer :

P (X = k) = (k n) p^{k} q^{n - k} .

Pour ``au plus'' / ``au moins'' (sommes) :

• ``Au plus $r$ '' : calculer $P (X \leq r) = \sum_{k = 0}^{r} P (X = k)$ .
``Au moins $r$ '' : utiliser de préférence le complément :

P (X \geq r) = 1 - P (X \leq r - 1) .

Pour ``au moins un succès'' :

• Calculer l'événement complémentaire : ``aucun succès'' ( $X = 0$ ).
Utiliser :

P (X \geq 1) = 1 - (1 - p)^{n} .

Pour trouver $n$ à partir d'une probabilité cible (type ``au moins un succès'') :

• Partir de $1 - (1 - p)^{n} \geq α$ (ou $>$ ).
Isoler $(1 - p)^{n} \leq 1 - α$ .
Prendre les logarithmes (si nécessaire) :

n ln (1 - p) \leq ln (1 - α) .

Attention : $ln (1 - p) < 0$ (si $0 < p < 1$ ) ⇒ le sens de l'inégalité s'inverse en divisant.
Conclure avec le plus petit entier $n$ qui convient.

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Interprétations et graphiques

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$X \sim Bin (n, p)$ compte le nombre de succès : c'est une distribution discrète (barres).

Interprétation de $(k n)$ : nombre de façons de placer $k$ succès parmi $n$ essais.

Lecture rapide :

• Centre : de la distribution : autour de $n p$ .
Dispersion : typiquement de l'ordre de $σ = n p (1 - p)$ .
Si $p = \frac{1}{2}$ , la distribution est symétrique.
Si $p$ est proche de $0$ (ou $1$ ), la masse est concentrée près de $0$ (ou près de $n$ ).

Exemple de graphe : $X \sim Bin (10, \frac{1}{2})$

Figure : probabilites 4 loi binomiale ou loi de bernouili

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Exemples-types

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Exemple 1 (pièce équilibrée) :

On lance $10$ fois une pièce. On appelle succès : ``obtenir pile''.
Alors $p = \frac{1}{2}$ et $X =$ nombre de piles, donc $X \sim Bin (10, \frac{1}{2})$ .
Calculer $P (X = 6)$ .

P (X = 6) = (6 10) (\frac{1}{2})^{6} (\frac{1}{2})^{10 - 6} = (6 10) (\frac{1}{2})^{10} = \frac{210}{1024} \approx 0.205.

Exemple 2 (dé équilibré) :

On lance $7$ fois un dé. Succès : ``obtenir un six''.
Alors $p = \frac{1}{6}$ , $q = \frac{5}{6}$ , et $X \sim Bin (7, \frac{1}{6})$ .
Calculer $P (X = 2)$ (exactement deux six).

P (X = 2) = (2 7) (\frac{1}{6})^{2} (\frac{5}{6})^{5} = 21 \cdot \frac{1}{36} \cdot (\frac{5}{6})^{5} .

(On peut laisser la réponse sous cette forme exacte ; une valeur approchée est possible avec calculatrice.)

Exemple 3 (QCM au hasard) :

Un QCM comporte $4$ questions, chacune avec $5$ choix dont un seul correct.
À chaque question, la probabilité de répondre juste est $p = \frac{1}{5}$ (au hasard), et on suppose l'indépendance.
Soit $X =$ nombre de réponses correctes : $X \sim Bin (4, \frac{1}{5})$ .
Calculer $P (X = 3)$ .

P (X = 3) = (3 4) (\frac{1}{5})^{3} (\frac{4}{5})^{1} = 4 \cdot \frac{1}{125} \cdot \frac{4}{5} = \frac{16}{625} \approx 0.0256.

Exemple 4 (au moins une réussite, trouver $n$ ) :

Un archer touche la cible avec probabilité $p = 0.60$ à chaque tir (indépendants).
Combien de flèches doit-il tirer pour que la probabilité de toucher au moins une fois soit strictement supérieure à $95%$ ?
Soit $X \sim Bin (n, 0.60)$ . On veut :

P (X \geq 1) > 0.95.

On utilise le complément :

P (X \geq 1) = 1 - P (X = 0) = 1 - (1 - 0.60)^{n} = 1 - 0.4 0^{n} .

Donc

1 - 0.4 0^{n} > 0.95 ⟺ 0.4 0^{n} < 0.05.

En logarithmes (optionnel) :

n ln (0.40) < ln (0.05) ⟺ n > \frac{ln ( 0.05 )}{ln ( 0.40 )} \approx 3.27.

Le plus petit entier est donc

n = 4

(et on vérifie :

1 - 0.4 0^{4} = 1 - 0.0256 = 0.9744 > 0.95

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Pièges et cas particuliers

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Deux issues seulement

si l'expérience a plus de deux issues, il faut d'abord définir clairement succès/échec (regrouper les issues).

$p$ constant

si la probabilité de succès change d'un essai à l'autre, ce n'est (en général) pas une binomiale.

Indépendance

sans remise (tirages dans une urne sans replacer), les essais ne sont pas indépendants $\Rightarrow$ pas binomial (sauf approximation éventuelle hors objectif de base).

Oublier $q = 1 - p$

ne pas écrire $(1 - p)$ à la place de $q$ ou inversement sans cohérence.

Confusion ``exactement'' vs ``au moins''/``au plus''

P (X = 2) \neq = P (X \geq 2) \neq = P (X \leq 2) .

Erreur sur

$(k n)$ : utiliser des arrangements/permutations au lieu des combinaisons.

Valeurs impossibles

si $k < 0$ ou $k > n$ , alors $P (X = k) = 0$ .

Complément mal appliqué

$P (X \geq r) = 1 - P (X \leq r - 1)$ (et pas $1 - P (X \leq r)$ ).

Trouver $n$

attention au signe de $ln (1 - p)$ (négatif si $0 < p < 1$ ) $\Rightarrow$ inversion du sens de l'inégalité quand on divise.

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À retenir

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Je sais reconnaître une situation binomiale (2 issues, $p$ constant, indépendance).

Je définis correctement $X =$ nombre de succès et j'écris $X \sim Bin (n, p)$ .

Je connais $P (X = k) = (k n) p^{k} (1 - p)^{n - k}$ .

Je calcule $(k n)$ sans me tromper.

Je traite ``au plus / au moins'' avec des sommes ou un complément.

Je sais utiliser $P (X \geq 1) = 1 - (1 - p)^{n}$ .

Je connais $E [X] = n p$ et $Var (X) = n p (1 - p)$ .

Je vérifie que mon $k$ est bien entre $0$ et $n$ .

Je repère les pièges : dépendance, sans remise, $p$ non constant.

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