Analyse II · niveau renforcé

Primitives et intégrales

Fiche vérifiée par Stéphane Hartmann (ing. EPFL) · Mise à jour : juillet 2026

📘

Définition

▾

Primitive

une fonction $F$ est une primitive de $f$ sur un intervalle $I$ si

F^{'} (x) = f (x) pour tout x \in I .

Infinité de primitives

si $F$ est une primitive de $f$ , alors $F (x) + C$ (avec $C \in R$ ) est aussi une primitive. Deux primitives diffèrent toujours d'une constante.

Intégrale indéfinie

l'ensemble des primitives de $f$ se note

\int f (x) d x = F (x) + C .

Intégrale définie

pour $f$ continue sur $[a, b]$ ,

\int_{a}^{b} f (x) d x

est l'aire algébrique sous la courbe

y = f (x)

entre

x = a

x = b

(positive au-dessus de l'axe, négative en dessous).

Bornes et variable

$a, b$ sont les bornes, $x$ est la variable d'intégration, et $d x$ indique ``on intègre par rapport à $x$ ''.

Théorème fondamental

si $f$ est continue sur $[a, b]$ et $F$ est une primitive de $f$ , alors

\int_{a}^{b} f (x) d x = F (b) - F (a) .

Subdivision d'un intervalle

une partition $P$ de $[a, b]$ est une suite

a = x_{0} < x_{1} < \dots < x_{n} = b, Δ x_{i} = x_{i} - x_{i - 1} .

La maille de la partition est

∥ P ∥ = max_{i} Δ x_{i}

Sommes inférieure et supérieure

si $f$ est bornée sur $[a, b]$ , on note sur chaque sous-intervalle

m_{i} = [x_{i - 1}, x_{i}] min f, M_{i} = [x_{i - 1}, x_{i}] max f,

puis

s (P) = i = 1 \sum n m_{i} Δ x_{i} (somme int \overset{e}{ˊ} grale inf \overset{e}{ˊ} rieure), S (P) = i = 1 \sum n M_{i} Δ x_{i} (somme int \overset{e}{ˊ} grale sup \overset{e}{ˊ} rieure) .

Intuition :

s (P)

sous-estime l'aire,

S (P)

la surestime.

Somme de Riemann

en choisissant un point $ξ_{i} \in [x_{i - 1}, x_{i}]$ ,

R (P, ξ) = i = 1 \sum n f (ξ_{i}) Δ x_{i}

approxime l'aire algébrique sous la courbe.

Intégrabilité (au sens de Riemann)

une fonction $f$ est intégrable sur $[a, b]$ si, lorsque $∥ P ∥ \to 0$ , les sommes de Riemann $R (P, ξ)$ tendent vers une même limite (indépendante du choix des $ξ_{i}$ ). Cette limite est $\int_{a}^{b} f (x) d x$ .

Cas important

toute fonction continue sur $[a, b]$ est intégrable sur $[a, b]$ .

Intégrales impropres

on étend la définition de l'intégrale définie par des limites :

\int_{a}^{+ \infty} f (x) d x = b \to + \infty lim \int_{a}^{b} f (x) d x, \int_{- \infty}^{b} f (x) d x = a \to - \infty lim \int_{a}^{b} f (x) d x,

et si

f

a une discontinuité en

c \in (a, b)

\int_{a}^{b} f (x) d x = λ_{1} \to c^{-} lim \int_{a}^{λ_{1}} f (x) d x + λ_{2} \to c^{+} lim \int_{λ_{2}}^{b} f (x) d x,

l'intégrale existe si et seulement si les deux limites sont finies.

🧮

Formules essentielles

▾

Linéarité

\int (f (x) \pm g (x)) d x = \int f (x) d x \pm \int g (x) d x, \int k f (x) d x = k \int f (x) d x .

Primitives usuelles (avec $C$ constante)

Puissances ( $n \neq = - 1$ ) :

\int x^{n} d x = \frac{x ^{n + 1}}{n + 1} + C .

Cas $n = - 1$ :

\int \frac{1}{x} d x = ln ∣ x ∣ + C (x \neq = 0) .

Exponentielle :

\int e^{x} d x = e^{x} + C .

Trigonométriques :

\int cos x d x = sin x + C, \int sin x d x = - cos x + C .

Inverse de $1 + x^{2}$ :

\int \frac{1}{1 + x ^{2}} d x = arctan x + C .

Inverse de $1 - x^{2}$ (sur $(- 1, 1)$ ) :

\int \frac{1}{1 - x ^{2}} d x = arcsin x + C .

Reconnaître une dérivée de composée (cas fréquents)

Puissance d'une fonction (si $n \neq = - 1$ ) :

\int (f (x))^{n} f^{'} (x) d x = \frac{( f ( x ) ) ^{n + 1}}{n + 1} + C .

Exponentielle composée :

\int e^{f (x)} f^{'} (x) d x = e^{f (x)} + C .

Logarithme :

\int \frac{f ^{'} ( x )}{f ( x )} d x = ln ∣ f (x) ∣ + C (f (x) \neq = 0) .

Trigonométriques composées :

\int cos (f (x)) f^{'} (x) d x = sin (f (x)) + C, \int sin (f (x)) f^{'} (x) d x = - cos (f (x)) + C .

Propriétés des intégrales définies

\int_{a}^{a} f (x) d x = 0, \int_{a}^{b} f (x) d x = - \int_{b}^{a} f (x) d x

\int_{a}^{c} f (x) d x = \int_{a}^{b} f (x) d x + \int_{b}^{c} f (x) d x

(relation de Chasles).

Paramètres simples

\int e^{a x} d x = \frac{1}{a} e^{a x} + C (a \neq = 0), \int cos (a x) d x = \frac{1}{a} sin (a x) + C, \int sin (a x) d x = - \frac{1}{a} cos (a x) + C .

\int \frac{1}{a ^{2} + x ^{2}} d x = \frac{1}{a} arctan (\frac{x}{a}) + C (a > 0), \int \frac{1}{a ^{2} - x ^{2}} d x = arcsin (\frac{x}{a}) + C (a > 0) .

Inégalités et monotonicité

Si $f (x) \geq 0$ sur $[a, b]$ , alors $\int_{a}^{b} f (x) d x \geq 0$ .
Si $f (x) \leq g (x)$ sur $[a, b]$ , alors $\int_{a}^{b} f (x) d x \leq \int_{a}^{b} g (x) d x$ .
Encadrement : si $m \leq f (x) \leq M$ sur $[a, b]$ , alors

m (b - a) \leq \int_{a}^{b} f (x) d x \leq M (b - a) .

Symétries (sur $[- a, a]$ )

Si $f$ est paire ( $f (- x) = f (x)$ ), alors $\int_{- a}^{a} f (x) d x = 2 \int_{0}^{a} f (x) d x$ .
Si $f$ est impaire ( $f (- x) = - f (x)$ ), alors $\int_{- a}^{a} f (x) d x = 0$ .

Changement de variable (substitution)

Si u = g (x) et d u = g^{'} (x) d x, \int f (g (x)) g^{'} (x) d x = \int f (u) d u .

En intégrale définie (si

u = g (x)

est monotone) :

\int_{a}^{b} f (g (x)) g^{'} (x) d x = \int_{g (a)}^{g (b)} f (u) d u .

Intégration par parties

\int f (x) g^{'} (x) d x = f (x) g (x) - \int f^{'} (x) g (x) d x,

\int_{a}^{b} f (x) g^{'} (x) d x = [f (x) g (x)]_{a}^{b} - \int_{a}^{b} f^{'} (x) g (x) d x .

Fractions rationnelles et éléments simples

Si $de g (num) \geq de g (den)$ : faire la division euclidienne d'abord.
Si le dénominateur factorise : écrire la fraction comme somme de termes du type

\frac{A}{x - a}, \frac{A}{( x - a ) ^{k}}, \frac{A x + B}{x ^{2} + p x + q} (quadratique irr \overset{e}{ˊ} ductible),

puis intégrer terme à terme.

Deux intégrales impropres classiques (tests $p$ )

\int_{1}^{+ \infty} \frac{1}{x ^{p}} d x converge ⟺ p > 1, \int_{0}^{1} \frac{1}{x ^{p}} d x converge ⟺ p < 1.

🛠️

Méthodes

▾

Pour trouver une primitive $\int f (x) d x$ :

Simplifier l'expression (développer/factoriser si utile).
Utiliser la linéarité pour séparer en somme de termes simples.
Appliquer une primitive usuelle (table).
Si un terme ressemble à $f^{'} (x) g (f (x))$ , utiliser un patron de composée :

\frac{f ^{'} ( x )}{f ( x )}, e^{f (x)} f^{'} (x), cos (f (x)) f^{'} (x), (f (x))^{n} f^{'} (x), \dots

Ajouter toujours la constante $C$ (intégrale indéfinie).

Pour calculer $\int_{a}^{b} f (x) d x$ (fonction continue) :

Trouver une primitive $F$ de $f$ .
Calculer $F (b) - F (a)$ .
Ne pas mettre de constante $C$ (elle s'annule dans la différence).

Pour calculer une aire géométrique sous $y = f (x)$ :

Faire un croquis et déterminer où $f (x) \geq 0$ ou $f (x) \leq 0$ .
Trouver les points où $f (x) = 0$ (intersections avec l'axe $O x$ ).
Découper l'intervalle en morceaux où le signe est constant.
Aire géométrique :

A = \sum \int_{α}^{β} f (x) d x .

Pour l'aire entre deux courbes $y = f (x)$ et $y = g (x)$ :

Résoudre $f (x) = g (x)$ pour trouver les bornes (intersections).
Identifier la courbe du haut (celle qui a les plus grandes valeurs).
Calculer

A = \int_{a}^{b} (haut - bas) d x .

Pour déterminer une constante avec une condition (ex. $F (x_{0}) = y_{0}$ ) :

Écrire $F (x) = (primitive) + C$ .
Remplacer $x = x_{0}$ et $F (x_{0}) = y_{0}$ pour trouver $C$ .

Pour utiliser un changement de variable (substitution) :

Repérer une composition $f (g (x))$ et la présence de $g^{'} (x)$ (au moins ``à un facteur près'').
Poser $u = g (x)$ puis calculer $d u = g^{'} (x) d x$ .
Réécrire toute l'intégrale en fonction de $u$ (plus de $x$ ).
Intégrer en $u$ , puis revenir à $x$ (si intégrale indéfinie).
En définie : changer aussi les bornes $u (a) = g (a)$ et $u (b) = g (b)$ .

Pour faire une intégration par parties :

Identifier un produit : $u (x) v^{'} (x)$ .
Choisir $u$ (à dériver) et $v^{'}$ (à intégrer), puis utiliser

\int u v^{'} d x = u v - \int u^{'} v d x .

Choix de $u$ (heuristique) : prendre $u$ qui se simplifie en dérivant (polynôme, $ln$ , arctan, etc.).
Attention au terme $u v$ et aux bornes en intégrale définie.

Pour intégrer une fraction rationnelle (éléments simples) :

Si nécessaire : division euclidienne pour rendre la fraction propre.
Factoriser le dénominateur (sur $R$ : facteurs linéaires et quadratiques irréductibles).
Écrire la décomposition en éléments simples.
Déterminer les constantes (méthode des coefficients, valeurs particulières, etc.).
Intégrer terme à terme (logs, arctan, puissances).

Pour calculer une intégrale impropre :

Identifier la cause : borne infinie ou discontinuité (verticale) à une borne ou à l'intérieur.
Remplacer par une (ou deux) limites d'intégrales.
Calculer l'intégrale sur un intervalle fini, puis passer à la limite.
Conclure : convergente si la limite est finie, sinon divergente.

📈

Interprétations et graphiques

▾

Sommes de rectangles

on approxime l'aire sous la courbe sur $[a, b]$ par une somme de rectangles ; quand le nombre de rectangles augmente, l'approximation devient meilleure.

Aire algébrique

$\int_{a}^{b} f (x) d x$ additionne les aires au-dessus de l'axe et soustrait celles en dessous.

Lien dérivée / intégrale

intégrer revient (souvent) à ``remonter'' une dérivation, et le théorème fondamental relie l'intégrale définie à une primitive.

Valeur moyenne

si $f$ est continue sur $[a, b]$ , il existe $c \in [a, b]$ tel que

f (c) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x .

Graphiquement : aire sous la courbe

=

aire d'un rectangle de base

b - a

et de hauteur

f (c)

Lecture via sommes inférieure/supérieure

en découpant $[a, b]$ ,

s (P) \leq \int_{a}^{b} f (x) d x \leq S (P),

et lorsque le découpage s'affine (

∥ P ∥ \to 0

), les deux encadrements se resserrent.

Fonction aire accumulée

si $f$ est continue et $A (x) = \int_{a}^{x} f (t) d t$ , alors

A^{'} (x) = f (x) .

Interprétation : la dérivée de l'aire accumulée à l'instant

x

redonne la hauteur

f (x)

Figure : analyse 2 3 primitives et integrales

Exemple de lecture : $f (x) = x^{2} - 2 x$ change de signe sur $[0, 4]$ (zéros en $0$ et $2$ ). Pour l'aire géométrique, on découpe l'intervalle.

Quand le découpage s'affine, la somme des aires des rectangles se rapproche de l'intégrale.

✏️

Exemples-types

▾

Primitive d'un polynôme

\int (3 x^{2} - 4 x + 1) d x

Solution. Par linéarité et formule

\int x^{n} d x = \frac{x ^{n + 1}}{n + 1}

\int 3 x^{2} d x = 3 \cdot \frac{x ^{3}}{3} = x^{3}, \int (- 4 x) d x = - 4 \cdot \frac{x ^{2}}{2} = - 2 x^{2}, \int 1 d x = x .

Donc

\int (3 x^{2} - 4 x + 1) d x = x^{3} - 2 x^{2} + x + C .

Complément : intégration par parties

Calculer $\int x e^{x} d x$ .

On pose $u (x) = x$ et $v^{'} (x) = e^{x}$ . Alors $u^{'} (x) = 1$ et $v (x) = e^{x}$ .

\int x e^{x} d x = x e^{x} - \int 1 \cdot e^{x} d x = x e^{x} - e^{x} + C = e^{x} (x - 1) + C .

Primitive par reconnaissance de

$\frac{f ^{'}}{f}$

\int \frac{2 x}{x ^{2} + 1} d x

Solution. On reconnaît

f (x) = x^{2} + 1

f^{'} (x) = 2 x

, donc

\int \frac{f ^{'} ( x )}{f ( x )} d x = ln ∣ f (x) ∣ + C .

Ici

x^{2} + 1 > 0

, donc

\int \frac{2 x}{x ^{2} + 1} d x = ln (x^{2} + 1) + C .

Variante (détermination de

C

). Si on impose

F (0) = 2

, alors

F (x) = ln (x^{2} + 1) + C, F (0) = ln (1) + C = 0 + C = 2 \Rightarrow C = 2.

Complément : éléments simples

Calculer $\int \frac{x + 5}{x ^{2} + x - 2} d x$ .

On factorise $x^{2} + x - 2 = (x - 1) (x + 2)$ et on cherche

\frac{x + 5}{( x - 1 ) ( x + 2 )} = \frac{A}{x - 1} + \frac{B}{x + 2} .

Alors

x + 5 = A (x + 2) + B (x - 1) = (A + B) x + (2 A - B) .

D'où

A + B = 1, 2 A - B = 5 \Rightarrow 3 A = 6 \Rightarrow A = 2, B = - 1.

Donc

\int \frac{x + 5}{x ^{2} + x - 2} d x = \int (\frac{2}{x - 1} - \frac{1}{x + 2}) d x = 2 ln ∣ x - 1∣ - ln ∣ x + 2∣ + C .

Intégrale définie par primitive

\int_{1}^{4} x^{2} d x

Solution. Une primitive de

x^{2}

est

F (x) = \frac{x ^{3}}{3}

. Donc

\int_{1}^{4} x^{2} d x = [\frac{x ^{3}}{3}]_{1}^{4} = \frac{4 ^{3}}{3} - \frac{1 ^{3}}{3} = \frac{64 - 1}{3} = 21.

Complément : intégrale impropre (borne infinie)

Calculer $\int_{1}^{+ \infty} \frac{1}{( x + 2 ) ^{2}} d x$ .

On écrit

\int_{1}^{+ \infty} \frac{1}{( x + 2 ) ^{2}} d x = b \to + \infty lim \int_{1}^{b} (x + 2)^{- 2} d x .

Une primitive est

F (x) = - (x + 2)^{- 1} = - \frac{1}{x + 2}

. Donc

\int_{1}^{b} \frac{1}{( x + 2 ) ^{2}} d x = [- \frac{1}{x + 2}]_{1}^{b} = - \frac{1}{b + 2} + \frac{1}{3} .

En passant à la limite

b \to + \infty

- \frac{1}{b + 2} \to 0

, donc

\int_{1}^{+ \infty} \frac{1}{( x + 2 ) ^{2}} d x = \frac{1}{3} .

Aire entre deux courbes

Calculer l'aire du domaine borné par $y = x$ et $y = x^{2}$ .

Solution. On cherche les intersections :

x = x^{2} (x \geq 0) ⟺ x = x^{4} ⟺ x (x^{3} - 1) = 0,

donc

x = 0

x = 1

. Sur

[0, 1]

, on a

x \geq x^{2}

, donc

A = \int_{0}^{1} (x - x^{2}) d x = \int_{0}^{1} (x^{1/2} - x^{2}) d x .

Primitives :

\int x^{1/2} d x = \frac{2}{3} x^{3/2}, \int x^{2} d x = \frac{1}{3} x^{3} .

Donc

A = [\frac{2}{3} x^{3/2} - \frac{1}{3} x^{3}]_{0}^{1} = (\frac{2}{3} - \frac{1}{3}) - 0 = \frac{1}{3} .

Complément : substitution (changement de bornes)

Calculer $\int_{0}^{1} 2 x e^{x^{2}} d x$ .

On pose $u = x^{2}$ donc $d u = 2 x d x$ . Quand $x = 0$ , $u = 0$ ; quand $x = 1$ , $u = 1$ :

\int_{0}^{1} 2 x e^{x^{2}} d x = \int_{0}^{1} e^{u} d u = [e^{u}]_{0}^{1} = e - 1.

⚠️

Pièges et cas particuliers

▾

Oublier $+ C$

dans une intégrale indéfinie : toute primitive s'écrit $F (x) + C$ .

Confondre aire algébrique et aire géométrique

si $f$ est négative, $\int_{a}^{b} f (x) d x < 0$ mais l'aire géométrique est positive (prendre la valeur absolue après découpage).

Cas $\int x^{n} d x$

la formule $\frac{x ^{n + 1}}{n + 1}$ ne marche pas pour $n = - 1$ (il faut $ln ∣ x ∣$ ).

Logarithme

toujours $ln ∣ x ∣$ ou $ln ∣ f (x) ∣$ (attention au domaine).

Bornes inversées

$\int_{b}^{a} f (x) d x = - \int_{a}^{b} f (x) d x$ .

Relation de Chasles

utile pour découper l'intervalle, mais attention au sens des bornes.

Aire entre deux courbes

il faut haut $-$ bas et vérifier sur l'intervalle (un croquis évite les erreurs).

Variable d'intégration

$\int_{a}^{b} f (x) d x$ ne dépend pas du nom de la variable (on peut écrire $\int_{a}^{b} f (t) d t$ ).

Continuité

le théorème fondamental est appliqué lorsque $f$ est continue sur $[a, b]$ (ou au moins intégrable et avec primitive sur l'intervalle considéré).

Substitution mal faite

il faut tout transformer (y compris $d x$ ) et ne pas laisser de $x$ quand on intègre en $u$ .

(Renforcé) Substitution en définie

on change les bornes ou bien on revient à $x$ avant d'évaluer, mais il faut être cohérent (ne pas mélanger).

Intégration par parties

Mauvais choix de $u$ : si dériver $u$ complique, l'intégrale peut empirer.
Oublier le terme $u v$ ou son évaluation $[u v]_{a}^{b}$ en intégrale définie.

Éléments simples

Oublier la division euclidienne si la fraction n'est pas propre.
Factorisation incomplète du dénominateur (facteurs répétés, quadratique irréductible).
$ln ∣ x - a ∣$ : valeur absolue indispensable.

Intégrales impropres

Toujours : remplacer par une limite : une primitive ne suffit pas tant que la limite n'est pas traitée.
Si discontinuité en $c$ : il faut deux limites (gauche et droite). Si l'une diverge, l'intégrale diverge.
Attention aux symétries : $\int_{- \infty}^{+ \infty} f$ n'est pas ``automatiquement'' $0$ pour une fonction impaire (il faut convergence des deux côtés).

Symétries

pair/impaire seulement sur un intervalle symétrique $[- a, a]$ ; sinon la simplification ne s'applique pas.

✅

À retenir

▾

Je sais définir primitive et intégrale indéfinie ( $F (x) + C$ ).

Je connais les primitives usuelles : $x^{n}$ , $\frac{1}{x}$ , $e^{x}$ , $sin x$ , $cos x$ , $\frac{1}{1 + x ^{2}}$ .

Je sais utiliser la linéarité pour simplifier une intégrale.

Je reconnais les patrons : $\frac{f ^{'}}{f}$ , $e^{f} f^{'}$ , $cos (f) f^{'}$ , $sin (f) f^{'}$ , $(f)^{n} f^{'}$ .

Je calcule une intégrale définie via $F (b) - F (a)$ .

Je sais changer l'ordre des bornes et utiliser Chasles.

Je distingue aire algébrique et aire géométrique (découpage + valeurs absolues).

Je sais calculer une aire entre deux courbes (intersections, haut $-$ bas).

Je pense à vérifier le signe d'une fonction sur un intervalle (croquis).

Je sais déterminer une constante $C$ avec une condition du type $F (x_{0}) = y_{0}$ .

Je sais utiliser une substitution $u = g (x)$ (et changer les bornes en définie).

Je sais appliquer l'intégration par parties $\int u v^{'} = uv - \int u^{'} v$ .

Je sais traiter une fraction rationnelle : division euclidienne puis éléments simples.

Je sais reconnaître et calculer une intégrale impropre (borne infinie / discontinuité) via des limites.

Je sais exploiter les symétries (pair/impaire) sur $[- a, a]$ .

Je sais encadrer une intégrale avec $m (b - a) \leq \int_{a}^{b} f \leq M (b - a)$ si $m \leq f \leq M$ .

🃏 Étape suivante Flashcards — Analyse II Mémorise les définitions et formules de ce chapitre, carte par carte. →

Primitives et intégrales

Définition

Primitive

Infinité de primitives

Intégrale indéfinie

Intégrale définie

Bornes et variable

Théorème fondamental

Subdivision d'un intervalle

Sommes inférieure et supérieure

Somme de Riemann

Intégrabilité (au sens de Riemann)

Cas important

Intégrales impropres

Formules essentielles

Linéarité

Primitives usuelles (avec C constante)

Reconnaître une dérivée de composée (cas fréquents)

Propriétés des intégrales définies

Paramètres simples

Inégalités et monotonicité

Symétries (sur [−a,a])

Changement de variable (substitution)

Intégration par parties

Fractions rationnelles et éléments simples

Deux intégrales impropres classiques (tests p)

Méthodes

Pour trouver une primitive ∫f(x)dx :

Pour calculer ∫ab​f(x)dx (fonction continue) :

Pour calculer une aire géométrique sous y=f(x) :

Pour l'aire entre deux courbes y=f(x) et y=g(x) :

Pour déterminer une constante avec une condition (ex. F(x0​)=y0​) :

Pour utiliser un changement de variable (substitution) :

Pour faire une intégration par parties :

Pour intégrer une fraction rationnelle (éléments simples) :

Pour calculer une intégrale impropre :

Interprétations et graphiques

Sommes de rectangles

Aire algébrique

Lien dérivée / intégrale

Valeur moyenne

Lecture via sommes inférieure/supérieure

Fonction aire accumulée

Exemples-types

Primitive d'un polynôme

Primitive par reconnaissance de

Intégrale définie par primitive

Aire entre deux courbes

Pièges et cas particuliers

Oublier +C

Confondre aire algébrique et aire géométrique

Cas ∫xndx

Logarithme

Bornes inversées

Relation de Chasles

Aire entre deux courbes

Variable d'intégration

Continuité

Substitution mal faite

(Renforcé) Substitution en définie

Intégration par parties

Éléments simples

Intégrales impropres

Symétries

À retenir

Primitives usuelles (avec $C$ constante)

Symétries (sur $[- a, a]$ )

Deux intégrales impropres classiques (tests $p$ )

Pour trouver une primitive $\int f (x) d x$ :

Pour calculer $\int_{a}^{b} f (x) d x$ (fonction continue) :

Pour calculer une aire géométrique sous $y = f (x)$ :

Pour l'aire entre deux courbes $y = f (x)$ et $y = g (x)$ :

Pour déterminer une constante avec une condition (ex. $F (x_{0}) = y_{0}$ ) :

Oublier $+ C$

Cas $\int x^{n} d x$