Géométrie analytique · niveau commun

Coniques (parabole, ellipse, hyperbole)

Fiche vérifiée par Stéphane Hartmann (ing. EPFL) · Mise à jour : juillet 2026

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Définition

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Conique

courbe plane obtenue par intersection d'un cône de révolution avec un plan. Selon l'inclinaison du plan, on obtient un cercle, une ellipse, une parabole ou une hyperbole.

Ellipse

ensemble des points $M$ du plan tels que $M F_{1} + M F_{2} = 2 a$ , où $F_{1}, F_{2}$ sont deux points fixes appelés foyers et $2 a$ est une constante ( $2 a > F_{1} F_{2}$ ).

Parabole

ensemble des points $M$ équidistants d'un point fixe $F$ (foyer) et d'une droite fixe $D$ (directrice). Soit $M F = d (M, D)$ .

Hyperbole

ensemble des points $M$ tels que $∣ M F_{1} - M F_{2} ∣ = 2 a$ , où $F_{1}, F_{2}$ sont les foyers et $2 a < F_{1} F_{2}$ .

Excentricité $e$

rapport caractérisant la forme : $e = 0$ cercle, $0 < e < 1$ ellipse, $e = 1$ parabole, $e > 1$ hyperbole.

Axes et sommets

l'axe focal passe par les foyers ; les sommets sont les intersections de la courbe avec cet axe.

🧮

Formules essentielles

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Ellipse — équation réduite (centrée à l'origine, axe focal $O x$ )

\frac{x ^{2}}{a ^{2}} + \frac{y ^{2}}{b ^{2}} = 1, a > b > 0.

Foyers :

F_{1} (- c, 0)

F_{2} (c, 0)

avec

c = a^{2} - b^{2}

. Sommets :

(\pm a, 0)

(0, \pm b)

. Excentricité :

e = c / a < 1

Parabole — équation réduite (sommet à l'origine, axe $O x$ )

y^{2} = 2 p x (p > 0) .

Foyer :

F (p /2, 0)

. Directrice :

x = - p /2

. Paramètre

p

= distance entre foyer et directrice.

Parabole — axe vertical

y = \frac{x ^{2}}{2 p} ou x^{2} = 2 p y .

Foyer :

F (0, p /2)

. Directrice :

y = - p /2

Hyperbole — équation réduite (axe focal $O x$ )

\frac{x ^{2}}{a ^{2}} - \frac{y ^{2}}{b ^{2}} = 1.

Foyers :

F_{1} (- c, 0)

F_{2} (c, 0)

avec

c = a^{2} + b^{2}

. Sommets :

(\pm a, 0)

. Asymptotes :

y = \pm \frac{b}{a} x

. Excentricité :

e = c / a > 1

Cercle (cas particulier d'ellipse)

(x - x_{0})^{2} + (y - y_{0})^{2} = R^{2} .

Centre

(x_{0}, y_{0})

, rayon

R

. Excentricité

e = 0

Translation du centre

si le centre est $(x_{0}, y_{0})$ au lieu de l'origine, remplacer $x$ par $x - x_{0}$ et $y$ par $y - y_{0}$ dans les équations.

🛠️

Méthodes

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Identifier une conique à partir de son équation :

Mettre sous forme canonique par complétion du carré.
Si $\frac{( x - x _{0} ) ^{2}}{a ^{2}} + \frac{( y - y _{0} ) ^{2}}{b ^{2}} = 1$ : ellipse (cercle si $a = b$ ).
Si $\frac{( x - x _{0} ) ^{2}}{a ^{2}} - \frac{( y - y _{0} ) ^{2}}{b ^{2}} = 1$ : hyperbole.
Si un seul terme au carré : parabole.

Trouver foyers et sommets d'une ellipse :

Identifier $a$ (le plus grand) et $b$ .
Calculer $c = a^{2} - b^{2}$ .
Foyers sur l'axe focal à distance $c$ du centre.
Excentricité $e = c / a$ .

Trouver foyer et directrice d'une parabole :

Mettre sous forme $y^{2} = 2 p x$ ou $x^{2} = 2 p y$ (ou translation).
Foyer à distance $p /2$ du sommet sur l'axe.
Directrice perpendiculaire à l'axe, à distance $p /2$ du côté opposé.

Trouver asymptotes d'une hyperbole :

Mettre sous forme réduite.
Asymptotes : $y - y_{0} = \pm \frac{b}{a} (x - x_{0})$ .
Elles passent par le centre.

Équation connaissant foyers et constante $2 a$ :

Placer le repère pour avoir les foyers sur un axe, centre à l'origine.
Calculer $c = F_{1} F_{2} /2$ .
Ellipse : $b^{2} = a^{2} - c^{2}$ . Hyperbole : $b^{2} = c^{2} - a^{2}$ .
Écrire l'équation réduite.

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Exemples-types

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Exemple 1 — Ellipse

Soit $\frac{x ^{2}}{25} + \frac{y ^{2}}{9} = 1$ . Alors $a = 5$ , $b = 3$ , $c = 25 - 9 = 4$ .

Foyers : $F_{1} (- 4, 0)$ , $F_{2} (4, 0)$ . Sommets : $(\pm 5, 0)$ , $(0, \pm 3)$ . Excentricité : $e = 4/5 = 0, 8$ .

Exemple 2 — Parabole

Soit $y^{2} = 8 x$ . Alors $2 p = 8$ , $p = 4$ .

Foyer : $F (2, 0)$ . Directrice : $x = - 2$ . Axe de symétrie : $O x$ .

Exemple 3 — Hyperbole

Soit $\frac{x ^{2}}{16} - \frac{y ^{2}}{9} = 1$ . Alors $a = 4$ , $b = 3$ , $c = 16 + 9 = 5$ .

Foyers : $(\pm 5, 0)$ . Sommets : $(\pm 4, 0)$ . Asymptotes : $y = \pm \frac{3}{4} x$ .

Exemple 4 — Complétion du carré

Identifier $x^{2} + 4 y^{2} - 2 x - 16 y + 13 = 0$ .

$(x^{2} - 2 x) + 4 (y^{2} - 4 y) + 13 = 0$
$(x - 1)^{2} - 1 + 4 ((y - 2)^{2} - 4) + 13 = 0$
$(x - 1)^{2} + 4 (y - 2)^{2} = 4$
$\frac{( x - 1 ) ^{2}}{4} + (y - 2)^{2} = 1$ .

Ellipse de centre $(1, 2)$ , $a = 2$ , $b = 1$ .

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Pièges et cas particuliers

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Confondre $a$ et $b$ dans une ellipse

par convention $a \geq b$ et $a$ est le demi-grand axe. L'axe focal est celui associé à $a$ .

Signe de $c^{2}$ : ellipse vs hyperbole

ellipse : $c^{2} = a^{2} - b^{2}$ . Hyperbole : $c^{2} = a^{2} + b^{2}$ . Ne pas confondre.

Parabole : position du foyer

le foyer est du même côté que la concavité, à distance $p /2$ du sommet.

Équation non réduite

toujours compléter le carré avant d'extraire $a, b, c$ . Une équation peut être celle d'une ellipse translatée.

Hyperbole et asymptotes

les asymptotes passent toujours par le centre, leurs pentes sont $\pm b / a$ .

Cas dégénérés

$x^{2} + y^{2} = 0$ (un point), $x^{2} - y^{2} = 0$ (deux droites) sont des coniques dégénérées.

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À retenir

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Je connais les définitions d'ellipse, parabole, hyperbole par distance aux foyers.

Je connais les équations réduites des trois coniques.

Je sais calculer $c$ en fonction de $a, b$ selon le type de conique.

Je sais identifier une conique à partir d'une équation générale (complétion du carré).

Je sais trouver foyers, directrice, sommets, asymptotes.

Je connais l'excentricité et la classification associée.