Géométrie analytique · niveau renforcé

Sphère

Fiche vérifiée par Stéphane Hartmann (ing. EPFL) · Mise à jour : juillet 2026

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Définition

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Sphère

$Σ$ de centre $C (α; β; γ)$ et de rayon $r \geq 0$ :

Σ = {M (x; y; z) \in R^{3} ∣ C M = r} .

Equation (centre--rayon)

(x - α)^{2} + (y - β)^{2} + (z - γ)^{2} = r^{2} .

Equation développée

(après développement) :

x^{2} + y^{2} + z^{2} + a x + b y + cz + d = 0,

avec

a, b, c, d \in R

Cas limites

si $r > 0$ : vraie sphère;
si $r = 0$ : sphère réduite au point $C$ .

Vocabulaire

plan tangent : à une sphère : plan qui la touche en un seul point;
intersection sphère--plan : vide, un point (tangence), ou un cercle dans un plan.

Attention (espace)

un cercle dans l'espace n'est pas décrit par une seule équation cartésienne; on le définit par un plan + un centre + un rayon (ou par un système).

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Formules essentielles

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Sphère centre--rayon

(x - α)^{2} + (y - β)^{2} + (z - γ)^{2} = r^{2} .

Sphère développée

x^{2} + y^{2} + z^{2} + a x + b y + cz + d = 0.

Centre et rayon depuis la forme développée

(avec coefficient $1$ devant $x^{2}, y^{2}, z^{2}$ ) :

C (- \frac{a}{2}; - \frac{b}{2}; - \frac{c}{2}), r^{2} = \frac{a ^{2} + b ^{2} + c ^{2}}{4} - d .

Condition :

r^{2} \geq 0

(si

r^{2} < 0

, pas de point réel).

Distance d'un point $P (x_{0}, y_{0}, z_{0})$ à un plan $π : A x + B y + C z + D = 0$

d (P, π) = \frac{∣ A x _{0} + B y _{0} + C z _{0} + D ∣}{A ^{2} + B ^{2} + C ^{2}} .

Plan tangent à $Σ$ au point $T$

(si $T \in Σ$ ) :

Vecteur normal : $C T$ .
Equation (produit scalaire) :

C T \cdot T P = 0 pour tout P (x, y, z) du plan tangent.

Si $Σ : (x - α)^{2} + (y - β)^{2} + (z - γ)^{2} = r^{2}$ et $T (s, t, u) \in Σ$ :

(x - α) (s - α) + (y - β) (t - β) + (z - γ) (u - γ) = r^{2} .

Intersection sphère--plan

(si $π$ coupe $Σ$ ) :

Soit $d = d (C, π)$ . Alors

⎩ ⎨ ⎧ d > r d = r d < r \Rightarrow pas d’intersection, \Rightarrow tangence (un point), \Rightarrow cercle .

Si $d < r$ : le centre du cercle est le projeté orthogonal $H$ de $C$ sur $π$ et son rayon vaut

ρ = r^{2} - d^{2} .

Projeté orthogonal sur un plan

$π : A x + B y + C z + D = 0$ :

H = C - \frac{A α + B β + C γ + D}{A ^{2} + B ^{2} + C ^{2}} (A, B, C) .

Deux sphères

$Σ_{1} (C_{1}, r_{1})$ et $Σ_{2} (C_{2}, r_{2})$ :

Soit $δ = C_{1} C_{2}$ . Alors

δ > r_{1} + r_{2} \Rightarrow \emptyset, δ = r_{1} + r_{2} \Rightarrow tangence externe,

∣ r_{1} - r_{2} ∣ < δ < r_{1} + r_{2} \Rightarrow cercle d’intersection, δ = ∣ r_{1} - r_{2} ∣ \Rightarrow tangence interne .

Plan radical : en soustrayant les deux équations développées, on obtient un plan qui contient le cercle d'intersection (s'il existe).

🛠️

Méthodes

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Pour écrire l'équation d'une sphère à partir de $C (α, β, γ)$ et $r$ :

Écrire directement : $(x - α)^{2} + (y - β)^{2} + (z - γ)^{2} = r^{2}$ .
Développer si une forme $x^{2} + y^{2} + z^{2} + a x + b y + cz + d = 0$ est demandée.

Pour retrouver centre et rayon à partir de $x^{2} + y^{2} + z^{2} + a x + b y + cz + d = 0$ :

Regrouper : $(x^{2} + a x) + (y^{2} + b y) + (z^{2} + cz) = - d$ .
Compléter les carrés :

x^{2} + a x = (x + \frac{a}{2})^{2} - (\frac{a}{2})^{2}

(idem pour

y, z

Lire $C (- \frac{a}{2}, - \frac{b}{2}, - \frac{c}{2})$ et calculer $r^{2} = \frac{a ^{2} + b ^{2} + c ^{2}}{4} - d$ .

Pour une sphère de diamètre $A B$ :

Centre : milieu $C = (\frac{x _{A} + x _{B}}{2}, \frac{y _{A} + y _{B}}{2}, \frac{z _{A} + z _{B}}{2})$ .
Rayon : $r = \frac{A B}{2}$ avec

A B = (x_{B} - x_{A})^{2} + (y_{B} - y_{A})^{2} + (z_{B} - z_{A})^{2} .

Écrire l'équation centre--rayon.

Pour tester si un plan $π$ est tangent à une sphère $Σ (C, r)$ :

Calculer $d = d (C, π)$ avec la formule de distance point--plan.
Comparer : $d > r$ (pas de contact), $d = r$ (tangent), $d < r$ (coupant).

Pour trouver le plan tangent à $Σ$ en $T$ :

Vérifier que $T \in Σ$ (en remplaçant dans l'équation).
Calculer le vecteur normal $n = C T$ .
Écrire : $n \cdot (x - x_{T}, y - y_{T}, z - z_{T}) = 0$ .

Pour déterminer l'intersection $Σ \cap π$ (cercle) :

Calculer $d = d (C, π)$ . Si $d \geq r$ , conclure (vide ou point).
Si $d < r$ : calculer le projeté $H$ de $C$ sur $π$ .
Rayon du cercle : $ρ = r^{2} - d^{2}$ .
Décrire le cercle par système :

{\overset{e}{ˊ} quation de la sph \overset{e}{ˋ} re Σ, \overset{e}{ˊ} quation du plan π,

et/ou par la donnée

(π, H, ρ)

Pour l'intersection d'une sphère et d'une droite (points) :

Paramétrer la droite : $(x, y, z) = (x_{0}, y_{0}, z_{0}) + λ (u, v, w)$ .
Remplacer dans l'équation de la sphère $\Rightarrow$ une équation du 2ème degré en $λ$ .
Discriminant $Δ$ : $Δ < 0$ (aucun point), $Δ = 0$ (tangence), $Δ > 0$ (2 points).

(Renforcé) Pour construire une sphère passant par des points donnés :

Partir de $x^{2} + y^{2} + z^{2} + a x + b y + cz + d = 0$ .
Remplacer $(x, y, z)$ par chaque point donné $\Rightarrow$ système linéaire en $(a, b, c, d)$ .
Unicité : il faut en général 4 points non coplanaires pour déterminer une sphère unique.

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Interprétations et graphiques

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Lecture géométrique

la sphère est l'ensemble des points à distance constante $r$ du centre $C$ .

Forme développée

les termes $a x, b y, cz$ décalent le centre; $d$ influence le rayon.

Coupes planes

toute intersection avec un plan coupant donne un cercle. Le rayon de la coupe diminue quand le plan s'éloigne du centre.

Tangence

un plan est tangent si et seulement si la distance du centre au plan vaut $r$ . Le rayon $C T$ est perpendiculaire au plan tangent.

(Renforcé) Deux sphères

la soustraction des équations élimine $x^{2} + y^{2} + z^{2}$ et donne un plan radical. Si les sphères se coupent, leur cercle d'intersection est contenu dans ce plan.

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Exemples-types

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Exemple 1 — Centre et rayon à partir de la forme développée

Déterminer le centre et le rayon de :

x^{2} + y^{2} + z^{2} + 4 x - 10 y - 2 z - 51 = 0.

Regrouper et compléter les carrés :

(x^{2} + 4 x) + (y^{2} - 10 y) + (z^{2} - 2 z) = 51.

x^{2} + 4 x = (x + 2)^{2} - 4, y^{2} - 10 y = (y - 5)^{2} - 25, z^{2} - 2 z = (z - 1)^{2} - 1.

Remplacer :

(x + 2)^{2} - 4 + (y - 5)^{2} - 25 + (z - 1)^{2} - 1 = 51

\Rightarrow (x + 2)^{2} + (y - 5)^{2} + (z - 1)^{2} = 81.

Conclusion :

C (- 2; 5; 1), r = 81 = 9.

Exemple 2 — Sphère de diamètre $A B$

Soient $A (- 1; 0; 5)$ et $B (7; 4; - 7)$ . Trouver l'équation de la sphère de diamètre $A B$ .

Centre $C$ = milieu de $A B$ :

C (\frac{- 1 + 7}{2}; \frac{0 + 4}{2}; \frac{5 + ( - 7 )}{2}) = (3; 2; - 1) .

Longueur $A B$ :

A B = (7 - (- 1))^{2} + (4 - 0)^{2} + (- 7 - 5)^{2} = 8^{2} + 4^{2} + (- 12)^{2} = 224 .

Rayon : $r = \frac{A B}{2} = \frac{224}{2} = 56 = 214$ , donc $r^{2} = 56$ .

Équation :

(x - 3)^{2} + (y - 2)^{2} + (z + 1)^{2} = 56.

Exemple 3 — Sphère tangent à un plan

Déterminer l'équation de la sphère de centre $C (1; 0; 0)$ tangent au plan $π : 4 y + 3 z - 25 = 0$ .

Le rayon vaut la distance du centre au plan :

r = d (C, π) = \frac{∣ 4 \cdot 0 + 3 \cdot 0 - 25 ∣}{0 ^{2} + 4 ^{2} + 3 ^{2}} = \frac{25}{5} = 5.

Équation centre--rayon :

(x - 1)^{2} + y^{2} + z^{2} = 25.

Exemple 4 — Intersection d'une sphère et d'un plan (cercle)

Soit $Σ : (x - 3)^{2} + (y + 2)^{2} + (z - 1)^{2} = 100$ et $π : 2 x - 2 y - z + 9 = 0$ .

Centre de la sphère : $C (3; - 2; 1)$ , rayon $r = 10$ .

Distance du centre au plan :

d = \frac{∣ 2 \cdot 3 - 2 \cdot ( - 2 ) - 1 + 9 ∣}{2 ^{2} + ( - 2 ) ^{2} + ( - 1 ) ^{2}} = \frac{∣ 6 + 4 - 1 + 9 ∣}{3} = \frac{18}{3} = 6.

Donc

π

coupe

Σ

(car

d < r

Rayon du cercle d'intersection :

ρ = r^{2} - d^{2} = 100 - 36 = 8.

Centre $H$ du cercle = projeté orthogonal de $C$ sur $π$ .
Avec $A = 2, B = - 2, C^{'} = - 1, D = 9$ , on calcule

s = A \cdot 3 + B \cdot (- 2) + C^{'} \cdot 1 + D = 18, A^{2} + B^{2} + C^{'2} = 9,

H = C - \frac{s}{A ^{2} + B ^{2} + C ^{'2}} (A, B, C^{'}) = (3, - 2, 1) - 2 (2, - 2, - 1) = (- 1, 2, 3) .

Description du cercle

Cercle = {M \in R^{3} ∣ M \in Σ et M \in π},

et ses caractéristiques sont : plan

π

, centre

H (- 1; 2; 3)

, rayon

ρ = 8

⚠️

Pièges et cas particuliers

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Oublier le carré du rayon

l'équation standard utilise $r^{2}$ (pas $r$ ).

Signes lors du complétage du carré

x^{2} + a x = (x + \frac{a}{2})^{2} - (\frac{a}{2})^{2} (le signe de a est crucial) .

Forme développée pas normalisée

si l'équation est

k x^{2} + k y^{2} + k z^{2} + \dots = 0 (k \neq = 0),

diviser par

k

avant de lire centre et rayon.

Ce n'est pas une sphère si

les coefficients de $x^{2}, y^{2}, z^{2}$ ne sont pas égaux (après simplification),
il y a des termes croisés ( $x y$ , $x z$ , $y z$ )

Rayon imaginaire

si $r^{2} < 0$ , l'ensemble des solutions réelles est vide.

Cas $r = 0$

l'équation représente un point (le centre).

Intersection avec un plan

ne pas chercher une ``équation cartésienne du cercle'' unique; il faut au moins le plan + la sphère (ou une paramétrisation).

Plan tangent en $T$

il faut vérifier $T \in Σ$ ; sinon, le plan calculé n'a pas de sens.

Droite et sphère

après substitution, bien traiter le second degré (discriminant) et ne pas perdre de solutions.

Deux sphères tangentes

bien distinguer tangence externe ( $δ = r_{1} + r_{2}$ ) et interne ( $δ = ∣ r_{1} - r_{2} ∣$ ).

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À retenir

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Je sais passer de la définition $C M = r$ à l'équation $(x - α)^{2} + (y - β)^{2} + (z - γ)^{2} = r^{2}$ .

Je sais développer et reconnaître $x^{2} + y^{2} + z^{2} + a x + b y + cz + d = 0$ .

Je sais retrouver $C (- \frac{a}{2}, - \frac{b}{2}, - \frac{c}{2})$ et $r$ par complétage du carré.

Je sais écrire la sphère de diamètre $A B$ (milieu + demi-distance).

Je sais calculer $d (C, π)$ et décider : coupant / tangent / disjoint.

Je sais trouver le plan tangent en $T$ avec le vecteur normal $C T$ .

Je sais décrire $Σ \cap π$ par $(π, H, ρ)$ avec $H$ projeté de $C$ sur $π$ et $ρ = r^{2} - d^{2}$ .

Je sais résoudre $Σ \cap d$ en substituant une paramétrisation de droite (second degré, $Δ$ ).

Je sais obtenir le plan radical de deux sphères en soustrayant leurs équations.

Je vérifie toujours les cas limites ( $r^{2} < 0$ , $r = 0$ ) et les erreurs de signes.

Sphère

Définition

Sphère

Equation (centre--rayon)

Equation développée

Cas limites

Vocabulaire

Attention (espace)

Formules essentielles

Sphère centre--rayon

Sphère développée

Centre et rayon depuis la forme développée

Distance d'un point P(x0​,y0​,z0​) à un plan π:Ax+By+Cz+D=0

Plan tangent à Σ au point T

Intersection sphère--plan

Projeté orthogonal sur un plan

Deux sphères

Méthodes

Pour écrire l'équation d'une sphère à partir de C(α,β,γ) et r :

Pour retrouver centre et rayon à partir de x2+y2+z2+ax+by+cz+d=0 :

Pour une sphère de diamètre AB :

Pour tester si un plan π est tangent à une sphère Σ(C,r) :

Pour trouver le plan tangent à Σ en T :

Pour déterminer l'intersection Σ∩π (cercle) :

Pour l'intersection d'une sphère et d'une droite (points) :

(Renforcé) Pour construire une sphère passant par des points donnés :

Interprétations et graphiques

Lecture géométrique

Forme développée

Coupes planes

Tangence

(Renforcé) Deux sphères

Exemples-types

Exemple 1 — Centre et rayon à partir de la forme développée

Exemple 2 — Sphère de diamètre AB

Exemple 3 — Sphère tangent à un plan

Exemple 4 — Intersection d'une sphère et d'un plan (cercle)

Description du cercle

Pièges et cas particuliers

Oublier le carré du rayon

Signes lors du complétage du carré

Forme développée pas normalisée

Ce n'est pas une sphère si

Rayon imaginaire

Cas r=0

Intersection avec un plan

Plan tangent en T

Droite et sphère

Deux sphères tangentes

À retenir

Distance d'un point $P (x_{0}, y_{0}, z_{0})$ à un plan $π : A x + B y + C z + D = 0$

Plan tangent à $Σ$ au point $T$

Pour écrire l'équation d'une sphère à partir de $C (α, β, γ)$ et $r$ :

Pour retrouver centre et rayon à partir de $x^{2} + y^{2} + z^{2} + a x + b y + cz + d = 0$ :

Pour une sphère de diamètre $A B$ :

Pour tester si un plan $π$ est tangent à une sphère $Σ (C, r)$ :

Pour trouver le plan tangent à $Σ$ en $T$ :

Pour déterminer l'intersection $Σ \cap π$ (cercle) :

Exemple 2 — Sphère de diamètre $A B$

Cas $r = 0$

Plan tangent en $T$