Loi normale

variable aléatoire dont les valeurs possibles forment un intervalle de $\mathbb{R}$. Sa loi est caractérisée par une densité $f(x)$ vérifiant $f(x)\ge 0$ et ${\int }_{-\infty }^{+\infty }f(x)dx=1$.

loi de densité $f(x)=\frac{1}{\sigma \sqrt{2\pi }}\exp \left(-\frac{(x-\mu {)}^2}{2{\sigma }^2}\right)$. Courbe en cloche, symétrique autour de $\mu$.

$\mu$ : espérance (position du centre). $\sigma$ : écart-type (largeur). ${\sigma }^2$ : variance.

cas particulier avec $\mu =0$, $\sigma =1$. Notée souvent $Z$. Densité $\phi (z)=\frac{1}{\sqrt{2\pi }}{e}^{-z^2/2}$.

$F(x)=P(X\le x)={\int }_{-\infty }^{x}f(t)dt$. Pour la normale réduite, notée $\Phi (z)=P(Z\le z)$.

si $X\sim \mathcal{N}(\mu ,{\sigma }^2)$, alors $Z=\frac{X-\mu }{\sigma }\sim \mathcal{N}(0,1)$.

si $X\sim \mathcal{N}(\mu ,{\sigma }^2)$ : $E(X)=\mu$, $V(X)={\sigma }^2$.

si $X\sim \mathcal{N}({\mu }_1,{\sigma }_1^2)$ et $Y\sim \mathcal{N}({\mu }_2,{\sigma }_2^2)$ indépendantes, alors $X+Y\sim \mathcal{N}({\mu }_1+{\mu }_2,{\sigma }_1^2+{\sigma }_2^2)$.

pour $n$ grand et $p$ pas trop proche de 0 ou 1 (ex. $np\ge 10$ et $n(1-p)\ge 10$), $\mathcal{B}(n,p)\approx \mathcal{N}(np,np(1-p))$.

• Standardiser : $z=(x-\mu )/\sigma$.
• Lire $\Phi (z)$ dans la table ou calculatrice.
• Conclure : $P(X\le x)=\Phi (z)$.

• Standardiser $a$ et $b$.
• Calculer $\Phi ((b-\mu )/\sigma )-\Phi ((a-\mu )/\sigma )$.
• Attention à la symétrie pour $z<0$ : $\Phi (-z)=1-\Phi (z)$.

• Chercher $z$ tel que $\Phi (z)=p$ (table inverse ou calculatrice).
• Conclure : $x=\mu +z\sigma$.

• Identifier à combien d'écarts-types de la moyenne se situe l'intervalle.
• Appliquer : 68% pour $\mu \pm \sigma$, 95% pour $\mu \pm 2\sigma$, 99,7% pour $\mu \pm 3\sigma$.

Taille des élèves : $X\sim \mathcal{N}(170,8^2)$ (cm).

Calculer $P(X\le 180)$ : $z=(180-170)/8=1,25$. $P(X\le 180)=\Phi (1,25)\approx 0,894$.

Calculer $P(160\le X\le 180)$ : $\Phi (1,25)-\Phi (-1,25)=2\Phi (1,25)-1\approx 0,789$.

Durée de vie d'un appareil : $X\sim \mathcal{N}(1000,100^2)$ heures.

Entre 800 et 1200 heures ($\mu \pm 2\sigma$) : environ 95% des appareils.

Entre 900 et 1100 ($\mu \pm \sigma$) : environ 68%.

Score d'un test : $X\sim \mathcal{N}(500,100^2)$.

Quel score pour être dans les 10% meilleurs ? On cherche $x$ tel que $P(X\ge x)=0,10$, soit $P(X\le x)=0,90$.

$\Phi (z)=0,90\Rightarrow z\approx 1,282$. Donc $x=500+1,282\cdot 100\approx 628$.

On lance 400 fois un dé équilibré. $Y$ = nombre de 6. $Y\sim \mathcal{B}(400,1/6)$.

$np=66,7$ et $n(1-p)=333,3$, approximation valide.

$\mu =66,7$, ${\sigma }^2=400\cdot \frac{1}{6}\cdot \frac{5}{6}\approx 55,6$, $\sigma \approx 7,45$.

$P(Y\le 75)\approx \Phi ((75,5-66,7)/7,45)\approx \Phi (1,18)\approx 0,881$.

la table (ou la règle empirique) concerne $\mathcal{N}(0,1)$. Toujours transformer $X$ en $Z$.

la loi est notée $\mathcal{N}(\mu ,{\sigma }^2)$. Mais la formule de standardisation divise par $\sigma$, pas ${\sigma }^2$.

pour une variable continue, la probabilité ponctuelle est nulle. Donc $P(X\le a)=P(X<a)$.

quand on approxime une binomiale par une normale, ajouter ou retrancher $0,5$ améliore l'approximation : $P(Y\le k)\approx \Phi ((k+0,5-\mu )/\sigma )$.

utile quand $z$ est négatif. La table donne souvent $\Phi$ pour $z\ge 0$ uniquement.

$V(X+Y)=V(X)+V(Y)$ seulement si indépendance. Les écarts-types ne s'additionnent PAS : $\sigma (X+Y)=\sqrt{{\sigma }_X^2+{\sigma }_Y^2}$.

Je connais la densité et les paramètres de la loi normale.

Je sais standardiser : $Z=(X-\mu )/\sigma$.

Je sais lire $\Phi (z)$ dans une table ou avec une calculatrice.

Je connais la règle 68-95-99,7.

Je sais résoudre des problèmes inverses (trouver $x$ connaissant $P$).

Je connais l'approximation normale de la binomiale.

Je connais la stabilité de la loi normale par somme de variables indépendantes.