Optimisation

déterminer la valeur maximale ou minimale d'une quantité $Q$ (aire, volume, coût, temps, …) sous des contraintes.

(ou fonction objectif) : $Q(x)$, où $x$ est la variable choisie.

(ou domaine) : $D=\{x\text{ possibles}\}$ (longueurs $\ge 0$, angles dans un intervalle, contraintes géométriques, …).

sur $D$ : $Q(x^{\star })\ge Q(x)$ (max) ou $Q(x^{\star })\le Q(x)$ (min) pour tout $x\in D$.

inégalité vraie seulement pour $x$ proche de $x^{\star }$.

$x$ où $Q^{\prime }(x)=0$ (ou $Q^{\prime }$ n'existe pas) et $x\in D$.

(intérieur du domaine) : si $Q$ est dérivable et $x^{\star }$ est un extremum local strict avec $x^{\star }$ intérieur à $D$, alors $Q^{\prime }(x^{\star })=0$.

un extremum global peut aussi se trouver au bord de $D$ (endpoints) ou à un point non dérivable.

sur un intervalle,

si $Q^{\prime }(x^{\star })=0$ et $Q^{\prime \prime }(x^{\star })\ne 0$,

$Q(x)=a{x}^2+bx+c$ ($a\ne 0$).

$P(x)>0$ :

pour $u,v\ge 0$,

dessin, variables, unités (cm, m, CHF, s, …).

écrire $Q=\dots$ (aire, volume, coût, temps, …).

relations géométriques/physiques (Pythagore, périmètre, volume fixé, …).

exprimer tout en fonction d'une seule variable $x$ (substitutions).

longueurs $\ge 0$, angles dans un intervalle, expressions définies (dénominateur $\ne 0$, racine $\ge 0$), …

$Q^{\prime }(x)$ (et éventuellement $Q^{\prime \prime }(x)$).

résoudre $Q^{\prime }(x)=0$ (et ajouter les points où $Q^{\prime }$ n'existe pas), en gardant seulement ceux dans $D$.

• Méthode principale : tableau de signes de $Q^{\prime }$ (variations).
• Renforcé : test de $Q^{\prime \prime }$ si applicable.

de $D$ : calculer $Q$ aux endpoints (si $D=[a,b]$) ou étudier les limites (si $D$ ouvert).

valeur optimale et répondre avec une phrase + unités.

Procédures rapides (cas fréquents au gymnase):

utiliser le sommet $x=-\frac{b}{2a}$ (et vérifier le domaine).

$Q(x)=u(x)+\frac{k}{u(x)}$ avec $u(x)>0$ : souvent min quand $u(x)=\sqrt{k}$ (AM-GM) ou dérivée.

sur un intervalle, transformer en $\sin$ ou $\cos$ (ex.: $\sin (2\alpha )$) puis utiliser que $\sin$ est bornée par $[-1,1]$.

• Un maximum correspond à un sommet où la pente passe de $+$ à $-$.
• Un minimum correspond à un creux où la pente passe de $-$ à $+$.
• Le signe de $Q^{\prime }$ se lit comme la pente de $Q$.

les zéros de $Q^{\prime }$ découpent le domaine en intervalles; sur chaque intervalle, le signe de $Q^{\prime }$ donne la monotonie.

• $Q^{\prime \prime }>0$ : courbe convexe (en forme de $\cup$).
• $Q^{\prime \prime }<0$ : courbe concave (en forme de $\cap$).
• Pour une parabole concave ($a<0$), le sommet est un maximum global sur $\mathbb{R}$.

Graphe 1 : parabole (maximum) et point critique

Graphe 2 : $\sin (2\alpha )$ sur $[0,\pi /2]$ (max à $45^{\circ }$)

On découpe des carrés de côté $x$ aux quatre coins d'un rectangle $22$ cm $\times$ $18$ cm, puis on replie pour former une boîte ouverte.

hauteur $=x$, base $(22-2x)\times (18-2x)$.

il faut $22-2x>0$ et $18-2x>0$ et $x>0$, donc

on développe

$V^{\prime }(x)=0⟺12x^2-160x+396=0⟺3x^2-40x+99=0$.

comme $V(0)=0$ et $V(9)=0$ et qu'il n'y a qu'un point critique admissible, $V$ atteint son maximum en $x^{\star }$.

il faut découper des carrés de côté

On considère la parabole $y=-\frac{2}{9}{x}^2+8$. Pour $x\in [0,6]$, le point $P(x,y)$ est sur la parabole et on forme le triangle rectangle de sommets $O(0,0)$, $M(x,0)$ et $P(x,y)$. Maximiser l'aire.

base $=x$, hauteur $=y$ donc

intersection avec l'axe $x$ : $-\frac{2}{9}{x}^2+8=0\Rightarrow x=\pm 6$. Ici $x\in [0,6]$.

$A^{\prime }(x)=0\Rightarrow x^2=12\Rightarrow x^{\star }=2\sqrt{3}$ (admissible).

$A(0)=0$, $A(6)=-\frac{1}{9}\cdot 216+24=0$, donc le maximum est au point critique.

La portée (dans le vide) est $P(\alpha )=\frac{v_0^2}{g}\sin (2\alpha )$, avec $\alpha \in \left[0,\frac{\pi }{2}\right]$.

$\frac{v_0^2}{g}$ est constant, donc maximiser $P$ revient à maximiser $\sin (2\alpha )$.

$-1\le \sin (2\alpha )\le 1$, donc le maximum vaut $1$.

$\sin (2\alpha )=1⟺2\alpha =\frac{\pi }{2}$ (dans l'intervalle) $⟺\alpha =\frac{\pi }{4}$.

On veut fabriquer une boîte cylindrique fermée (avec couvercle) de volume fixé $V_0$ (rayon $r$, hauteur $h$). Minimiser la surface totale $S$.

deux disques + surface latérale

$S^{\prime }(r)=0\Rightarrow 4\pi r^3=2V_0\Rightarrow r^3=\frac{V_0}{2\pi }$,

$S^{\prime \prime }(r)=4\pi +\frac{4V_0}{r^3}>0$, donc c'est un minimum.

longueurs négatives, $\sqrt{\cdot }$ non définie, dénominateur nul, angle hors intervalle, …

sur $[a,b]$, un max/min global peut être en $a$ ou $b$.

$Q^{\prime }(x)=0$ est nécessaire (souvent) pour un extremum intérieur, mais pas suffisant.

(ou en ajouter) lors d'une transformation : squarer une équation, multiplier par une expression pouvant être nulle, simplifier par $x$ sans vérifier $x\ne 0$.

coins (valeur absolue), racines, fonctions définies par morceaux $\Rightarrow$ tester aussi ces points.

• travailler en radians pour les dérivées;
• respecter l'intervalle de l'angle (souvent $[0,\pi /2]$ ou $[0,\pi ]$);
• ne pas oublier la périodicité si le domaine est large.

donner la valeur optimale avec unité et vérifier qu'elle répond bien à la question (dimension, coût, temps, …).

toujours comparer les valeurs de $Q$ (ou utiliser un tableau de signes).

préciser le cadre (réels vs positifs) car le résultat peut changer.

J'ai identifié la quantité à optimiser ($Q$) et ses unités.

J'ai écrit les contraintes et réduit à une seule variable.

J'ai déterminé le domaine admissible $D$ (bornes, sens physique).

J'ai calculé $Q^{\prime }(x)$ (et $Q^{\prime \prime }(x)$ si utile).

J'ai listé tous les candidats : $Q^{\prime }(x)=0$, non-dérivables, bord de $D$.

J'ai établi le sens de variation (tableau de signes de $Q^{\prime }$).

J'ai comparé les valeurs de $Q$ aux candidats et conclu max/min global.

J'ai donné une phrase de réponse claire + unités + vérification de cohérence.