Géométrie analytique · niveau renforcé

Équation du plan

Fiche vérifiée par Stéphane Hartmann (ing. EPFL) · Mise à jour : juillet 2026

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Définition

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Espace et points :

on travaille dans un repère cartésien $(O; i, j, k)$ , un point $M$ s’écrit $M (x; y; z)$ .

Plan (objet 2D dans $R^{3}$ ) :

ensemble de points vérifiant une relation linéaire entre $x, y, z$ .

Plan déterminé par :

trois points non alignés $A, B, C$ ;
un point $A$ du plan et deux vecteurs directeurs non colinéaires $u, v$ ;
un point $A$ du plan et un vecteur normal $n \neq = 0$ (orthogonal au plan).

Équation vectorielle / paramétrique :

si $A (a_{1}; a_{2}; a_{3}) \in π$ et $u, v$ sont deux vecteurs directeurs non colinéaires,

M \in π ⟺ A M = k u + n v (k, n \in R) .

Équation cartésienne :

un plan s’écrit

a x + b y + cz + d = 0, (a, b, c) \neq = (0, 0, 0) .

Vecteur normal :

si $π : a x + b y + cz + d = 0$ , alors $n = (a, b, c)$ est normal au plan (donc orthogonal à tout vecteur directeur du plan).

Coplanarité :

$M \in π (A; u, v)$ équivaut à dire que les vecteurs $A M, u, v$ sont coplanaires, donc

det (A M, u, v) = 0.

🧮

Formules essentielles

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Forme paramétrique (à partir d’un point et 2 directions) :

Si $A (a_{1}; a_{2}; a_{3})$ , $u = (u_{1}, u_{2}, u_{3})$ , $v = (v_{1}, v_{2}, v_{3})$ non colinéaires :

⎩ ⎨ ⎧ x = a_{1} + k u_{1} + n v_{1} y = a_{2} + k u_{2} + n v_{2} z = a_{3} + k u_{3} + n v_{3} (k, n \in R) .

Forme cartésienne :

$π : a x + b y + cz + d = 0$ avec $(a, b, c) \neq = (0, 0, 0)$ .

Un point $M (x_{0}; y_{0}; z_{0})$ appartient à $π ⟺ a x_{0} + b y_{0} + c z_{0} + d = 0$ .
$n = (a, b, c)$ est un vecteur normal au plan.
Les coefficients $(a, b, c, d)$ sont définis à un facteur non nul près : multiplier l’équation par $λ \neq = 0$ ne change pas le plan.

Équation d’un plan à partir d’un point et d’un normal :

π passant par A (x_{A}, y_{A}, z_{A}) et de normal n = (a, b, c) ⟺ a (x - x_{A}) + b (y - y_{A}) + c (z - z_{A}) = 0.

Normal à partir de deux directions :

si $u, v$ sont directeurs d’un plan, alors

n ∥ u \times v

(produit vectoriel).
Condition :

u

v

non colinéaires (sinon pas de plan unique).

Parallélisme / perpendicularité :

Deux plans $π_{1}, π_{2}$ sont parallèles $⟺ n_{1}$ et $n_{2}$ sont colinéaires.
Deux plans sont perpendiculaires $⟺ n_{1} \cdot n_{2} = 0$ .
Une droite de vecteur directeur $v$ est parallèle à $π$ $⟺ v \cdot n = 0$ .
Une droite est perpendiculaire à $π$ si $v$ est colinéaire à $n$ .

Angle entre deux plans :

l’angle $θ \in [0, π /2]$ entre $π_{1}, π_{2}$ est l’angle entre leurs normaux :

cos θ = \frac{∣ n _{1} \cdot n _{2} ∣}{∥ n _{1} ∥ ∥ n _{2} ∥} .

Traces (intersections avec les plans de coordonnées) :

Trace sur $O x y$ : poser $z = 0$ dans $a x + b y + cz + d = 0$ (on obtient une droite dans $O x y$ ).
Trace sur $O x z$ : poser $y = 0$ .
Trace sur $O y z$ : poser $x = 0$ .

Distance point--plan :

Pour $π : a x + b y + cz + d = 0$ et $P (x_{0}, y_{0}, z_{0})$ ,

d (P, π) = \frac{∣ a x _{0} + b y _{0} + c z _{0} + d ∣}{a ^{2} + b ^{2} + c ^{2}} .

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Méthodes

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Pour trouver l’équation cartésienne d’un plan à partir d’un point $A$ et d’un normal $n = (a, b, c)$ :

Écrire $a (x - x_{A}) + b (y - y_{A}) + c (z - z_{A}) = 0$ .
Développer pour obtenir $a x + b y + cz + d = 0$ .
(Option) Simplifier en divisant par un facteur commun non nul.

Pour trouver l’équation d’un plan passant par trois points non alignés $A, B, C$ :

Calculer deux vecteurs du plan : $u = A B$ et $v = A C$ .

Trouver un normal $n$ :

soit par produit vectoriel $n = u \times v$ ;
soit en cherchant $(a, b, c)$ tel que $n \cdot u = 0$ et $n \cdot v = 0$ .

Écrire l’équation : $n \cdot A M = 0$ puis développer.

Vérifier rapidement avec $B$ et $C$ (leurs coordonnées doivent satisfaire l’équation).

Pour passer de la forme paramétrique à la forme cartésienne :

Identifier $A$ et les directions $u, v$ .
Calculer $n = u \times v$ (plus direct).
Écrire $n \cdot A M = 0$ et développer $\Rightarrow a x + b y + cz + d = 0$ .
(Alternative) Éliminer $k, n$ dans le système, si le produit vectoriel n’est pas souhaité.

Pour passer de la forme cartésienne à une forme paramétrique :

Partir de $a x + b y + cz + d = 0$ et choisir deux paramètres (par ex. $y = s$ , $z = t$ ).
Résoudre pour la variable restante (par ex. $x$ ).
Écrire $(x, y, z) = (x_{0}, y_{0}, z_{0}) + s u + t v$ en isolant un point et deux directions.
Contrôler que $u$ et $v$ ne sont pas colinéaires.

Pour un plan parallèle à un plan donné :

Garder le même vecteur normal : si $π_{0} : a x + b y + cz + d_{0} = 0$ , alors tout plan parallèle a la forme $a x + b y + cz + d = 0$ .
Utiliser un point imposé $P$ pour trouver $d$ : $d = - (a x_{P} + b y_{P} + c z_{P})$ .

Pour l’intersection d’une droite et d’un plan :

Écrire la droite sous forme paramétrique $x = x_{0} + t v_{1}, y = y_{0} + t v_{2}, z = z_{0} + t v_{3}$ .

Remplacer dans $a x + b y + cz + d = 0$ pour obtenir une équation en $t$ .

Conclure :

une solution $t$ : la droite coupe le plan en un point ;
aucune solution : droite parallèle au plan (strictement parallèle si elle n’est pas incluse) ;
identité vraie : droite incluse dans le plan.

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Interprétations et graphiques

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Interprétation du normal :

dans $π : a x + b y + cz + d = 0$ , le vecteur $n = (a, b, c)$ indique la direction ``perpendiculaire'' au plan.

Côté du plan :

pour un point $M (x, y, z)$ , la valeur $S = a x + b y + cz + d$ donne le signe (un côté ou l’autre). Les points du plan ont $S = 0$ .

Plans de coordonnées :

$O x y : z = 0$ , $O x z : y = 0$ , $O y z : x = 0$ .
Un plan $x = cte$ est parallèle à $O y z$ ; $y = cte$ est parallèle à $O x z$ ; $z = cte$ est parallèle à $O x y$ .

Traces :

pour représenter un plan sur papier, on utilise souvent ses intersections avec $O x y, O x z, O y z$ (ce sont des droites).

Plan parallèle / confondu :

si $π_{1}, π_{2}$ ont des coefficients $(a, b, c)$ proportionnels, ils sont parallèles; si en plus $d$ suit la même proportion, ils sont confondus.

Graphe (exemple de plan) : représentation du plan $x + y + z = 1$ dans un repère.

Figure : geometrie analytique 6 equation du plan

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Exemples-types

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Exemple 1 — Plan passant par trois points (forme cartésienne)

Déterminer une équation cartésienne du plan $α$ passant par $A (2; 3; 5)$ , $B (1; 0; 5)$ et $C (6; 5; 6)$ .

Vecteurs directeurs :

u = A B = B - A = (- 1, - 3, 0), v = A C = C - A = (4, 2, 1) .

Un vecteur normal : $n = u \times v$ .

n = u_{2} v_{3} - u_{3} v_{2} u_{3} v_{1} - u_{1} v_{3} u_{1} v_{2} - u_{2} v_{1} = (- 3) \cdot 1 - 0 \cdot 2 0 \cdot 4 - (- 1) \cdot 1 (- 1) \cdot 2 - (- 3) \cdot 4 = - 3 110 .

Équation : $n \cdot A M = 0$ .

- 3 (x - 2) + 1 (y - 3) + 10 (z - 5) = 0.

Développement :

- 3 x + y + 10 z - 47 = 0 ⟺ 3 x - y - 10 z + 47 = 0.

Exemple 2 — Plan paramétrique $\to$ cartésien

On considère le plan $β$ :

x y z = 315 + k - 2 13 + n 1 - 4 3, k, n \in R .

Trouver une équation cartésienne de

β

Point : $A (3; 1; 5)$ ; directions $u = (- 2, 1, 3)$ et $v = (1, - 4, 3)$ .

Normal : $n = u \times v$ :

n = 1 \cdot 3 - 3 \cdot (- 4) 3 \cdot 1 - (- 2) \cdot 3 (- 2) \cdot (- 4) - 1 \cdot 1 = 1597 .

Équation : $15 (x - 3) + 9 (y - 1) + 7 (z - 5) = 0$ .

Développement :

15 x + 9 y + 7 z - 89 = 0.

Exemple 3 — Plan parallèle à un plan donné

Trouver l’équation du plan $γ$ parallèle à $3 x + 5 y - 2 z + 5 = 0$ et passant par $P (2; 3; - 1)$ .

Même normal : $n = (3, 5, - 2)$ , donc $γ : 3 x + 5 y - 2 z + d = 0$ .

On impose $P \in γ$ :

3 \cdot 2 + 5 \cdot 3 - 2 \cdot (- 1) + d = 0 \Rightarrow 6 + 15 + 2 + d = 0 \Rightarrow d = - 23.

Donc

3 x + 5 y - 2 z - 23 = 0 .

Exemple 4 — Intersection droite / plan

Droite $d : ⎩ ⎨ ⎧ x = 2 + k y = 5 - k z = 1 + 3 k$
et plan $α : 3 x - 2 y - z = 3$ . Trouver le point d’intersection (s’il existe).

Vecteur directeur de $d$ : $v = (1, - 1, 3)$ ; normal de $α$ : $n = (3, - 2, - 1)$ .

Test rapide : $v \cdot n = 1 \cdot 3 + (- 1) \cdot (- 2) + 3 \cdot (- 1) = 3 + 2 - 3 = 2 \neq = 0$ donc $d$ n’est pas parallèle au plan : intersection unique.

Substitution dans l’équation du plan :

3 (2 + k) - 2 (5 - k) - (1 + 3 k) = 3.

Calcul :

6 + 3 k - 10 + 2 k - 1 - 3 k = 3 \Rightarrow - 5 + 2 k = 3 \Rightarrow k = 4.

Point d’intersection $I$ :

I (2 + 4, 5 - 4, 1 + 3 \cdot 4) = (6, 1, 13) .

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Pièges et cas particuliers

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Deux directions colinéaires :

si $u$ et $v$ sont colinéaires, la ``forme paramétrique'' ne décrit pas un plan unique (on retombe sur une droite).

Coefficients tous nuls :

$a x + b y + cz + d = 0$ n’est pas une équation de plan si $(a, b, c) = (0, 0, 0)$ .

Même plan, équations différentes :

multiplier par $λ \neq = 0$ ne change pas le plan. (Ne pas confondre avec un autre plan !)

Plans confondus vs strictement parallèles :

parallèles si $(a, b, c)$ proportionnels ;
confondus si tous les coefficients $(a, b, c, d)$ sont proportionnels.

Erreur de signe sur $d$ :

attention à $d = - (a x_{A} + b y_{A} + c z_{A})$ lorsque $A$ appartient au plan.

Traces inexistantes :

la trace sur $O x y$ n’a de sens que si l’intersection n’est pas vide (certains plans sont parallèles à $O x y$ , donc pas de trace dans $O x y$ ).

Forme interceptée :

écrire $\frac{x}{α} + \frac{y}{β} + \frac{z}{γ} = 1$ suppose que le plan coupe les axes en trois points distincts (donc $α, β, γ \neq = 0$ ).

Substitution droite/plan :

une équation en $k$ sans solution $\Rightarrow$ droite parallèle au plan (ou strictement parallèle) ;
identité vraie $\Rightarrow$ droite incluse dans le plan (vérifier avec un point de la droite).

Produit vectoriel :

ne pas échanger $u \times v$ et $v \times u$ sans prévenir : le normal change de signe (plan inchangé).

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À retenir

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Je sais écrire un plan en forme paramétrique à partir de $A, u, v$ .

Je sais écrire un plan en forme cartésienne $a x + b y + cz + d = 0$ et identifier $n = (a, b, c)$ .

Je sais trouver l’équation d’un plan à partir d’un point et d’un normal.

Je sais trouver l’équation d’un plan à partir de trois points non alignés.

Je sais convertir paramétrique $\to$ cartésienne (via $u \times v$ ).

Je sais convertir cartésienne $\to$ paramétrique (choix de deux paramètres).

Je sais tester si un point appartient au plan (remplacer $x, y, z$ ).

Je sais décider si deux plans sont parallèles / confondus / sécants.

Je sais calculer les traces d’un plan sur $O x y$ , $O x z$ , $O y z$ .

Je sais traiter une intersection droite--plan par substitution.

Je sais utiliser $cos θ = \frac{∣ n _{1} \cdot n _{2} ∣}{∥ n _{1} ∥ ∥ n _{2} ∥}$ pour l’angle entre deux plans.

Je sais appliquer la formule de distance point--plan.