Géométrie analytique · niveau commun

Equation du cercle dans le plan

Fiche vérifiée par Stéphane Hartmann (ing. EPFL) · Mise à jour : juillet 2026

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Définition

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Cercle

$Γ$ : ensemble des points $P (x; y)$ du plan situés à distance constante $R > 0$ d'un point fixe $C (α; β)$ .

Centre

$C (α; β)$ . Rayon : $R$ .

Dans un repère orthonormé, la distance $C P$ vaut :

C P = (x - α)^{2} + (y - β)^{2} .

Équation cartésienne

une relation entre $x$ et $y$ décrivant l'ensemble des points du cercle.

Deux écritures usuelles

forme centre--rayon : lecture directe du centre et du rayon ;
forme développée : pratique pour résoudre des systèmes / intersections.

Cas dégénérés

(a connaitre) : rayon nul ( $R = 0$ ) $\Rightarrow$ un point ; pas de cercle reel si le rayon au carre obtenu est negatif.

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Formules essentielles

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Forme centre--rayon

(cercle de centre $C (α; β)$ et de rayon $R$ ) :

(x - α)^{2} + (y - β)^{2} = R^{2} .

Forme développée

(forme la plus rencontrée) :

x^{2} + y^{2} + a x + b y + c = 0 (a, b, c \in R) .

Lien forme développée $\leftrightarrow$ centre--rayon

(compléter les carrés) :

x^{2} + y^{2} + a x + b y + c = 0 ⟺ (x + \frac{a}{2})^{2} + (y + \frac{b}{2})^{2} = (\frac{a}{2})^{2} + (\frac{b}{2})^{2} - c .

Centre et rayon à partir de $x^{2} + y^{2} + a x + b y + c = 0$

C (- \frac{a}{2}; - \frac{b}{2}), R^{2} = (\frac{a}{2})^{2} + (\frac{b}{2})^{2} - c .

Condition d'existence (dans $R^{2}$ )

R^{2} > 0 \Rightarrow cercle r \overset{e}{ˊ} el; R^{2} = 0 \Rightarrow point; R^{2} < 0 \Rightarrow aucun point r \overset{e}{ˊ} el .

Distance d'un point $C (α; β)$ à une droite $d : ux + v y + w = 0$

(utile pour la tangence) :

dist (C, d) = \frac{∣ uα + v β + w ∣}{u ^{2} + v ^{2}} .

Tangence à une droite

le cercle de centre $C$ et de rayon $R$ est tangent à $d$ si

dist (C, d) = R .

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Méthodes

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Écrire l'équation d'un cercle connaissant le centre et le rayon

Identifier $C (α; β)$ et $R$ .
Écrire directement : $(x - α)^{2} + (y - β)^{2} = R^{2}$ .
(Option) Développer si on veut la forme $x^{2} + y^{2} + a x + b y + c = 0$ .

Trouver centre et rayon à partir d'une forme développée

Mettre l'équation sous la forme : $x^{2} + y^{2} + a x + b y + c = 0$ (si besoin, réordonner).
Regrouper en $x$ puis en $y$ :

(x^{2} + a x) + (y^{2} + b y) + c = 0.

Compléter les carrés :

x^{2} + a x = (x + \frac{a}{2})^{2} - (\frac{a}{2})^{2}, y^{2} + b y = (y + \frac{b}{2})^{2} - (\frac{b}{2})^{2} .

Mettre au format centre--rayon et lire $C$ et $R$ . Vérifier $R^{2} \geq 0$ .

Vérifier si une équation est (possiblement) celle d'un cercle

Après simplification : les coefficients de $x^{2}$ et $y^{2}$ doivent être égaux (éventuellement après division par une constante non nulle).
Il ne doit pas y avoir de terme $x y$ .
Après complétion des carrés : vérifier que $R^{2} \geq 0$ .

Cercle défini par un diamètre $[A B]$

Calculer le centre : milieu $C (\frac{x _{A} + x _{B}}{2}; \frac{y _{A} + y _{B}}{2})$ .
Calculer le rayon : $R = \frac{A B}{2}$ avec $A B = (x_{B} - x_{A})^{2} + (y_{B} - y_{A})^{2}$ .
Écrire $(x - α)^{2} + (y - β)^{2} = R^{2}$ .

Cercle passant par trois points $A, B, D$ (non alignés)

Poser : $x^{2} + y^{2} + a x + b y + c = 0$ (inconnues $a, b, c$ ).
Remplacer $(x, y)$ successivement par les coordonnées de $A, B, D$ .
Résoudre le système (3 équations, 3 inconnues), puis retrouver $C$ et $R$ si demandé.

Cercle tangent à une droite (centre connu)

Calculer $R = dist (C, d)$ avec la formule point--droite.
Écrire l'équation centre--rayon du cercle.

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Interprétations et graphiques

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Sens géométrique

de $(x - α)^{2} + (y - β)^{2} = R^{2}$ :

$(x - α)$ et $(y - β)$ mesurent le déplacement horizontal / vertical depuis le centre.
La somme des carrés vaut $R^{2}$ : tous les points sont à distance $R$ du centre.

Lecture rapide

Si l'équation est déjà sous forme centre--rayon : on lit $C$ et $R$ immédiatement.
Si l'équation est développée : on complète les carrés pour retrouver le centre et le rayon.

Effet des paramètres

Modifier $α, β$ : translation du cercle.
Modifier $R$ : cercle plus petit / plus grand (même centre).

Position relative (intuition)

Un point $B$ est sur le cercle si l'équation est satisfaite.
Il est à l'intérieur si $(x - α)^{2} + (y - β)^{2} < R^{2}$ , à l'extérieur si $>$ .

Figure : geometrie analytique 3 equation du cercle dans le plan

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Exemples-types

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Exemple 1 (centre et rayon $\to$ équation).

Déterminer l'équation du cercle de centre $C (4; - 1)$ et de rayon $R = 3$ .
Solution :

(x - 4)^{2} + (y + 1)^{2} = 3^{2} = 9.

Forme développée (si demandée) :

(x^{2} - 8 x + 16) + (y^{2} + 2 y + 1) = 9 ⟺ x^{2} + y^{2} - 8 x + 2 y + 8 = 0.

Exemple 2 (forme développée $\to$ centre et rayon).

Soit $Γ : x^{2} + y^{2} - 8 x + 2 y + 8 = 0$ . Trouver son centre et son rayon.
Solution :

x^{2} - 8 x + y^{2} + 2 y + 8 = 0

Complétons les carrés :

x^{2} - 8 x = (x - 4)^{2} - 16, y^{2} + 2 y = (y + 1)^{2} - 1.

Donc

(x - 4)^{2} - 16 + (y + 1)^{2} - 1 + 8 = 0 ⟺ (x - 4)^{2} + (y + 1)^{2} = 9.

Ainsi,

C (4; - 1)

R = 3

Exemple 3 (cercle défini par un diamètre).

Le segment $[A B]$ est un diamètre, avec $A (3; 2)$ et $B (- 1; 6)$ . Déterminer l'équation du cercle.
Solution :
Centre = milieu de $A$ et $B$ :

C (\frac{3 + ( - 1 )}{2}; \frac{2 + 6}{2}) = (1; 4) .

Longueur

A B

A B = (- 1 - 3)^{2} + (6 - 2)^{2} = (- 4)^{2} + 4^{2} = 32 = 42 .

Donc

R = \frac{A B}{2} = 22

R^{2} = 8

.
Équation :

(x - 1)^{2} + (y - 4)^{2} = 8.

Développement (en option) :

x^{2} + y^{2} - 2 x - 8 y + 9 = 0.

Exemple 4 (tangence à une droite, centre connu).

Cercle de centre $C (1; - 1)$ tangent à la droite $d : 5 x - 12 y + 9 = 0$ . Trouver l'équation du cercle.
Solution :
Le rayon est la distance du centre à la droite :

R = dist (C, d) = \frac{∣ 5 \cdot 1 - 12 \cdot ( - 1 ) + 9 ∣}{5 ^{2} + ( - 12 ) ^{2}} = \frac{∣ 5 + 12 + 9 ∣}{169} = \frac{26}{13} = 2.

Donc

(x - 1)^{2} + (y + 1)^{2} = 4.

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Pièges et cas particuliers

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Oublier le carré

la forme centre--rayon contient $R^{2}$ (pas $R$ ).

Signes du centre

(x - α)^{2} \Rightarrow α et (x + α)^{2} \Rightarrow - α .

Compléter les carrés

on ajoute et on retranche la même quantité, sinon on change l'équation.

Ce n'est pas un cercle

coefficients de $x^{2}$ et $y^{2}$ différents (après simplification) ou
présence d'un terme $x y$ ou
après mise sous forme centre--rayon : $R^{2} < 0$ (aucun point réel).

Cas dégénéré

$R^{2} = 0 \Rightarrow (x - α)^{2} + (y - β)^{2} = 0$ donc l'ensemble se réduit au point $C (α; β)$ .

Distance point--droite

ne pas oublier la valeur absolue et la racine au dénominateur :

dist (C, d) = \frac{∣ uα + v β + w ∣}{u ^{2} + v ^{2}} .

Division par une constante

si l'équation est $k (x^{2} + y^{2}) + \dots = 0$ avec $k \neq = 0$ , on peut d'abord diviser par $k$ pour revenir à $x^{2} + y^{2} + \dots = 0$ .

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À retenir

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Je sais écrire : $(x - α)^{2} + (y - β)^{2} = R^{2}$ .

Je sais développer et regrouper pour obtenir $x^{2} + y^{2} + a x + b y + c = 0$ .

Je sais compléter les carrés pour passer de la forme développée à la forme centre--rayon.

Je sais lire $C (- \frac{a}{2}; - \frac{b}{2})$ et $R^{2} = (\frac{a}{2})^{2} + (\frac{b}{2})^{2} - c$ .

Je vérifie toujours la condition $R^{2} \geq 0$ .

Je sais trouver un cercle défini par un diamètre $[A B]$ (milieu + demi-longueur).

Je sais poser $x^{2} + y^{2} + a x + b y + c = 0$ pour un cercle passant par 3 points et former le système.

Je sais utiliser $dist (C, d)$ pour une tangence à une droite (centre connu).

Je repère les pièges : signe du centre, oubli de $R^{2}$ , erreurs de complétion des carrés.

Equation du cercle dans le plan

Définition

Cercle

Centre

Équation cartésienne

Deux écritures usuelles

Cas dégénérés

Formules essentielles

Forme centre--rayon

Forme développée

Lien forme développée ↔ centre--rayon

Centre et rayon à partir de x2+y2+ax+by+c=0

Condition d'existence (dans R2)

Distance d'un point C(α;β) à une droite d:ux+vy+w=0

Tangence à une droite

Méthodes

Écrire l'équation d'un cercle connaissant le centre et le rayon

Trouver centre et rayon à partir d'une forme développée

Vérifier si une équation est (possiblement) celle d'un cercle

Cercle défini par un diamètre [AB]

Cercle passant par trois points A,B,D (non alignés)

Cercle tangent à une droite (centre connu)

Interprétations et graphiques

Sens géométrique

Lecture rapide

Effet des paramètres

Position relative (intuition)

Exemples-types

Exemple 1 (centre et rayon → équation).

Exemple 2 (forme développée → centre et rayon).

Exemple 3 (cercle défini par un diamètre).

Exemple 4 (tangence à une droite, centre connu).

Pièges et cas particuliers

Oublier le carré

Signes du centre

Compléter les carrés

Ce n'est pas un cercle

Cas dégénéré

Distance point--droite

Division par une constante

À retenir

Lien forme développée $\leftrightarrow$ centre--rayon

Centre et rayon à partir de $x^{2} + y^{2} + a x + b y + c = 0$

Condition d'existence (dans $R^{2}$ )

Distance d'un point $C (α; β)$ à une droite $d : ux + v y + w = 0$

Cercle défini par un diamètre $[A B]$

Cercle passant par trois points $A, B, D$ (non alignés)

Exemple 1 (centre et rayon $\to$ équation).

Exemple 2 (forme développée $\to$ centre et rayon).