Notion de probabilité

expérience dont on ne peut pas prévoir le résultat avec certitude, mais dont on peut lister à l'avance les résultats possibles.

un résultat possible de l'expérience (ex. « obtenir 4 » en lançant un dé).

(ou espace des possibles) : ensemble de toutes les issues, noté $\mathbb{U}$.

sous-ensemble de $\mathbb{U}$ (noté souvent $A,B,\dots$). Un événement se réalise si l'issue obtenue appartient à ce sous-ensemble.

événement constitué d'une seule issue (singleton).

$\varnothing$ (ne peut jamais se produire).

$\mathbb{U}$ (se produit toujours).

de $A$ : noté $\overline{A}$ (ou $A^c$), c'est l'événement « non $A$ ».

$A\cap B$ : « $A$ et $B$ » (les deux se réalisent).

$A\cup B$ : « $A$ ou $B$ » (au moins un des deux se réalise).

(ou disjoints) : $A\cap B=\varnothing$ (ne peuvent pas se réaliser en même temps).

toutes les issues élémentaires ont la même chance d'arriver (cas typique : dé équilibré, tirage au hasard uniforme).

d'un événement $A$ : nombre $\mathbb{P}(A)$ entre $0$ et $1$ qui mesure la « chance » que $A$ se réalise.

(sur $n$ essais) : si $A$ est réalisé $k$ fois, la fréquence est $f_n(A)=\frac{k}{n}$ ; pour beaucoup d'essais, $f_n(A)$ se stabilise souvent vers $\mathbb{P}(A)$.

$0\le \mathbb{P}(A)\le 1$.

$\mathbb{P}(\mathbb{U})=1$ et $\mathbb{P}(\varnothing )=0$.

$\mathbb{P}(\overline{A})=1-\mathbb{P}(A)$.

si $A\cap B=\varnothing$, alors $\mathbb{P}(A\cup B)=\mathbb{P}(A)+\mathbb{P}(B)$.

$\mathbb{P}(A\cup B)=\mathbb{P}(A)+\mathbb{P}(B)-\mathbb{P}(A\cap B)$.

(modélisation) : $f_n(A)=\frac{k}{n}\approx \mathbb{P}(A)$ quand $n$ est grand (idée de stabilisation des fréquences).

À retenir : La formule $\mathbb{P}(A)=\frac{\mathrm{card}(A)}{\mathrm{card}(\mathbb{U})}$ n'est valable que si les issues élémentaires sont équiprobables.

• Décrire clairement l'expérience et l'univers $\mathbb{U}$.
• Vérifier l'équiprobabilité (dé équilibré, tirage uniforme, etc.).
• Compter $\mathrm{card}(\mathbb{U})$ (nombre total de cas possibles).
• Décrire l'événement $A$ et compter $\mathrm{card}(A)$ (cas favorables).
• Calculer $\mathbb{P}(A)=\frac{\mathrm{card}(A)}{\mathrm{card}(\mathbb{U})}$ puis simplifier / donner en %.

• Identifier $A$ (événement difficile) et $\overline{A}$ (événement facile).
• Calculer $\mathbb{P}(\overline{A})$.
• Conclure avec $\mathbb{P}(A)=1-\mathbb{P}(\overline{A})$.

• Dessiner un arbre : chaque embranchement correspond à une issue à une étape.
• Écrire la probabilité sur chaque branche (attention à avec/sans remise).
• Probabilité d'un chemin = produit des probabilités des branches du chemin.
• Si un événement correspond à plusieurs chemins incompatibles, additionner les probabilités des chemins.

• Traduire la phrase en opérations d'ensembles (``et'' $\to \cap$, ``ou'' $\to \cup$, ``non'' $\to \overline{}$).
• Vérifier si les événements sont incompatibles (si oui, la réunion s'additionne).
• Sinon, utiliser $\mathbb{P}(A\cup B)=\mathbb{P}(A)+\mathbb{P}(B)-\mathbb{P}(A\cap B)$.

• • $\mathbb{P}(A)=0,2$ signifie 20% de chances, ou environ 2 fois sur 10 à long terme.
• Plus $\mathbb{P}(A)$ est proche de $1$, plus $A$ est probable ; proche de $0$, plus $A$ est rare.

• • La probabilité $\mathbb{P}(A)$ est un modèle (théorique).
• La fréquence $f_n(A)$ est une mesure sur $n$ essais.
• Quand $n$ augmente, $f_n(A)$ a tendance à se stabiliser près de $\mathbb{P}(A)$ (idée de loi des grands nombres).

$A\cap B$ est la zone commune ; $A\cup B$ est l'ensemble des deux zones.

Mini-schémas : Les schémas aident surtout à traduire « au moins un », « exactement », « ni... ni... », « et », « ou ».

Schéma Venn (illustration) :

Graphe (fréquence d'un événement qui se stabilise) : exemple fictif d'une fréquence de ``pile'' qui oscille puis se rapproche de $0,5$.

Conseil : Toujours écrire $\mathbb{U}$ (au moins mentalement), puis l'événement $A$ comme un sous-ensemble (ou une description précise).

On lance deux dés (un rouge, un bleu). On s'intéresse à l'événement $A=$ « la somme vaut 8 ».

Univers : $\mathbb{U}=\{(i,j)\mid i\in \{1,\dots ,6\},j\in \{1,\dots ,6\}\}$ donc $\mathrm{card}(\mathbb{U})=36$.

Cas favorables : $(2,6),(3,5),(4,4),(5,3),(6,2)$ donc $\mathrm{card}(A)=5$.

Probabilité (équiprobable) :

On tire simultanément 2 cartes d'un jeu de 36 bien mélangé (l'ordre n'importe pas).
Soit $A=$ « obtenir 2 as ».

Nombre total de tirages : $\mathrm{card}(\mathbb{U})=\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{36}{2}\right)$.

Cas favorables : choisir 2 as parmi 4, donc $\mathrm{card}(A)=\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{4}{2}\right)$.

Probabilité :

On lance une pièce équilibrée 3 fois. On note $P$ (pile) et $F$ (face).

plus de piles que de faces $\Rightarrow$ 2 piles ou 3 piles.

si $B$ est réalisé, alors il y a au moins un pile, donc $B\subset A$.

Dans un lot de 25 calculatrices, 5 sont défectueuses et 20 fonctionnent. On en choisit 4 simultanément (sans remise).
Soit $G$ l'événement « toutes fonctionnent » et $H$ l'événement « au moins 3 fonctionnent ».

Total : $\mathrm{card}(\mathbb{U})=\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{25}{4}\right)$.

choisir 4 bonnes parmi 20 :

« au moins 3 bonnes » = (4 bonnes) ou (3 bonnes et 1 défectueuse) :

la formule $\mathbb{P}(A)=\frac{\mathrm{card}(A)}{\mathrm{card}(\mathbb{U})}$ ne marche pas si les issues n'ont pas la même chance (dé truqué, pièce biaisée, tirage non uniforme).

$A$ est un ensemble d'issues, $\mathbb{P}(A)$ est un nombre.

c'est « au moins un ». Ne pas confondre avec « exclusif » (l'un ou l'autre mais pas les deux).

si $A$ et $B$ ne sont pas disjoints, on doit soustraire $\mathbb{P}(A\cap B)$ :

souvent plus simple par le complémentaire « aucun ».

tirer 2 cartes simultanément $\Rightarrow$ combinaisons ; tirer successivement et noter l'ordre $\Rightarrow$ arrangements / arbre.

sans remise, les probabilités changent à chaque étape (l'univers « se rétrécit »).

un résultat final doit rester entre $0$ et $1$ ; en %, entre $0\%$ et $100\%$.

• • « au moins $k$ » = $k$ ou plus.
• « au plus $k$ » = $k$ ou moins.
• « exactement $k$ » = seulement $k$.

Je sais définir : expérience aléatoire, issue, univers $\mathbb{U}$, événement $A$.

Je sais reconnaître : événement certain $\mathbb{U}$ et impossible $\varnothing$.

Je sais écrire : complémentaire $\overline{A}$, intersection $A\cap B$, réunion $A\cup B$.

Je vérifie toujours l'équiprobabilité avant d'utiliser $\mathbb{P}(A)=\frac{\mathrm{card}(A)}{\mathrm{card}(\mathbb{U})}$.

Je sais compter $\mathrm{card}(\mathbb{U})$ et $\mathrm{card}(A)$ (dénombrement simple / combinaisons si nécessaire).

Je sais utiliser : $\mathbb{P}(\overline{A})=1-\mathbb{P}(A)$ (complémentaire).

Je sais utiliser : $\mathbb{P}(A\cup B)=\mathbb{P}(A)+\mathbb{P}(B)-\mathbb{P}(A\cap B)$.

Je sais quand je peux additionner directement (événements incompatibles).

Je sais modéliser un choix successif avec un arbre (produit sur un chemin, somme de chemins).

Je contrôle que mon résultat est dans $[0,1]$ (ou $[0\%,100\%]$).