Application des intégrales

solide obtenu en faisant tourner une région du plan autour de l'axe des abscisses.

région comprise entre la courbe $y=f(x)$ et l'axe $Ox$, pour $x\in [a,b]$.

à l'abscisse $x$, la section perpendiculaire à $Ox$ est un disque (plein) ou une rondelle (creuse).

(autour de $Ox$) :

• rayon extérieur : $R(x)=\text{distance de la courbe exteˊrieure aˋ }Ox$ (souvent $R(x)=|f(x)|$),
• rayon intérieur : $r(x)=\text{distance de la courbe inteˊrieure aˋ }Ox$ (souvent $r(x)=|g(x)|$).

si $x$ et $y$ sont en unités de longueur, le volume est en unités cubiques.

toujours faire un croquis pour identifier la région, l'axe de rotation, les bornes et les rayons.

• autour de $y=k$ : les rayons sont des distances à la droite $y=k$ (ex. $R(x)=|f(x)-k|$),
• autour de $x=h$ : les rayons sont des distances à la droite $x=h$ (ex. pour des coquilles : $|x-h|$).

méthode alternative (souvent utile autour de $Oy$) où l’on empile des coquilles de rayon $x$ (ou $y$), plutôt que des disques.

plus généralement, si un solide $S$ a des sections d’aire $A(x)$ (ou $A(y)$) perpendiculaires à un axe, alors son volume est une intégrale de $A$.

$V={\int }_a^{b}A(x)dx$, où $A(x)$ est l'aire de la section à l'abscisse $x$.

• si la région est symétrique et que la formule donne une intégrale paire : ${\int }_{-a}^a(\cdots )dx=2{\int }_0^a(\cdots )dx$.

le rayon est une distance à l'axe $\Rightarrow$ souvent $|f(x)|$ ou $|g(x)|$ si la courbe passe sous l'axe.

si la section perpendiculaire à $Ox$ a une aire $A(x)$,

• Faire un croquis de la région et indiquer l'axe $Ox$.
• Identifier les bornes $a$ et $b$ (intersections, intervalle donné, etc.).
• Déterminer le rayon $R(x)$ (distance à $Ox$, typiquement $R(x)=|f(x)|$).
• Écrire $V=\pi {\int }_a^{b}R(x{)}^{2}dx$.
• Calculer l'intégrale et donner le résultat (avec $\pi$ si nécessaire).

• Croquis : repérer la courbe extérieure (plus éloignée de $Ox$) et la courbe intérieure.
• Définir $R(x)$ (extérieur) et $r(x)$ (intérieur), comme des distances à $Ox$.
• Déterminer les bornes $[a,b]$ (souvent les intersections des courbes ou des limites imposées).
• Écrire $V=\pi {\int }_a^b(R(x{)}^2-r(x{)}^2)dx$.
• Calculer et vérifier que l'intégrande reste $\ge 0$ (sinon revoir $R$ et $r$ ou découper).

• Décider si l'on intègre par rapport à $x$ ou à $y$ (choisir la variable qui rend $R$ et $r$ simples).
• Si l'on intègre en $y$ : exprimer les rayons comme fonctions de $y$ et utiliser $V=\pi \int (R(y{)}^2-r(y{)}^2)dy$.

• Couper l'intervalle en sous-intervalles où la description de la région (ou le rayon) est simple.
• Calculer le volume sur chaque morceau, puis additionner.

• Faire un croquis : région entre $y=f(x)$ (haut) et $y=g(x)$ (bas), pour $x\in [a,b]$.
• Prendre une tranche verticale : à l’abscisse $x$, elle génère une coquille de rayon $x$.
• Déterminer la hauteur : $h(x)=f(x)-g(x)$ (avec $h(x)\ge 0$).
• Écrire $V=2\pi {\int }_a^{b}xh(x)dx$.
• Calculer l'intégrale et vérifier la cohérence (unités, ordre de grandeur).

• Remplacer « distance à $Ox$ » par « distance à l’axe $y=k$ » (ou $x=h$).
• Écrire les rayons comme des valeurs absolues : $|f(x)-k|$, $|g(x)-k|$ (ou $|x-h|$ pour coquilles).
• Utiliser disques/rondelles si les sections perpendiculaires à l’axe sont simples, sinon préférer les coquilles.

• Identifier la base dans le plan (souvent entre deux courbes).
• À chaque $x$, exprimer la longueur de base $s(x)$ (distance entre bords de la base).
• Traduire l’énoncé en aire de section $A(x)$ (carré, demi-cercle, triangle, rectangle, etc.).
• Calculer $V={\int }_a^{b}A(x)dx$.
• Vérifier $A(x)\ge 0$ et découper si la description change.

l'intégrale $V={\int }_a^{b}A(x)dx$ est une somme de volumes de tranches fines.

• solide plein : chaque tranche est un disque d'aire $A(x)=\pi R(x{)}^2$,
• solide creux : chaque tranche est une rondelle d'aire $A(x)=\pi (R(x{)}^2-r(x{)}^2)$.

aire d'un disque de rayon $R$ : $\pi R^2$.

qui est le rayon extérieur ? où sont les intersections ? la région passe-t-elle sous l'axe ?

on additionne des coquilles de volume élémentaire

la même idée vaut si les sections sont des carrés, demi-cercles, triangles, etc. : on remplace simplement l’aire circulaire par l’aire $A(x)$ donnée.

Graphe 1 (disques) : région sous $f(x)=2-x$ sur $[0,2]$ autour de $Ox$.

Graphe 2 (rondelles) : région entre $f(x)=x+1$ (extérieur) et $g(x)=x^2$ (intérieur) sur $[0,1]$ autour de $Ox$.

Graphe 3 (coquilles) : région sous $y=2-x$ sur $[0,2]$ autour de $Oy$ (tranche verticale $\Rightarrow$ coquille).

Calculer le volume d'un cône de rayon $r$ et de hauteur $h$ par la méthode des disques autour de l'axe des abscisses.

On place le cône sur l'axe $Ox$ : sommet en $x=0$, base en $x=h$.

La génératrice est une droite passant par $(0,0)$ et $(h,r)$ :

Volume (disques autour de $Ox$) :

la base vaut $\pi r^2$ et la hauteur $h$, donc un volume typique est de l'ordre de $\pi r^{2}h$ ; le facteur $\frac{1}{3}$ est cohérent (cône plus « pointu » qu’un cylindre).

Demi-cercle supérieur : $y=\sqrt{r^2-x^2}$ pour $x\in [-r,r]$.

En tournant autour de $Ox$, on obtient une sphère.

Volume :

Calcul :

comme $r^2-x^2$ est paire,

On fait tourner autour de $Ox$ la région comprise entre

Sur $[0,2]$, on a $f(x)\ge g(x)\ge 0$ : $f$ est le rayon extérieur et $g$ le rayon intérieur.

Volume :

Simplification :

Calcul :

l’intégrande est bien de la forme $R(x{)}^2-r(x{)}^2$ avec $R\ge r$. Si, sur une partie de l’intervalle, l’ordre s’inverse, il faut découper l’intégrale.

Rayon : $R(x)=\sqrt{x}$ (distance à $Ox$, positive sur $[0,4]$).

Volume :

si l’on tourne autour de $y=k$, remplacer $R(x)$ par la distance $|\sqrt{x}-k|$ (et, si nécessaire, introduire une rondelle avec un rayon intérieur).

la formule utilise $R(x{)}^2$, pas $R(x)$.

si $f(x)<0$, le rayon est $|f(x)|$ (et $|f(x){|}^2=f(x{)}^2$).

(rondelles) :

• toujours : $R(x)\ge r(x)\ge 0$,
• vérifier avec un point test ou le croquis.

• utiliser les intersections des courbes (ou les limites imposées),
• attention aux régions définies par morceaux $\Rightarrow$ découper l'intégrale.

• choisir la variable qui rend les rayons simples,
• si on intègre en $y$, il faut exprimer les rayons en fonction de $y$.

signe d'une erreur (souvent inversion de $R$ et $r$) ou besoin de découper.

penser aux unités cubiques (cm${}^3$, m${}^3$, etc.).

• souvent, il faut exprimer $x$ en fonction de $y$ (inversion) : $x=x(y)$,
• si l’inversion est pénible, préférer la méthode des coquilles (intégration en $x$).

• oublier le « décalage » est une erreur fréquente : le rayon n’est plus $|f(x)|$ mais $|f(x)-k|$,
• attention aux changements de signe : une valeur absolue peut imposer un découpage.

• ne pas confondre aire de base et aire de section $A(x)$,
• bien relier la géométrie : par exemple, « diamètre » d’un demi-cercle $\ne$ « rayon » .

J'ai fait un croquis clair avec l'axe de rotation.

J'ai identifié correctement l'intervalle (bornes) d'intégration.

J'ai écrit le(s) rayon(s) comme distance(s) à l'axe (avec valeur absolue si besoin).

Je sais choisir disques (plein) ou rondelles (creux).

J'ai vérifié que $R(x)\ge r(x)\ge 0$ pour les rondelles.

Ma formule est du type $V=\int A(x)dx$ avec $A(x)=\pi R^2$ ou $\pi (R^2-r^2)$.

Si nécessaire, j'ai découpé en morceaux (région/forme changeante).

Mon résultat a des unités cubiques et semble cohérent.

Si je tourne autour de $Oy$, j'ai choisi entre rondelles en $y$ et coquilles en $x$.

Si l’axe est $y=k$ ou $x=h$, j’ai bien utilisé des distances à cet axe.

Pour un solide « par tranches » , j’ai écrit correctement l’aire $A(x)$ de la section (carré, demi-cercle, triangle, etc.).