Distance point-droite et bissectrice

une droite $d$ du plan (repère orthonormé) s'écrit

à $(d)$ : $\vec{n}=(a,b)$. Un vecteur directeur est par exemple $\vec{u}=(b,-a)$.

(droite « normalisée » ) :

si $P$ est un point hors de $d$, la projection orthogonale $P_1$ de $P$ sur $d$ est l'unique point de $d$ tel que $\overrightarrow{P{P}_1}\perp d$.

la distance de $P$ à $d$ est

pour deux droites $d$ et $d^{\prime }$, un point $P$ appartient à une bissectrice si et seulement si

en général, il y a deux bissectrices (une « intérieure » et une « extérieure » ), perpendiculaires si $d$ et $d^{\prime }$ sont sécantes.

à la droite :

sur $ax+by+c=0$ :

les bissectrices sont aussi parallèles, situées à mi-distance des deux droites (on obtient encore la relation « $=\pm$ » ).

• Mettre la droite sous la forme $ax+by+c=0$.
• Remplacer $x,y$ par $x_P,y_P$ dans $a{x}_P+b{y}_P+c$.
• Prendre la valeur absolue et diviser par $\sqrt{a^2+b^2}$.

• Écrire l'équation de $d$: $ax+by+c=0$.
• Écrire la droite $g$ passant par $P$ et perpendiculaire à $d$ :

• Déterminer $k$ en imposant $P\in g$.
• Résoudre le système $\{\begin{array}{l}ax+by+c=0\\ bx-ay+k=0\end{array}$ : l'intersection est $P_1$.

• Mettre $d$ et $d^{\prime }$ sous forme cartésienne : $ax+by+c=0$ et $a^{\prime }x+b^{\prime }y+c^{\prime }=0$.
• Écrire l'égalité des distances en version normalisée :

• Traiter les deux cas « $+$ » et « $-$ » : on obtient deux équations de droites.
• Choisir la bonne bissectrice (intérieure/exterieure) : tester un point « visible » (par ex. l'origine) et comparer les distances à $d$ et à $d^{\prime }$.

• Écrire $d:ax+by+c=0$.
• Les droites à distance $k$ ont la forme

• Donc $c^{\prime }=c\pm k\sqrt{a^2+b^2}$.

la distance est la longueur du segment perpendiculaire à la droite, donc la plus courte.

si on remplace $(a,b,c)$ par $(\lambda a,\lambda b,\lambda c)$, la droite ne change pas, mais il faut diviser par $\sqrt{a^2+b^2}$ pour que la distance soit correcte.

le signe de $a{x}_P+b{y}_P+c$ indique de quel côté de la droite se trouve $P$.

ce sont les lieux des points équidistants de deux droites ; elles « partagent » l'angle formé par les droites.

Schéma (exemple de deux droites et de leurs bissectrices).

Calculer $\delta (P;d)$ où $d:3x-4y=6$ et $P(1,-2)$.
Solution : Mettons $d$ sous forme $ax+by+c=0$ :

Soit $d:3x-4y-6=0$ et $h:x+y-1=0$. Trouver les points de $h$ situés à distance $3$ de $d$.
Solution : Un point $M(x,y)$ sur $h$ vérifie $y=1-x$. La condition $\delta (M;d)=3$ donne :

Déterminer les bissectrices de $d:3x+4y+2=0$ et $g:y=-\frac{5}{12}x+\frac{1}{12}$.
Solution : Mettons $g$ sous forme cartésienne :

quadrant).
Trouver les bissectrices de $Ox$ (donc $y=0$) et de $d:y=\frac{4}{3}x$. Puis choisir celle qui passe dans le 1er quadrant.
Solution : Formes cartésiennes :

la formule de distance exige cette forme (ou une forme équivalente).

$\sqrt{a^2+b^2}$ : sinon la « distance » dépend du choix de représentation de la droite (multiplication par $\lambda$).

la distance est toujours $\ge 0$.

• $x=\alpha \Rightarrow a=1,b=0$ : $\delta (P;d)=\left|x_P-\alpha \right|$.
• $y=\beta \Rightarrow a=0,b=1$ : $\delta (P;d)=\left|y_P-\beta \right|$.

• Il y a deux bissectrices : le « $\pm$ » donne deux droites.
• Pour choisir « intérieure » / « extérieure » , il faut tester un point.

si $d\parallel d^{\prime }$, la relation normalisée donne deux droites parallèles à mi-distance (pas de point d'intersection, pas d'« angle » au sens habituel).

une droite perpendiculaire à $ax+by+c=0$ a une direction colinéaire à $(a,b)$ (le normal devient directeur).

Je sais mettre une droite sous la forme $ax+by+c=0$.

Je sais identifier un vecteur normal $\vec{n}=(a,b)$.

Je connais la formule $\delta (P;d)=\frac{\left|a{x}_P+b{y}_P+c\right|}{\sqrt{a^2+b^2}}$.

Je n'oublie pas la valeur absolue et la normalisation.

Je sais trouver une perpendiculaire à une droite.

Je sais trouver un projeté orthogonal par intersection (droite + perpendiculaire).

Je sais écrire l'équation des bissectrices avec le $\pm$ et les racines.

Je sais choisir la bonne bissectrice en testant un point.

Je sais traiter les cas $x=\alpha$ et $y=\beta$ rapidement.