Géométrie analytique · niveau renforcé

Équation paramétrique de la droite

Fiche vérifiée par Stéphane Hartmann (ing. EPFL) · Mise à jour : juillet 2026

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Définition

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Repère de l’espace

on travaille dans l’espace muni d’un repère orthonormé (souvent noté $(O; i, j, k)$ ).

Droite (dans l’espace)

ensemble de points ayant une direction fixe.

Vecteur directeur

un vecteur non nul $v \neq = 0$ colinéaire à la droite.

Définition (point + direction)

une droite $d$ est déterminée par

un point $A (a_{1}, a_{2}, a_{3})$ appartenant à $d$ ,
un vecteur directeur $v = (v_{1}, v_{2}, v_{3})$ avec $v \neq = 0$ .

Paramètre

un réel $t \in R$ (on peut aussi écrire $k$ , $λ$ , etc.). En faisant varier $t$ , on parcourt tous les points de la droite.

Point appartenant à la droite

$M (x, y, z) \in d ⟺ A M = t v$ pour un certain $t \in R$ .

Une droite dans l’espace se décrit naturellement par une équation vectorielle (point + multiple d’un vecteur directeur) et donc par un système d’équations paramétriques.

🧮

Formules essentielles

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Équation vectorielle de la droite

$d$ passant par $A (a_{1}, a_{2}, a_{3})$ et de vecteur directeur $v = (v_{1}, v_{2}, v_{3}) \neq = 0$ :

O M = O A + t v (t \in R) .

Système d’équations paramétriques

(coordonnées de $M (x, y, z)$ ) :

⎩ ⎨ ⎧ x = a_{1} + t v_{1} y = a_{2} + t v_{2} z = a_{3} + t v_{3} t \in R .

Vecteur directeur à partir de deux points

$A$ et $B$ distincts :

v = A B = (x_{B} - x_{A}, y_{B} - y_{A}, z_{B} - z_{A}) .

Même droite, représentations multiples

si $A$ est remplacé par un autre point de la droite, on obtient une autre écriture,
si $v$ est remplacé par un vecteur colinéaire $α v$ ( $α \neq = 0$ ), on obtient la même droite,
on peut aussi changer de paramètre (ex. $t = 2 u - 1$ ).

Forme symétrique

(si $v_{1}, v_{2}, v_{3} \neq = 0$ ) :

\frac{x - a _{1}}{v _{1}} = \frac{y - a _{2}}{v _{2}} = \frac{z - a _{3}}{v _{3}} .

Variante (composantes nulles)

si $v_{2} = 0$ alors $y = a_{2}$ est constant sur la droite,
plus généralement, toute composante nulle $\Rightarrow$ la coordonnée correspondante est constante.

Interprétation “intersection de deux plans”

une droite peut aussi être décrite comme l’intersection de deux plans non parallèles :

d = {(x, y, z) \in R^{3} ∣ {P (x, y, z) = 0 Q (x, y, z) = 0} .

(utile pour relier paramétrique

\leftrightarrow

cartésien).

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Méthodes

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Pour donner une équation paramétrique à partir d'un point et une direction :

Prendre un point $A (a_{1}, a_{2}, a_{3})$ de la droite.
Prendre un vecteur directeur non nul $v = (v_{1}, v_{2}, v_{3})$ .
Écrire :

⎩ ⎨ ⎧ x = a_{1} + t v_{1} y = a_{2} + t v_{2} z = a_{3} + t v_{3} t \in R .

Pour trouver une droite passant par deux points $A$ et $B$ :

Calculer $v = A B = B - A$ .
Utiliser $A$ (ou $B$ ) comme point d’appui.
Écrire le système paramétrique avec $v$ .

Pour écrire une droite parallèle à une droite donnée :

Récupérer un vecteur directeur $v$ de la droite donnée (ou un vecteur colinéaire).
Utiliser le point imposé $A$ .
Écrire la représentation paramétrique avec le même $v$ .

Pour vérifier si un point $P (x_{P}, y_{P}, z_{P})$ appartient à une droite donnée :

Remplacer $x, y, z$ par $x_{P}, y_{P}, z_{P}$ dans les équations paramétriques.

Chercher un même paramètre $t$ qui satisfait simultanément les trois équations.

Conclure :

si le même $t$ existe $\Rightarrow P \in d$ ,
sinon $\Rightarrow P \in / d$ .

Pour trouver l’intersection de deux droites $d$ et $e$ (si elle existe) :

Écrire $d$ avec un paramètre $t$ et $e$ avec un paramètre $u$ .

Égaler les coordonnées : $(x_{d} (t), y_{d} (t), z_{d} (t)) = (x_{e} (u), y_{e} (u), z_{e} (u))$ .

Résoudre le système (souvent 3 équations, 2 inconnues).

Conclure :

solution unique $(t, u)$ $\Rightarrow$ droites sécantes (intersection = un point),
aucune solution $\Rightarrow$ droites parallèles distinctes ou gauches (non coplanaires),
infinité de solutions $\Rightarrow$ droites confondues.

(Renforcé) Pour déterminer les traces sur les plans de référence :

Trace sur $O x y$ : imposer $z = 0$ puis résoudre pour $t$ .
Trace sur $O x z$ : imposer $y = 0$ puis résoudre pour $t$ .
Trace sur $O y z$ : imposer $x = 0$ puis résoudre pour $t$ .
Si l’équation imposée est impossible $\Rightarrow$ pas de trace sur ce plan.
Si la coordonnée est déjà constante au bon niveau (ex. $z = 0$ pour tout $t$ ) $\Rightarrow$ la droite est incluse dans le plan (trace = une droite).

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Interprétations et graphiques

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Lecture géométrique

$M (t) = A + t v$ signifie :

à $t = 0$ , on est au point $A$ ,
quand $t$ augmente de $1$ , on se déplace du vecteur $v$ ,
le signe de $t$ donne le sens (positif : sens de $v$ , négatif : sens opposé).

Direction

tous les vecteurs directeurs d’une même droite sont colinéaires (multiples non nuls).

Coordonnées constantes

si $v_{2} = 0$ , alors $y$ est constant : la droite est parallèle à l’axe $O x z$ et contenue dans un plan $y = constante$ ,
si deux composantes sont nulles, la droite est parallèle à un axe.

Forme symétrique (si possible)

met en évidence les rapports « mêmes variations » entre coordonnées.

Exemple : $A (1, 0, 2)$ et $v = (3, 2, - 5)$ . La droite est $M (t) = (1, 0, 2) + t (3, 2, - 5)$ .

Figure : geometrie analytique 4 equations parametriques

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Exemples-types

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Exemple 1 — Droite passant par deux points

Soient $A (2, 0, 3)$ et $B (1, 4, 5)$ . Donner une équation paramétrique de la droite $(A B)$ .

Solution

v = A B = (1 - 2, 4 - 0, 5 - 3) = (- 1, 4, 2) .

Donc une représentation paramétrique est

⎩ ⎨ ⎧ x = 2 - t y = 4 t z = 3 + 2 t t \in R .

On peut aussi partir de

B

⎩ ⎨ ⎧ x = 1 - t y = 4 - 4 t z = 5 - 2 t t \in R,

c’est la même droite (vecteur directeur opposé/point différent).

Exemple 2 — Donner une autre écriture paramétrique

On considère la droite $d$ donnée par

⎩ ⎨ ⎧ x = 3 k + 1 y = 2 k z = - 5 k + 2 k \in R .

Donner deux équations paramétriques différentes de

d

Solution

En prenant $k = 0$ , on obtient un point $A (1, 0, 2)$ et un vecteur directeur $v = (3, 2, - 5)$ :

⎩ ⎨ ⎧ x = 1 + 3 t y = 0 + 2 t z = 2 - 5 t t \in R .

En prenant $k = 1$ , on obtient un point $B (4, 2, - 3)$ et un vecteur directeur opposé $- v = (- 3, - 2, 5)$ :

⎩ ⎨ ⎧ x = 4 - 3 u y = 2 - 2 u z = - 3 + 5 u u \in R .

Exemple 3 — Appartenance d’un point et coordonnées en fonction d’un paramètre

Une droite $d$ est définie par $A (2, 4, 5)$ et $v = (1, - 4, 2)$ .

Le point $P (5, - 8, 12)$ appartient-il à $d$ ?

Le point $Q (x, y, λ)$ appartient à $d$ . Exprimer $x$ et $y$ en fonction de $λ$ .

Solution

La représentation paramétrique de $d$ est :

⎩ ⎨ ⎧ x = 2 + t y = 4 - 4 t z = 5 + 2 t t \in R .

Si $P \in d$ , alors $2 + t = 5 \Rightarrow t = 3$ . On vérifie :

y = 4 - 4 \cdot 3 = - 8 ok, mais z = 5 + 2 \cdot 3 = 11 \neq = 12.

Donc

P \in / d

Ici $z = λ = 5 + 2 t \Rightarrow t = \frac{λ - 5}{2}$ . Alors

x = 2 + t = 2 + \frac{λ - 5}{2} = \frac{λ - 1}{2}, y = 4 - 4 t = 4 - 4 \cdot \frac{λ - 5}{2} = 14 - 2 λ .

Donc

Q (\frac{λ - 1}{2}, 14 - 2 λ, λ)

Exemple 4 — Intersection de deux droites (sécantes, parallèles, gauches)

On considère

(d) : (x, y, z) = (2, 1, 0) + t (- 3, 1, 1), (e) : (x, y, z) = (7, 3, - 1) + u (1, - 4, - 1) .

Trouver leur point d’intersection.

Solution
On égalise les coordonnées :

⎩ ⎨ ⎧ 2 - 3 t = 7 + u 1 + t = 3 - 4 u t = - 1 - u

t = - 1 - u

, on a

u = - 1 - t

. En remplaçant dans

2 - 3 t = 7 + u

2 - 3 t = 7 + (- 1 - t) \Rightarrow 2 - 3 t = 6 - t \Rightarrow - 2 t = 4 \Rightarrow t = - 2.

Alors

u = - 1 - (- 2) = 1

. Le point d’intersection est

M = (2, 1, 0) + (- 2) (- 3, 1, 1) = (8, - 1, - 2) .

Donc

d

e

sont sécantes en

M (8, - 1, - 2)

⚠️

Pièges et cas particuliers

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Vecteur directeur nul

$v = 0$ ne définit pas une droite (erreur fréquente si $A = B$ ).

Oublier que $t \in R$

le paramètre est réel (pas seulement entier).

Même droite, écritures différentes

changer de point d’appui, multiplier $v$ par $α \neq = 0$ , ou remplacer $t$ par une expression affine ne change pas la droite.

Forme symétrique mal gérée

si une composante $v_{i} = 0$ , on ne peut pas diviser par $v_{i}$ ,
on doit alors écrire la coordonnée correspondante constante (ex. $y = a_{2}$ ).

Test d’appartenance

il faut un même paramètre $t$ qui marche pour toutes les coordonnées.

Intersection de deux droites

aucune solution : elles peuvent être parallèles distinctes ou gauches (c’est différent),
infinité de solutions : elles sont confondues.

Traces

si la droite est parallèle à un plan, il peut n’y avoir aucune trace sur ce plan,
si la droite est contenue dans un plan, la “trace” n’est pas un point mais la droite (intersection = une droite).

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À retenir

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Je sais identifier un point $A$ et un vecteur directeur $v \neq = 0$ .

Je sais écrire $M (t) = A + t v$ et le système ${x = a_{1} + t v_{1}, y = a_{2} + t v_{2}, z = a_{3} + t v_{3}}$ .

Je sais construire $v = A B$ à partir de deux points $A, B$ .

Je sais produire plusieurs écritures paramétriques d’une même droite.

Je sais traiter le cas où une composante $v_{i} = 0$ (coordonnée constante).

Je sais tester si un point appartient à une droite (même paramètre pour toutes les équations).

Je sais déterminer l’intersection de deux droites (système en deux paramètres) et conclure (sécantes / parallèles / confondues / gauches).

Je sais trouver les traces sur $O x y$ , $O x z$ , $O y z$ en imposant $z = 0$ , $y = 0$ , $x = 0$ .

Équation paramétrique de la droite

Définition

Repère de l’espace

Droite (dans l’espace)

Vecteur directeur

Définition (point + direction)

Paramètre

Point appartenant à la droite

Formules essentielles

Équation vectorielle de la droite

Système d’équations paramétriques

Vecteur directeur à partir de deux points

Même droite, représentations multiples

Forme symétrique

Variante (composantes nulles)

Interprétation “intersection de deux plans”

Méthodes

Pour donner une équation paramétrique à partir d'un point et une direction :

Pour trouver une droite passant par deux points A et B :

Pour écrire une droite parallèle à une droite donnée :

Pour vérifier si un point P(xP​,yP​,zP​) appartient à une droite donnée :

Pour trouver l’intersection de deux droites d et e (si elle existe) :

(Renforcé) Pour déterminer les traces sur les plans de référence :

Interprétations et graphiques

Lecture géométrique

Direction

Coordonnées constantes

Forme symétrique (si possible)

Exemples-types

Exemple 1 — Droite passant par deux points

Exemple 2 — Donner une autre écriture paramétrique

Exemple 3 — Appartenance d’un point et coordonnées en fonction d’un paramètre

Solution

Exemple 4 — Intersection de deux droites (sécantes, parallèles, gauches)

Pièges et cas particuliers

Vecteur directeur nul

Oublier que t∈R

Même droite, écritures différentes

Forme symétrique mal gérée

Test d’appartenance

Intersection de deux droites

Traces

À retenir

Pour trouver une droite passant par deux points $A$ et $B$ :

Pour vérifier si un point $P (x_{P}, y_{P}, z_{P})$ appartient à une droite donnée :

Pour trouver l’intersection de deux droites $d$ et $e$ (si elle existe) :

Oublier que $t \in R$