Produit scalaire, projections et distances

espace ${\mathbb{R}}^3$ muni d'un repère orthonormé $(O;\overrightarrow{i},\overrightarrow{j},\overrightarrow{k})$.

pour $\overrightarrow{u}=(u_1,u_2,u_3)$ et $\overrightarrow{v}=(v_1,v_2,v_3)$ : $\overrightarrow{u}\cdot \overrightarrow{v}=u_1{v}_1+u_2{v}_2+u_3{v}_3$.

$\Vert \overrightarrow{u}\Vert =\sqrt{\overrightarrow{u}\cdot \overrightarrow{u}}=\sqrt{u_1^2+u_2^2+u_3^2}$.

si $\overrightarrow{u},\overrightarrow{v}\ne \overrightarrow{0}$ : $\overrightarrow{u}\cdot \overrightarrow{v}=\Vert \overrightarrow{u}\Vert \Vert \overrightarrow{v}\Vert \cos \theta$. Orthogonalité : $\overrightarrow{u}\perp \overrightarrow{v}\iff \overrightarrow{u}\cdot \overrightarrow{v}=0$.

${\mathrm{proj}}_{\overrightarrow{v}}(\overrightarrow{u})=\frac{\overrightarrow{u}\cdot \overrightarrow{v}}{{\Vert \overrightarrow{v}\Vert }^2}\overrightarrow{v}$. C'est la composante de $\overrightarrow{u}$ dans la direction $\overrightarrow{v}$.

pour $d$ passant par $A$ de direction $\vec{d}$, la projection de $P$ est $Q\in d$ tel que $\overrightarrow{PQ}\perp \vec{d}$.

pour $\pi$ de normale $\vec{n}$, la projection de $P$ est $Q\in \pi$ tel que $\overrightarrow{PQ}\parallel \vec{n}$.

longueur $PQ$ où $Q$ est la projection orthogonale. La distance est toujours positive.

si $Q$ est la projection de $P$, alors $P^{\prime }=2Q-P$.

longueur de la perpendiculaire commune. Si les droites sont parallèles : distance d'un point à l'autre droite.

$AB=\Vert \overrightarrow{AB}\Vert =\sqrt{(x_B-x_A{)}^2+(y_B-y_A{)}^2+(z_B-z_A{)}^2}$.

plan de normale $\vec{n}=(a,b,c)$ passant par $A$ : $a(x-x_A)+b(y-y_A)+c(z-z_A)=0$, ou $ax+by+cz+d=0$. Inversement, $(a,b,c)$ est un vecteur normal de $ax+by+cz+d=0$.

$\pi :ax+by+cz+d=0$, $P(x_0,y_0,z_0)$ :

$\pi :ax+by+cz+d=0$, $\vec{n}=(a,b,c)$ :

$P^{\prime }=2Q-P$ où $Q$ est la projection de $P$.

$d_1:A_1+t\vec{u}$, $d_2:A_2+s\vec{v}$ avec $\vec{u}\times \vec{v}\ne \vec{0}$ :

droites $d_1,d_2$ : $\parallel \iff {\vec{u}}_1,{\vec{u}}_2$ colinéaires ; $\perp \iff {\vec{u}}_1\cdot {\vec{u}}_2=0$. Idem pour plans avec leurs normales.

• Orthogonalité : vérifier $\overrightarrow{u}\cdot \overrightarrow{v}=0$.
• Angle : $\cos \theta =\frac{\overrightarrow{u}\cdot \overrightarrow{v}}{\Vert \overrightarrow{u}\Vert \Vert \overrightarrow{v}\Vert }$.
• Entre plans : utiliser les normales.
• Entre droite et plan : utiliser $\sin$ (formule spécifique).

• Écrire $a(x-x_A)+b(y-y_A)+c(z-z_A)=0$ avec $\vec{n}=(a,b,c)$.
• Développer si besoin.
• Vérifier en substituant $A$.

• Paramétrer $d:M(t)=A+t\vec{d}$.
• Calculer $t_0=\frac{\overrightarrow{AP}\cdot \vec{d}}{{\Vert \vec{d}\Vert }^2}$.
• $Q=M(t_0)$.
• Distance : $\delta (P,d)=\Vert \overrightarrow{PQ}\Vert$, ou directement formule produit vectoriel.

• Écrire $\pi :ax+by+cz+d=0$.
• Calculer $s=a{x}_0+b{y}_0+c{z}_0+d$.
• $Q=P-\frac{s}{a^2+b^2+c^2}(a,b,c)$.
• Vérifier que $Q\in \pi$.

• Calculer la projection $Q$.
• $P^{\prime }=2Q-P$.

• Calculer $\vec{n}=\vec{u}\times \vec{v}$.
• Si $\vec{n}\ne \vec{0}$ : $\delta =\frac{|\overrightarrow{A_1{A}_2}\cdot \vec{n}|}{\Vert \vec{n}\Vert }$.
• Sinon (parallèles) : utiliser la formule adaptée.

• Un vecteur directeur de la droite est un vecteur normal du plan.
• Paramétrer : $P+t\vec{n}$.

$\overrightarrow{u}\cdot \overrightarrow{v}$ mesure l'alignement. $>0$ : aigu ; $=0$ : droit ; $<0$ : obtus.

$\overrightarrow{AP}=\overrightarrow{AQ}+\overrightarrow{QP}$, où $\overrightarrow{AQ}\parallel \vec{d}$ et $\overrightarrow{QP}\perp \vec{d}$.

$\Vert \overrightarrow{AP}\times \vec{d}\Vert$ est l'aire du parallélogramme, divisée par $\Vert \vec{d}\Vert$ donne la hauteur.

indique de quel côté du plan se trouve le point.

$|\overrightarrow{A_1{A}_2}\cdot (\vec{u}\times \vec{v})|$ est le volume du parallélépipède. Divisé par $\Vert \vec{u}\times \vec{v}\Vert$ donne la distance.

$P(-1,7,-8)$, $\pi :x-10y-3z+17=0$.

$s=-1-70+24+17=-30$. $\delta =\frac{30}{\sqrt{1+100+9}}=\frac{30}{\sqrt{110}}$.

$P(3,1,-1)$, $\pi :x+2y+3z-30=0$.

$s=3+2-3-30=-28$, $a^2+b^2+c^2=14$.

$Q=P+2(1,2,3)=(5,5,5)$. Vérif. $5+10+15-30=0$ ✓.

Symétrique : $P^{\prime }=2Q-P=(7,9,11)$.

$d:A(1,2,3)+t(2,-1,2)$, $P(3,0,5)$.

$\overrightarrow{AP}=(2,-2,2)$, $\overrightarrow{AP}\cdot \vec{d}=10$, ${\Vert \vec{d}\Vert }^2=9$.

$Q=(1,2,3)+\frac{10}{9}(2,-1,2)=(\frac{29}{9},\frac{8}{9},\frac{47}{9})$.

$\delta (P,d)=\frac{2\sqrt{2}}{3}$.

$d_1:A_1(1,0,0)+t(1,1,0)$, $d_2:A_2(0,1,1)+s(0,1,1)$.

$\vec{u}\times \vec{v}=(1,-1,1)$, $\Vert \cdot \Vert =\sqrt{3}$, $\overrightarrow{A_1{A}_2}=(-1,1,1)$, produit mixte = $-1$.

$\delta =\frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{3}$.

$\alpha :3x+12y-4z=0$, $\beta :3x+12y-4z+73=0$.

$\Vert \vec{n}\Vert =\sqrt{9+144+16}=13$. $\delta =73/13$.

une distance est toujours $\ge 0$. Ne pas oublier $|\cdot |$.

la direction d'une droite perpendiculaire à un plan est un vecteur normal (pas un vecteur contenu dans le plan).

projection sur $\vec{d}$ : $\Vert \vec{d}\Vert \ne 0$. Distance entre droites gauches : si $\vec{u}\times \vec{v}=\vec{0}$, les droites sont parallèles (formule différente).

les formules coordonnées du produit scalaire ne valent pas telles quelles.

la normale est $(a,b,c)$ telle quelle, pas son opposé. Attention lors du développement.

distance = 0. Vérifier avant d'appliquer la formule des droites gauches.

toujours passer par la projection $Q$ puis $P^{\prime }=2Q-P$.

Je sais calculer un produit scalaire, une norme, un angle.

Je sais tester orthogonalité et parallélisme (vecteurs, droites, plans).

Je sais écrire l'équation d'un plan à partir d'un point et d'un vecteur normal.

Je sais projeter un point sur une droite et sur un plan.

Je connais les formules de distance point/droite et point/plan.

Je sais trouver un symétrique par rapport à une droite ou un plan.

Je sais calculer la distance entre deux droites gauches (produit mixte).

Je sais calculer l'angle entre deux plans ou entre une droite et un plan.