Probabilités conditionnelles et événements indépendants

$\Omega$ : ensemble des issues possibles. Événement : partie de $\Omega$.

d'un événement $A$ : nombre $\mathbb{P}(A)$ entre $0$ et $1$.

probabilité de $A$ sachant que $B$ s'est réalisé.

• Notation : $\mathbb{P}(A\mid B)$ (à lire « probabilité de $A$ sachant $B$ » ).
• Condition indispensable : $\mathbb{P}(B)>0$.
• Interprétation : on restreint l'univers à $B$ (on ne garde que les cas où $B$ est vrai).

$A$ et $B$ sont indépendants si savoir que $B$ est réalisé ne change pas la probabilité de $A$.

• $A\cap B$ : « $A$ et $B$ » \ (intersection).
• $A\cup B$ : « $A$ ou $B$ » \ (union inclusive).
• $A^c$ : « non $A$ » \ (complément).
• Dans certains supports, on rencontre $A\cap B$ noté $AXB$ et $A\cup B$ noté $AYB$.

si $\mathbb{P}(B)>0$ :

(équivalente à la précédente) :

si $(B_1,\dots ,B_n)$ est une partition de $\Omega$ avec $\mathbb{P}(B_i)>0$ :

(souvent avec une partition $(B_i)$) :

$A$ et $B$ indépendants $⟺$

si $A$ et $B$ sont indépendants, alors

si $A$ et $B$ sont incompatibles ($A\cap B=\varnothing$) et $\mathbb{P}(A)>0,\mathbb{P}(B)>0$, alors ils ne peuvent pas être indépendants.

• Vérifier que $\mathbb{P}(B)>0$.
• Calculer $\mathbb{P}(A\cap B)$ (événement « $A$ et $B$ » ).
• Calculer $\mathbb{P}(B)$.
• Appliquer : $\mathbb{P}(A\mid B)=\frac{\mathbb{P}(A\cap B)}{\mathbb{P}(B)}$.

• Identifier un enchaînement : d'abord $B$, puis $A$.
• Écrire : $\mathbb{P}(A\cap B)=\mathbb{P}(B)\mathbb{P}(A\mid B)$ (ou l'autre sens).
• Remplacer par les valeurs connues, puis isoler l'inconnue.

• Mettre en premier les événements de type « origine/catégorie » \ ($B_i$).
• Placer sur les branches les probabilités $\mathbb{P}(B_i)$ puis $\mathbb{P}(A\mid B_i)$.
• Chemin : = multiplication des branches.
• Probabilité totale : d'un événement = somme des chemins favorables.
• Probabilité conditionnelle inverse : utiliser Bayes ou faire $\mathbb{P}(B_j\mid A)=\frac{\mathbb{P}(A\cap B_j)}{\mathbb{P}(A)}$.

• Méthode 1 (produit) : calculer $\mathbb{P}(A\cap B)$ et comparer à $\mathbb{P}(A)\mathbb{P}(B)$.
• Méthode 2 (conditionnelle) : calculer $\mathbb{P}(A\mid B)$ et comparer à $\mathbb{P}(A)$ (si $\mathbb{P}(B)>0$).
• Conclusion : égalité $\Rightarrow$ indépendants ; sinon dépendants.

• Transformer en probabilités : $\mathbb{P}(\cdot )=\frac{\text{effectif}}{\text{total}}$.
• Conditionnelle : $\mathbb{P}(A\mid B)=\frac{\text{effectif de }(A\cap B)}{\text{effectif de }B}$.

• Numérateur : la zone $A\cap B$.
• Dénominateur : toute la zone $B$.
• Donc $\mathbb{P}(A\mid B)$ est un rapport de zones (ou d'effectifs) à l'intérieur de $B$.

• À chaque nœ ud, les probabilités des branches sortantes sommant à 1.
• Un chemin correspond à une intersection d'événements ; sa probabilité est un produit.

• $A$ et $B$ indépendants $⟺$ « connaître $B$ ne change rien pour $A$ » .
• Graphiquement : $\mathbb{P}(A\mid B)=\mathbb{P}(A)$ (si $\mathbb{P}(B)>0$).

Dans une assemblée : $\mathbb{P}(E)=0,60$ (comprend l'anglais), $\mathbb{P}(I)=0,45$ (comprend l'italien), $\mathbb{P}(E\cap I)=0,15$.

• $\mathbb{P}(I)=0,45$ (donnée).
• $\mathbb{P}(I\mid E)=\frac{\mathbb{P}(I\cap E)}{\mathbb{P}(E)}=\frac{0,15}{0,60}=0,25$.
• $\mathbb{P}(E\mid I)=\frac{\mathbb{P}(E\cap I)}{\mathbb{P}(I)}=\frac{0,15}{0,45}=\frac{1}{3}\approx 0,333$. Lecture : parmi ceux qui comprennent l'anglais, $25\%$ comprennent aussi l'italien.

Une entreprise reçoit $60\%$ de Genève (événement $G$) et $40\%$ de Berne ($B$). Retard $R$ : $\mathbb{P}(R\mid G)=0,20$, $\mathbb{P}(R\mid B)=0,05$.

• Probabilité d'un retard : :
  $$\mathbb{P}(R)=\mathbb{P}(G)\mathbb{P}(R\mid G)+\mathbb{P}(B)\mathbb{P}(R\mid B)=0,6\cdot 0,2+0,4\cdot 0,05=0,14.$$
• Probabilité que ce soit Berne sachant qu'il y a retard : :
  $$\mathbb{P}(B\mid R)=\frac{\mathbb{P}(R\mid B)\mathbb{P}(B)}{\mathbb{P}(R)}=\frac{0,05\cdot 0,4}{0,14}=\frac{0,02}{0,14}=\frac{1}{7}\approx 0,143.$$

On lance deux dés équilibrés.
$A$ : « la somme vaut 7 » , $B$ : « le premier dé vaut 4 » .

• $\mathbb{P}(A)=\frac{6}{36}=\frac{1}{6}$ (les couples : (1,6),(2,5),...,(6,1)).
• $\mathbb{P}(B)=\frac{1}{6}$.
• $A\cap B$ signifie : « somme 7 et premier dé 4 » \ $\Rightarrow$ second dé 3, donc $\mathbb{P}(A\cap B)=\frac{1}{36}$.
• Comparaison : $\mathbb{P}(A)\mathbb{P}(B)=\frac{1}{6}\cdot \frac{1}{6}=\frac{1}{36}=\mathbb{P}(A\cap B)$. Conclusion : $A$ et $B$ sont indépendants.

Variante : si $A^{\prime }$ = « somme 6 » , alors $\mathbb{P}(A^{\prime })=\frac{5}{36}$ et $\mathbb{P}(A^{\prime }\cap B)=\frac{1}{36}$ (il faut (4,2)), mais $\mathbb{P}(A^{\prime })\mathbb{P}(B)=\frac{5}{216}\ne \frac{1}{36}$ : donc $A^{\prime }$ et $B$ ne sont pas indépendants.

On tire $2$ cartes sans remise d'un jeu de $36$ cartes.
$A$ : « la 1re carte est un as » , $B$ : « la 2e carte est un as » .

• $\mathbb{P}(A)=\frac{4}{36}=\frac{1}{9}$.
• Si la première est un as, il reste $3$ as parmi $35$ cartes :

• Comparaison : $\mathbb{P}(B)=\frac{4}{36}=\frac{1}{9}$ mais $\mathbb{P}(B\mid A)=\frac{3}{35}\ne \frac{1}{9}$. Conclusion : $A$ et $B$ sont dépendants (la première information change la probabilité de la seconde).

$\mathbb{P}(A\mid B)$ n'est définie que si $\mathbb{P}(B)>0$.

$\mathbb{P}(A\mid B)\ne \mathbb{P}(B\mid A)$ en général.

$A\cup B$ est un « ou » \ inclusif (au moins un des deux).

• Si $A\cap B=\varnothing$ et $\mathbb{P}(A),\mathbb{P}(B)>0$, alors $\mathbb{P}(A\cap B)=0$ mais $\mathbb{P}(A)\mathbb{P}(B)>0$ : donc pas indépendants.

• Le plus direct : comparer $\mathbb{P}(A\cap B)$ et $\mathbb{P}(A)\mathbb{P}(B)$.
• Attention aux arrondis : garder des fractions si possible.

• Les probabilités sortant d'un même nœ ud doivent sommer à $1$.
• Un chemin correspond à une intersection (donc multiplication).
• Ne pas additionner des événements qui ne sont pas disjoints sans réflexion.

la composition de l'urne/paquet change.

(si chaque tirage est identique et indépendant).

Je sais définir $\mathbb{P}(A\mid B)$ et vérifier que $\mathbb{P}(B)>0$.

Je sais calculer $\mathbb{P}(A\mid B)$ via $\frac{\mathbb{P}(A\cap B)}{\mathbb{P}(B)}$.

Je sais utiliser $\mathbb{P}(A\cap B)=\mathbb{P}(B)\mathbb{P}(A\mid B)$ (formule de multiplication).

Je sais construire un arbre et lire : produit sur un chemin, somme des chemins.

Je sais appliquer les probabilités totales avec une partition $(B_i)$.

Je sais appliquer Bayes pour remonter à $\mathbb{P}(B_j\mid A)$.

Je sais tester l'indépendance : $\mathbb{P}(A\cap B)$ vs $\mathbb{P}(A)\mathbb{P}(B)$.

Je ne confonds pas indépendance et incompatibilité.

Je ne confonds pas $\mathbb{P}(A\mid B)$ et $\mathbb{P}(B\mid A)$.

Je sais interpréter conditionnelle comme « restriction à $B$ » .