Géométrie analytique · niveau renforcé

Équation cartésienne d'une droite dans l'espace

Fiche vérifiée par Stéphane Hartmann (ing. EPFL) · Mise à jour : juillet 2026

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Définition

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Droite dans l'espace

(dans un repère) : ensemble des points $M (x, y, z)$ alignés avec un point $A (a_{1}, a_{2}, a_{3})$ et un vecteur directeur $v = (v_{1}, v_{2}, v_{3}) \neq = 0$ .

Équations paramétriques

de la droite $d$ :

(d) : ⎩ ⎨ ⎧ x = a_{1} + k v_{1} y = a_{2} + k v_{2} z = a_{3} + k v_{3} (k \in R) .

Équations cartésiennes (forme symétrique)

de $d$ (si $v_{1}, v_{2}, v_{3} \neq = 0$ ) :

(d) : \frac{x - a _{1}}{v _{1}} = \frac{y - a _{2}}{v _{2}} = \frac{z - a _{3}}{v _{3}} .

Si une composante est nulle

si $v_{1} = 0$ , alors $x = a_{1}$ (constant) et on garde les rapports sur les composantes non nulles ;
si $v_{2} = 0$ , alors $y = a_{2}$ ; si $v_{3} = 0$ , alors $z = a_{3}$ .

Interprétation “cartésienne” alternative

une droite dans $R^{3}$ peut aussi se décrire comme intersection de deux plans non parallèles :

d = P_{1} \cap P_{2}, P_{1} : α x + β y + γ z = δ, P_{2} : α^{'} x + β^{'} y + γ^{'} z = δ^{'} .

Non-unicité

une même droite admet une infinité d'écritures cartésiennes (on peut multiplier, permuter, ou réécrire).

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Formules essentielles

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Paramétrique

(point + direction) :

(x, y, z) = (a_{1}, a_{2}, a_{3}) + k (v_{1}, v_{2}, v_{3}) .

Cartésienne symétrique

(si $v_{1} v_{2} v_{3} \neq = 0$ ) :

\frac{x - a _{1}}{v _{1}} = \frac{y - a _{2}}{v _{2}} = \frac{z - a _{3}}{v _{3}} .

Cas avec composante nulle

v_{1} = 0 v_{2} = 0 v_{3} = 0 \Rightarrow x = a_{1} et \frac{y - a _{2}}{v _{2}} = \frac{z - a _{3}}{v _{3}} (v_{2} v_{3} \neq = 0), \Rightarrow y = a_{2} et \frac{x - a _{1}}{v _{1}} = \frac{z - a _{3}}{v _{3}} (v_{1} v_{3} \neq = 0), \Rightarrow z = a_{3} et \frac{x - a _{1}}{v _{1}} = \frac{y - a _{2}}{v _{2}} (v_{1} v_{2} \neq = 0) .

Lecture d'une équation symétrique

en posant

\frac{x - a _{1}}{v _{1}} = \frac{y - a _{2}}{v _{2}} = \frac{z - a _{3}}{v _{3}} = t,

on retrouve immédiatement

x = a_{1} + t v_{1}

y = a_{2} + t v_{2}

z = a_{3} + t v_{3}

Vecteur directeur à partir de la forme symétrique

\frac{x - a _{1}}{v _{1}} = \frac{y - a _{2}}{v _{2}} = \frac{z - a _{3}}{v _{3}} \Rightarrow v ∥ (v_{1}, v_{2}, v_{3}) .

Droite comme intersection de deux plans

un vecteur normal de $P_{1}$ : $n_{1} = (α, β, γ)$ , de $P_{2}$ : $n_{2} = (α^{'}, β^{'}, γ^{'})$ ;
vecteur directeur de la droite : $d = P_{1} \cap P_{2}$ :

v = n_{1} \times n_{2} (si n_{1} et n_{2} non colin \overset{e}{ˊ} aires) .

Parallélisme de deux droites

$d_{1}, d_{2}$ : $v_{1}$ et $v_{2}$ colinéaires

\exists λ \in R : v_{2} = λ v_{1} .

Appartenance d'un point

$M (x, y, z)$ à $d$ :

en paramétrique : il existe $k$ tel que $x = a_{1} + k v_{1}$ , $y = a_{2} + k v_{2}$ , $z = a_{3} + k v_{3}$ ;
en symétrique : les rapports (quand définis) sont égaux, ou bien les coordonnées constantes sont respectées.

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Méthodes

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Pour passer de paramétrique à cartésienne (symétrique)

Identifier un point $A (a_{1}, a_{2}, a_{3})$ et un vecteur directeur $v = (v_{1}, v_{2}, v_{3})$ .
Si $v_{1}, v_{2}, v_{3} \neq = 0$ , écrire

\frac{x - a _{1}}{v _{1}} = \frac{y - a _{2}}{v _{2}} = \frac{z - a _{3}}{v _{3}} .

Si une composante vaut $0$ , remplacer le rapport correspondant par la coordonnée constante (ex. $v_{1} = 0 \Rightarrow x = a_{1}$ ) et garder l'égalité des deux autres rapports.
Simplifier les signes (ex. diviser numérateur et dénominateur par $- 1$ si utile).

Pour passer de cartésienne (symétrique) à paramétrique

Poser l'égalité commune à un paramètre : $\frac{x - a _{1}}{v _{1}} = \frac{y - a _{2}}{v _{2}} = \frac{z - a _{3}}{v _{3}} = t$ .
En déduire directement $x = a_{1} + t v_{1}$ , $y = a_{2} + t v_{2}$ , $z = a_{3} + t v_{3}$ .
Si une coordonnée est constante (ex. $x = a_{1}$ ), la garder telle quelle dans le système paramétrique.

Pour obtenir une paramétrique à partir de deux plans

$d = P_{1} \cap P_{2}$ :

Résoudre le système des deux équations de plans (choisir une variable libre $t$ ).
Exprimer les deux autres variables en fonction de $t$ .
Lire un point (valeur de $t$ simple) et un vecteur directeur (coefficients de $t$ ).

Pour déterminer la position relative de deux droites

$d_{1}, d_{2}$ (dans $R^{3}$ ) :

Mettre les deux droites en paramétrique : $A_{1} + λ v_{1}$ , $A_{2} + μ v_{2}$ .

Tester le parallélisme : $v_{1}$ et $v_{2}$ colinéaires ?

Oui $\Rightarrow$ soit parallèles distinctes, soit confondues (vérifier si $A_{2} \in d_{1}$ ).

Non $\Rightarrow$ résoudre $A_{1} + λ v_{1} = A_{2} + μ v_{2}$ :

solution $\Rightarrow$ sécantes (point d'intersection) ;
pas de solution $\Rightarrow$ gauches (non coplanaires).

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Interprétations et graphiques

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Sens géométrique de la forme symétrique

\frac{x - a _{1}}{v _{1}} = \frac{y - a _{2}}{v _{2}} = \frac{z - a _{3}}{v _{3}} = t

signifie que, quand on se déplace de

A

vers

M

, les variations

(x - a_{1}, y - a_{2}, z - a_{3})

sont proportionnelles à

(v_{1}, v_{2}, v_{3})

Paramètre $t$

mesure le “multiple” du vecteur directeur : $A M = t v$ .

Droite comme intersection de deux plans

chaque équation linéaire en $(x, y, z)$ décrit un plan ; deux plans non parallèles se coupent selon une droite.

Lecture rapide

point sur la droite : prendre $t = 0$ donne $A$ ;
direction : $t \mapsto t + 1$ ajoute $v$ .

Graphe (exemple de droite dans l'espace) :

Figure : geometrie analytique 5 equation cartesienne

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Exemples-types

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Exemple 1 — Paramétrique $\to$ cartésienne (cas standard)

Soit la droite

(x, y, z) = (1, - 3, 3) + k (1, 1, - 3) (k \in R) .

Un point : $A (1, - 3, 3)$ .

Un vecteur directeur : $v = (1, 1, - 3)$ (toutes composantes non nulles).

Donc les équations cartésiennes (symétriques) sont

\frac{x - 1}{1} = \frac{y - ( - 3 )}{1} = \frac{z - 3}{- 3} ⟺ x - 1 = y + 3 = \frac{3 - z}{3}

(les deux écritures sont correctes ; on peut simplifier la dernière fraction si on le souhaite).

Exemple 2 — Cartésienne $\to$ paramétrique (forme symétrique)

Soit

\frac{x - 2}{3} = \frac{y - 1}{7} = \frac{z - 3}{2} .

Posons l'égalité commune

= t

\frac{x - 2}{3} = t, \frac{y - 1}{7} = t, \frac{z - 3}{2} = t .

Alors

⎩ ⎨ ⎧ x = 2 + 3 t y = 1 + 7 t z = 3 + 2 t (t \in R)

et on lit

A (2, 1, 3)

v = (3, 7, 2)

Exemple 3 — Droite donnée par l'intersection de deux plans

Soit le système

{x - 2 y = - 13 x + z = 2

qui décrit une droite dans

R^{3}

(intersection de deux plans).

Choisissons $y = t$ comme paramètre libre.

De $x - 2 y = - 13$ : $x = 2 t - 13$ .

De $x + z = 2$ : $z = 2 - x = 2 - (2 t - 13) = 15 - 2 t$ .

Donc une représentation paramétrique est

⎩ ⎨ ⎧ x = - 13 + 2 t y = 0 + 1 t z = 15 - 2 t (t \in R)

et un vecteur directeur est

v = (2, 1, - 2)

.
Comme

2, 1, - 2 \neq = 0

, on peut écrire une forme cartésienne symétrique :

\frac{x + 13}{2} = \frac{y - 0}{1} = \frac{z - 15}{- 2} ⟺ \frac{x + 13}{2} = y = \frac{15 - z}{2}

Exemple 4 — Composante nulle dans le vecteur directeur

Droite passant par $A (4, - 1, 2)$ , de vecteur directeur $v = (0, 3, - 6)$ .

Paramétrique :

⎩ ⎨ ⎧ x = 4 y = - 1 + 3 t z = 2 - 6 t (t \in R)

Cartésienne : comme $v_{1} = 0$ , la coordonnée $x$ est constante.

x = 4 et \frac{y + 1}{3} = \frac{z - 2}{- 6} ⟺ x = 4 et \frac{y + 1}{3} = \frac{2 - z}{6}

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Pièges et cas particuliers

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Oublier la condition

$v_{1} v_{2} v_{3} \neq = 0$ avant d'écrire
$\frac{x - a _{1}}{v _{1}} = \frac{y - a _{2}}{v _{2}} = \frac{z - a _{3}}{v _{3}}$ .

Composante nulle

si $v_{1} = 0$ , on ne met jamais $\frac{x - a _{1}}{0}$ ; on écrit $x = a_{1}$ .

Mauvais point

dans $\frac{x - a _{1}}{v _{1}}$ , le $a_{1}$ vient d'un point sur la droite. Changer $A$ change l'écriture mais pas la droite.

Signes

$\frac{z - 3}{- 3}$ peut se réécrire $\frac{3 - z}{3}$ . Les deux sont corrects, mais attention à rester cohérent.

Non-unicité

multiplier tous les dénominateurs par un même non-zéro donne la même droite (vecteur directeur proportionnel).

Deux plans “définissant une droite”

si les plans sont parallèles distincts $\Rightarrow$ pas d'intersection (aucune droite) ;
si les plans sont confondus $\Rightarrow$ intersection = le plan (infinité de droites), donc il manque une équation indépendante.

Positions de deux droites dans $R^{3}$

“pas parallèles” ne suffit pas pour conclure “sécantes” \ $\Rightarrow$ elles peuvent être gauches.

Paramètre

selon l'écriture, le paramètre peut changer ( $t = 2 k - 1$ ) \ $\Rightarrow$ ne pas se laisser piéger : c'est la même droite.

✅

À retenir

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Je sais passer de $(x, y, z) = A + k v$ à la forme symétrique (et traiter les zéros).

Je sais passer de la forme symétrique à un système paramétrique en posant $= t$ .

Je sais lire un point et un vecteur directeur dans une écriture paramétrique/symétrique.

Je sais déterminer une paramétrique en résolvant l'intersection de deux plans (une variable libre).

Je sais tester le parallélisme de deux droites (vecteurs directeurs colinéaires).

Je sais décider si deux droites sont confondues (point de l'une sur l'autre + parallélisme).

Je sais chercher un point d'intersection en résolvant $A_{1} + λ v_{1} = A_{2} + μ v_{2}$ .

Je n'écris jamais de fraction avec dénominateur $0$ ; je remplace par une coordonnée constante.

Équation cartésienne d'une droite dans l'espace

Définition

Droite dans l'espace

Équations paramétriques

Équations cartésiennes (forme symétrique)

Si une composante est nulle

Interprétation “cartésienne” alternative

Non-unicité

Formules essentielles

Paramétrique

Cartésienne symétrique

Cas avec composante nulle

Lecture d'une équation symétrique

Vecteur directeur à partir de la forme symétrique

Droite comme intersection de deux plans

Parallélisme de deux droites

Appartenance d'un point

Méthodes

Pour passer de paramétrique à cartésienne (symétrique)

Pour passer de cartésienne (symétrique) à paramétrique

Pour obtenir une paramétrique à partir de deux plans

Pour déterminer la position relative de deux droites

Interprétations et graphiques

Sens géométrique de la forme symétrique

Paramètre t

Droite comme intersection de deux plans

Lecture rapide

Exemples-types

Exemple 1 — Paramétrique → cartésienne (cas standard)

Exemple 2 — Cartésienne → paramétrique (forme symétrique)

Exemple 3 — Droite donnée par l'intersection de deux plans

Exemple 4 — Composante nulle dans le vecteur directeur

Pièges et cas particuliers

Oublier la condition

Composante nulle

Mauvais point

Signes

Non-unicité

Deux plans “définissant une droite”

Positions de deux droites dans R3

Paramètre

À retenir

Paramètre $t$

Exemple 1 — Paramétrique $\to$ cartésienne (cas standard)

Exemple 2 — Cartésienne $\to$ paramétrique (forme symétrique)

Positions de deux droites dans $R^{3}$