Analyse II · niveau standard

Primitives et intégrales

Fiche vérifiée par Stéphane Hartmann (ing. EPFL) · Mise à jour : juillet 2026

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Définition

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Primitive

une fonction $F$ est une primitive de $f$ sur un intervalle $I$ si

F^{'} (x) = f (x) pour tout x \in I .

Infinité de primitives

si $F$ est une primitive de $f$ , alors $F (x) + C$ (avec $C \in R$ ) est aussi une primitive. Deux primitives diffèrent toujours d'une constante.

Intégrale indéfinie

l'ensemble des primitives de $f$ se note

\int f (x) d x = F (x) + C .

Intégrale définie

pour $f$ continue sur $[a, b]$ ,

\int_{a}^{b} f (x) d x

est l'aire algébrique sous la courbe

y = f (x)

entre

x = a

x = b

(positive au-dessus de l'axe, négative en dessous).

Bornes et variable

$a, b$ sont les bornes, $x$ est la variable d'intégration, et $d x$ indique ``on intègre par rapport à $x$ ''.

Théorème fondamental

si $f$ est continue sur $[a, b]$ et $F$ est une primitive de $f$ , alors

\int_{a}^{b} f (x) d x = F (b) - F (a) .

🧮

Formules essentielles

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Linéarité

\int (f (x) \pm g (x)) d x = \int f (x) d x \pm \int g (x) d x, \int k f (x) d x = k \int f (x) d x .

Primitives usuelles (avec $C$ constante)

Puissances ( $n \neq = - 1$ ) :

\int x^{n} d x = \frac{x ^{n + 1}}{n + 1} + C .

Cas $n = - 1$ :

\int \frac{1}{x} d x = ln ∣ x ∣ + C (x \neq = 0) .

Exponentielle :

\int e^{x} d x = e^{x} + C .

Trigonométriques :

\int cos x d x = sin x + C, \int sin x d x = - cos x + C .

Inverse de $1 + x^{2}$ :

\int \frac{1}{1 + x ^{2}} d x = arctan x + C .

Inverse de $1 - x^{2}$ (sur $(- 1, 1)$ ) :

\int \frac{1}{1 - x ^{2}} d x = arcsin x + C .

Reconnaître une dérivée de composée (cas fréquents)

Puissance d'une fonction (si $n \neq = - 1$ ) :

\int (f (x))^{n} f^{'} (x) d x = \frac{( f ( x ) ) ^{n + 1}}{n + 1} + C .

Exponentielle composée :

\int e^{f (x)} f^{'} (x) d x = e^{f (x)} + C .

Logarithme :

\int \frac{f ^{'} ( x )}{f ( x )} d x = ln ∣ f (x) ∣ + C (f (x) \neq = 0) .

Trigonométriques composées :

\int cos (f (x)) f^{'} (x) d x = sin (f (x)) + C, \int sin (f (x)) f^{'} (x) d x = - cos (f (x)) + C .

Propriétés des intégrales définies

\int_{a}^{a} f (x) d x = 0, \int_{a}^{b} f (x) d x = - \int_{b}^{a} f (x) d x

\int_{a}^{c} f (x) d x = \int_{a}^{b} f (x) d x + \int_{b}^{c} f (x) d x

(relation de Chasles).

🛠️

Méthodes

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Pour trouver une primitive $\int f (x) d x$ :

Simplifier l'expression (développer/factoriser si utile).
Utiliser la linéarité pour séparer en somme de termes simples.
Appliquer une primitive usuelle (table).
Si un terme ressemble à $f^{'} (x) g (f (x))$ , utiliser un patron de composée :

\frac{f ^{'} ( x )}{f ( x )}, e^{f (x)} f^{'} (x), cos (f (x)) f^{'} (x), (f (x))^{n} f^{'} (x), \dots

Ajouter toujours la constante $C$ (intégrale indéfinie).

Pour calculer $\int_{a}^{b} f (x) d x$ (fonction continue) :

Trouver une primitive $F$ de $f$ .
Calculer $F (b) - F (a)$ .
Ne pas mettre de constante $C$ (elle s'annule dans la différence).

Pour calculer une aire géométrique sous $y = f (x)$ :

Faire un croquis et déterminer où $f (x) \geq 0$ ou $f (x) \leq 0$ .
Trouver les points où $f (x) = 0$ (intersections avec l'axe $O x$ ).
Découper l'intervalle en morceaux où le signe est constant.
Aire géométrique :

A = \sum \int_{α}^{β} f (x) d x .

Pour l'aire entre deux courbes $y = f (x)$ et $y = g (x)$ :

Résoudre $f (x) = g (x)$ pour trouver les bornes (intersections).
Identifier la courbe du haut (celle qui a les plus grandes valeurs).
Calculer

A = \int_{a}^{b} (haut - bas) d x .

Pour déterminer une constante avec une condition (ex. $F (x_{0}) = y_{0}$ ) :

Écrire $F (x) = (primitive) + C$ .
Remplacer $x = x_{0}$ et $F (x_{0}) = y_{0}$ pour trouver $C$ .

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Interprétations et graphiques

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Sommes de rectangles

on approxime l'aire sous la courbe sur $[a, b]$ par une somme de rectangles ; quand le nombre de rectangles augmente, l'approximation devient meilleure.

Aire algébrique

$\int_{a}^{b} f (x) d x$ additionne les aires au-dessus de l'axe et soustrait celles en dessous.

Lien dérivée / intégrale

intégrer revient (souvent) à ``remonter'' une dérivation, et le théorème fondamental relie l'intégrale définie à une primitive.

Valeur moyenne

si $f$ est continue sur $[a, b]$ , il existe $c \in [a, b]$ tel que

f (c) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x .

Graphiquement : aire sous la courbe

=

aire d'un rectangle de base

b - a

et de hauteur

f (c)

Figure : analyse 2 3 primitives et integrales

Exemple de lecture : $f (x) = x^{2} - 2 x$ change de signe sur $[0, 4]$ (zéros en $0$ et $2$ ). Pour l'aire géométrique, on découpe l'intervalle.

✏️

Exemples-types

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Primitive d'un polynôme

\int (3 x^{2} - 4 x + 1) d x

Solution. Par linéarité et formule

\int x^{n} d x = \frac{x ^{n + 1}}{n + 1}

\int 3 x^{2} d x = 3 \cdot \frac{x ^{3}}{3} = x^{3}, \int (- 4 x) d x = - 4 \cdot \frac{x ^{2}}{2} = - 2 x^{2}, \int 1 d x = x .

Donc

\int (3 x^{2} - 4 x + 1) d x = x^{3} - 2 x^{2} + x + C .

Primitive par reconnaissance de

$\frac{f ^{'}}{f}$

\int \frac{2 x}{x ^{2} + 1} d x

Solution. On reconnaît

f (x) = x^{2} + 1

f^{'} (x) = 2 x

, donc

\int \frac{f ^{'} ( x )}{f ( x )} d x = ln ∣ f (x) ∣ + C .

Ici

x^{2} + 1 > 0

, donc

\int \frac{2 x}{x ^{2} + 1} d x = ln (x^{2} + 1) + C .

Variante (détermination de

C

). Si on impose

F (0) = 2

, alors

F (x) = ln (x^{2} + 1) + C, F (0) = ln (1) + C = 0 + C = 2 \Rightarrow C = 2.

Intégrale définie par primitive

\int_{1}^{4} x^{2} d x

Solution. Une primitive de

x^{2}

est

F (x) = \frac{x ^{3}}{3}

. Donc

\int_{1}^{4} x^{2} d x = [\frac{x ^{3}}{3}]_{1}^{4} = \frac{4 ^{3}}{3} - \frac{1 ^{3}}{3} = \frac{64 - 1}{3} = 21.

Aire entre deux courbes

Calculer l'aire du domaine borné par $y = x$ et $y = x^{2}$ .

Solution. On cherche les intersections :

x = x^{2} (x \geq 0) ⟺ x = x^{4} ⟺ x (x^{3} - 1) = 0,

donc

x = 0

x = 1

. Sur

[0, 1]

, on a

x \geq x^{2}

, donc

A = \int_{0}^{1} (x - x^{2}) d x = \int_{0}^{1} (x^{1/2} - x^{2}) d x .

Primitives :

\int x^{1/2} d x = \frac{2}{3} x^{3/2}, \int x^{2} d x = \frac{1}{3} x^{3} .

Donc

A = [\frac{2}{3} x^{3/2} - \frac{1}{3} x^{3}]_{0}^{1} = (\frac{2}{3} - \frac{1}{3}) - 0 = \frac{1}{3} .

⚠️

Pièges et cas particuliers

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Oublier $+ C$

dans une intégrale indéfinie : toute primitive s'écrit $F (x) + C$ .

Confondre aire algébrique et aire géométrique

si $f$ est négative, $\int_{a}^{b} f (x) d x < 0$ mais l'aire géométrique est positive (prendre la valeur absolue après découpage).

Cas $\int x^{n} d x$

la formule $\frac{x ^{n + 1}}{n + 1}$ ne marche pas pour $n = - 1$ (il faut $ln ∣ x ∣$ ).

Logarithme

toujours $ln ∣ x ∣$ ou $ln ∣ f (x) ∣$ (attention au domaine).

Bornes inversées

$\int_{b}^{a} f (x) d x = - \int_{a}^{b} f (x) d x$ .

Relation de Chasles

utile pour découper l'intervalle, mais attention au sens des bornes.

Aire entre deux courbes

il faut haut $-$ bas et vérifier sur l'intervalle (un croquis évite les erreurs).

Variable d'intégration

$\int_{a}^{b} f (x) d x$ ne dépend pas du nom de la variable (on peut écrire $\int_{a}^{b} f (t) d t$ ).

Continuité

le théorème fondamental est appliqué lorsque $f$ est continue sur $[a, b]$ (ou au moins intégrable et avec primitive sur l'intervalle considéré).

✅

À retenir

▾

Je sais définir primitive et intégrale indéfinie ( $F (x) + C$ ).

Je connais les primitives usuelles : $x^{n}$ , $\frac{1}{x}$ , $e^{x}$ , $sin x$ , $cos x$ , $\frac{1}{1 + x ^{2}}$ .

Je sais utiliser la linéarité pour simplifier une intégrale.

Je reconnais les patrons : $\frac{f ^{'}}{f}$ , $e^{f} f^{'}$ , $cos (f) f^{'}$ , $sin (f) f^{'}$ , $(f)^{n} f^{'}$ .

Je calcule une intégrale définie via $F (b) - F (a)$ .

Je sais changer l'ordre des bornes et utiliser Chasles.

Je distingue aire algébrique et aire géométrique (découpage + valeurs absolues).

Je sais calculer une aire entre deux courbes (intersections, haut $-$ bas).

Je pense à vérifier le signe d'une fonction sur un intervalle (croquis).

Je sais déterminer une constante $C$ avec une condition du type $F (x_{0}) = y_{0}$ .

🃏 Étape suivante Flashcards — Analyse II Mémorise les définitions et formules de ce chapitre, carte par carte. →

Primitives et intégrales

Définition

Primitive

Infinité de primitives

Intégrale indéfinie

Intégrale définie

Bornes et variable

Théorème fondamental

Formules essentielles

Linéarité

Primitives usuelles (avec C constante)

Reconnaître une dérivée de composée (cas fréquents)

Propriétés des intégrales définies

Méthodes

Pour trouver une primitive ∫f(x)dx :

Pour calculer ∫ab​f(x)dx (fonction continue) :

Pour calculer une aire géométrique sous y=f(x) :

Pour l'aire entre deux courbes y=f(x) et y=g(x) :

Pour déterminer une constante avec une condition (ex. F(x0​)=y0​) :

Interprétations et graphiques

Sommes de rectangles

Aire algébrique

Lien dérivée / intégrale

Valeur moyenne

Exemples-types

Primitive d'un polynôme

Primitive par reconnaissance de

Intégrale définie par primitive

Aire entre deux courbes

Pièges et cas particuliers

Oublier +C

Confondre aire algébrique et aire géométrique

Cas ∫xndx

Logarithme

Bornes inversées

Relation de Chasles

Aire entre deux courbes

Variable d'intégration

Continuité

À retenir

Primitives usuelles (avec $C$ constante)

Pour trouver une primitive $\int f (x) d x$ :

Pour calculer $\int_{a}^{b} f (x) d x$ (fonction continue) :

Pour calculer une aire géométrique sous $y = f (x)$ :

Pour l'aire entre deux courbes $y = f (x)$ et $y = g (x)$ :

Pour déterminer une constante avec une condition (ex. $F (x_{0}) = y_{0}$ ) :

Oublier $+ C$

Cas $\int x^{n} d x$