Introduction et équation de la droite dans le plan

on travaille dans un repère cartésien $(O;\overrightarrow{i},\overrightarrow{j})$ (souvent orthonormé) avec axes $Ox$ et $Oy$.

$A(x_A;y_A)$, $B(x_B;y_B)$, $M(x;y)$.

$\overrightarrow{u}=\left(\begin{array}{c}{u}_1\\ u_2\end{array}\right)$ (direction, sens, norme). Exemple : $\overrightarrow{AB}=\left(\begin{array}{c}{x}_B-x_A\\ y_B-y_A\end{array}\right)$.

$d$ : ensemble infini de points alignés.

d'une droite $d$ : vecteur non nul $\overrightarrow{v}$ colinéaire à la direction de $d$.

d'une droite $d$ : vecteur non nul $\overrightarrow{n}$ perpendiculaire à $d$.

$m$ (si $d$ n'est pas verticale) : mesure l'inclinaison de $d$.

$h$ : ordonnée du point d'intersection avec l'axe $Oy$ (si $d$ n'est pas verticale).

$y=mx+h$ (droite non verticale).

$ax+by+c=0$ avec $(a,b)\ne (0,0)$.

$\overrightarrow{OM}=\overrightarrow{OA}+k\overrightarrow{v}$ avec $k\in \mathbb{R}$.

• verticale : $x=\text{constante}$ (pente non définie) ;
• horizontale : $y=\text{constante}$ (pente $m=0$).

(droite passant par $A(a_1;a_2)$, de vecteur directeur $\overrightarrow{v}=\left(\begin{array}{c}{v}_1\\ v_2\end{array}\right)$) :

(si $x_B\ne x_A$) :

(droite non verticale, passant par $A(x_A;y_A)$, pente $m$) :

(droite non verticale) :

(pour $ax+by+c=0$) :

• pentes égales (si elles existent) : $m_1=m_2$ ;
• ou coefficients proportionnels : $\frac{a_1}{a_2}=\frac{b_1}{b_2}$ (si $a_2,b_2\ne 0$).

• pentes : $m_1{m}_2=-1$ (si les deux pentes existent) ;
• ou avec formes cartésiennes $a_{1}x+b_{1}y+c_1=0$ et $a_{2}x+b_{2}y+c_2=0$ :

$A(x_A;y_A)$, $B(x_B;y_B)$, $P(x;y)$ :

• Identifier $A(x_A;y_A)$ et la pente $m$.
• Écrire $y-y_A=m(x-x_A)$.
• Mettre sous forme réduite $y=mx+h$ si demandé.
• Mettre sous forme cartésienne $ax+by+c=0$ en regroupant et en éliminant les fractions.

• Calculer $\overrightarrow{AB}=\left(\begin{array}{c}{x}_B-x_A\\ y_B-y_A\end{array}\right)$.
• Si $x_B\ne x_A$, calculer la pente $m=\frac{y_B-y_A}{x_B-x_A}$ puis utiliser $y-y_A=m(x-x_A)$.
• Si $x_B=x_A$, la droite est verticale : $x=x_A$.
• (Option robuste) Utiliser le déterminant d'alignement :

Identifier $A(a_1;a_2)$ et $\overrightarrow{v}=\left(\begin{array}{c}{v}_1\\ v_2\end{array}\right)$.

Écrire la paramétrique :

Passer en cartésienne en éliminant $k$ (si possible) :

• si $v_1\ne 0$, alors $k=\frac{x-a_1}{v_1}$ et on remplace dans $y=a_2+k{v}_2$ ;
• si $v_1=0$, alors $x=a_1$ (droite verticale).

• Identifier $A(x_A;y_A)$ et $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}a\\ b\end{array}\right)$.
• Écrire directement la forme cartésienne :

• Développer pour obtenir $ax+by+c=0$.

• Partir de $ax+by+c=0$.
• Si $b\ne 0$, isoler $y$ : $y=-\frac{a}{b}x-\frac{c}{b}$.
• Si $b=0$, la droite est verticale : $x=-\frac{c}{a}$.

• Méthode 1 (deux points) : choisir deux valeurs de $x$ (ou de $y$), calculer les points correspondants, puis tracer la droite.
• Méthode 2 (pente + ordonnée) : écrire $y=mx+h$, placer $H(0;h)$, puis utiliser le «triangle de pente» : monter de $\Delta y$ et avancer de $\Delta x$ avec $m=\frac{\Delta y}{\Delta x}$.

• Écrire les deux équations (de préférence sous forme cartésienne).
• Résoudre le système à deux inconnues.
• Vérifier : si aucune solution $\Rightarrow$ parallèles distinctes ; infinité $\Rightarrow$ droites confondues.

(droites non verticales) :

• $m>0$ : la droite monte quand $x$ augmente ;
• $m<0$ : la droite descend quand $x$ augmente ;
• $m=0$ : droite horizontale ($y=h$).

point d'intersection avec $Oy$ : $(0;h)$.

• $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}a\\ b\end{array}\right)$ est un vecteur normal à la droite.
• Le signe de $ax+by+c$ permet de distinguer les deux demi-plans séparés par la droite (utile plus tard pour des inégalités).

une droite est entièrement déterminée par

• un point + une direction,
• ou deux points distincts.

Exemple de graphique : droite $y=\frac{2}{3}x+1$ (pente $m=\frac{2}{3}$, ordonnée $h=1$).

Droite $d$ passant par $A(2;-5)$ et de vecteur directeur $\overrightarrow{v}=\left(\begin{array}{c}2\\ -3\end{array}\right)$.

• Équations paramétriques :
  $$\{\begin{array}{l}x=2+2k\\ y=-5-3k\end{array}(k\in \mathbb{R}).$$
• Élimination de $k$ : si $2\ne 0$, alors $k=\frac{x-2}{2}$.

• Forme réduite : $y=-\frac{3}{2}x-2$.
• Forme cartésienne : multiplier par $2$ :

Droite passant par $A(2;3)$ et $B(-3;-5)$.

• Pente :
  $$m=\frac{y_B-y_A}{x_B-x_A}=\frac{-5-3}{-3-2}=\frac{-8}{-5}=\frac{8}{5}.$$
• Point--pente : (avec $A$) :

• Réduite :
  $$y=\frac{8}{5}x-\frac{16}{5}+3=\frac{8}{5}x-\frac{1}{5}.$$
• Cartésienne :
  $$5y=8x-1⟺8x-5y-1=0.$$

• Substitution de $y$ dans $g$ :

• Calcul :

• Puis

• Point d'intersection : $I(3;1)$.

Droite $(d):2x+4y-24=0$.

($b=4\ne 0$) :

• si $x=0$, alors $y=6$ donc $H(0;6)$ ;
• si $y=0$, alors $2x-24=0$ donc $x=12$ et $K(12;0)$.

placer $H$ et $K$, puis tracer la droite $(HK)$.

elle ne s'écrit pas sous la forme $y=mx+h$ (pente non définie). Forme : $x=c$.

vérifier $x_B\ne x_A$ avant d'utiliser $m=\frac{y_B-y_A}{x_B-x_A}$.

$ax+by+c=0$ et $\lambda ax+\lambda by+\lambda c=0$ ($\lambda \ne 0$) décrivent la même droite.

• $\overrightarrow{n}=(a,b)$ : normal à $ax+by+c=0$ ;
• $\overrightarrow{u}=(-b,a)$ : directeur de la même droite.

attention aux divisions (cas $v_1=0$ ou $v_2=0$) ; traiter séparément.

mêmes directions ne suffit pas :

• parallèles distinctes : aucune solution au système ;
• confondues : infinité de solutions (équations proportionnelles et compatibles).

choisir deux points distincts (éviter de refaire deux fois le même point par erreur).

en forme réduite, $m=-\frac{a}{b}$ (ne pas oublier le signe $-$).

Je sais calculer $\overrightarrow{AB}$ à partir de $A(x_A;y_A)$ et $B(x_B;y_B)$.

Je sais écrire une droite avec un point + une pente : $y-y_A=m(x-x_A)$.

Je sais écrire une droite avec deux points (pente ou déterminant).

Je sais écrire une paramétrique : $\overrightarrow{OM}=\overrightarrow{OA}+k\overrightarrow{v}$.

Je sais passer de $ax+by+c=0$ à $y=mx+h$ (si $b\ne 0$).

Je reconnais les cas vertical ($x=c$) et horizontal ($y=c$).

Je sais trouver $m$ et $h$ sur une équation réduite.

Je sais déterminer si deux droites sont parallèles ou perpendiculaires.

Je sais trouver l'intersection de deux droites en résolvant un système.

Je sais tracer une droite (deux points ou pente + ordonnée à l'origine).