Optimisation

chercher la valeur maximale ou minimale d'une grandeur $Q$ (aire, volume, coût, distance, temps, …).

on modélise $Q$ par une fonction $Q(x)$ (ou $Q(x,y,\dots )$) selon une ou plusieurs variables.

relations géométriques/physiques/économiques liant les variables (équations à utiliser pour réduire à une seule variable).

$\mathcal{D}$ : valeurs possibles de la variable (longueurs $>0$, conditions de figure, etc.). Souvent un intervalle.

la meilleure valeur sur tout $\mathcal{D}$ (à ne pas confondre avec un extremum local).

(candidats) : valeurs $x$ dans $\mathcal{D}$ où $Q^{\prime }(x)=0$ ou $Q^{\prime }(x)$ n'existe pas.

extrémités de l'intervalle admissible (souvent à tester en plus des points critiques).

$\mathcal{D}$ :

• $Q^{\prime }$ passe de $+$ à $-$ : maximum (local, souvent global si on compare tout $\mathcal{D}$).
• $Q^{\prime }$ passe de $-$ à $+$ : minimum.

(si $Q$ est deux fois dérivable) :

un optimum global sur $\mathcal{D}$ se trouve parmi tous les candidats (points critiques et bords), puis comparaison des valeurs de $Q$.

relire, faire un schéma, nommer les variables, noter les unités.

écrire clairement $Q$ (ex. $V$, $A$, $C$, $T$).

(ex. $Q(x,y)$) à l'aide des formules connues (aire, volume, coût, …).

trouver des équations liant les variables (ex. aire fixée, périmètre fixé, relations trigonométriques).

exprimer $Q$ sous la forme $Q(x)$ par substitution.

$\mathcal{D}$ : intervalle de sens (longueurs positives, expressions définies, contraintes géométriques).

calculer $Q^{\prime }(x)$.

• résoudre $Q^{\prime }(x)=0$ (et vérifier que les solutions appartiennent à $\mathcal{D}$),
• faire un tableau de signes / variations.

• identifier l'optimum (changement de signe et/ou comparaison des valeurs),
• tester les bords : de $\mathcal{D}$ si nécessaire,
• répondre avec une phrase, en réintroduisant les dimensions demandées et les unités.

optimiser $Q$ revient à chercher où la courbe $y=Q(x)$ est la plus haute (maximum) ou la plus basse (minimum) sur $\mathcal{D}$.

• zones où $Q^{\prime }(x)>0$ : la courbe monte,
• zones où $Q^{\prime }(x)<0$ : la courbe descend,
• un maximum correspond souvent à une tangente horizontale ($Q^{\prime }(x)=0$) puis descente.

outil standard pour résumer croissance/décroissance et extremums sur $\mathcal{D}$.

Exemple de graphe (principe d'un maximum) :

Sur un intervalle fermé $[a,b]$ : un maximum/minimum global existe (il est atteint).

Sur un intervalle ouvert $(a,b)$ : il peut ne pas être atteint (mais on teste quand même ce qui se passe quand $x\to a$ ou $x\to b$).

On enlève un carré de côté $x$ à chaque coin d'un carton $22\text{ cm}\times 18\text{ cm}$, puis on replie pour former une boîte (sans couvercle).

• Dimensions de la base : $(22-2x)$ et $(18-2x)$, hauteur : $x$.
• Volume :

• Domaine admissible : $x>0$, $22-2x>0$, $18-2x>0\Rightarrow 0<x<9$. Calcul :

On cherche la valeur minimale du produit de deux nombres réels dont la différence vaut $12$.

• Posons $a=b+12$ (donc $a-b=12$).
• Produit : $P(b)=ab=b(b+12)=b^2+12b$.
• Domaine : $b\in \mathbb{R}$ (si aucune restriction n'est donnée). Dérivée :

On veut clôturer un pâturage rectangulaire d'aire $1{\text{km}}^2$. Un côté est le long d'une route :

• clôturer le long de la route coûte $500$ fr./km,
• les trois autres côtés coûtent $300$ fr./km. Soit $x$ la longueur le long de la route et $y$ la largeur. Contrainte :

$\mathcal{D}$ : une solution de $Q^{\prime }(x)=0$ peut être non admissible (longueur négative, figure impossible, …).

sur $[a,b]$, l'optimum global peut être en $a$ ou $b$.

bien identifier ce que l'énoncé demande (aire vs périmètre, volume vs matière, coût total vs coût d'un côté, …).

vérifier les substitutions et les unités (cm, dm, km, fr., …).

un point critique n'est pas automatiquement un maximum (il faut signe de $Q^{\prime }$ ou test de $Q^{\prime \prime }$).

$(a,b)$ : parfois l'optimum n'est pas atteint (on discute les limites aux bords).

comparer les valeurs de $Q$ pour trancher l'optimum global.

toujours reformuler la conclusion avec les dimensions demandées et les unités.

J'ai identifié clairement la grandeur à optimiser ($Q$).

J'ai défini mes variables et fait un schéma.

J'ai écrit $Q$ en fonction des variables.

J'ai utilisé les contraintes pour obtenir $Q(x)$ (une seule variable).

J'ai déterminé l'ensemble admissible $\mathcal{D}$.

J'ai calculé $Q^{\prime }(x)$ correctement.

J'ai résolu $Q^{\prime }(x)=0$ et gardé seulement les solutions dans $\mathcal{D}$.

J'ai étudié le signe de $Q^{\prime }(x)$ (ou utilisé $Q^{\prime \prime }$ si pertinent).

J'ai testé/comparé les bords de $\mathcal{D}$ quand nécessaire.

J'ai donné une conclusion claire avec les unités.