Équations différentielles — 1er ordre

équation reliant une fonction inconnue $y(x)$ à ses dérivées. L'ordre est la plus haute dérivée apparaissant.

fonction dérivable vérifiant l'équation sur un intervalle $I$. L'ensemble des solutions s'appelle solution générale.

donnée supplémentaire $y(x_0)=y_0$ qui permet de déterminer une unique solution parmi les solutions générales.

équation de la forme $y^{\prime }+a(x)y=b(x)$, où $a,b$ sont des fonctions continues.

cas particulier avec $b(x)=0$ : $y^{\prime }+a(x)y=0$.

équation de la forme $y^{\prime }=f(x)g(y)$. Se résout par séparation : $\frac{dy}{g(y)}=f(x)dx$, puis intégration.

solution générale = solution générale de l'homogène + une solution particulière :

on cherche $y_p=C(x)\cdot y_{\text{hom}}(x)$. En remplaçant dans l'équation, on trouve $C(x)$ par intégration.

pour $y^{\prime }+ay=b(x)$ avec $a$ constant :

$\frac{dy}{dx}=f(x)g(y)\Rightarrow \int \frac{dy}{g(y)}=\int f(x)dx+C$.

$y^{\prime }=ky$ (avec $k$ constant) a pour solution $y(x)=y_0{e}^{kx}$. $k>0$ : croissance ; $k<0$ : décroissance.

• Solution : $y=C{e}^{-ax}$.
• Si condition initiale $y(x_0)=y_0$ : déterminer $C$.

• Résoudre l'homogène : $y_h=C{e}^{-ax}$.
• Chercher une solution particulière $y_p$ : selon la forme de $b(x)$.

- Si $b$ polynôme de degré $n$ : essayer $y_p$ polynôme de degré $n$.
- Si $b(x)=A{e}^{rx}$ avec $r\ne -a$ : essayer $y_p=B{e}^{rx}$.
- Si $r=-a$ : essayer $y_p=Bx{e}^{rx}$.

• Solution générale : $y=y_h+y_p$.
• Appliquer la condition initiale si donnée.

• Solution de l'homogène : $y_h=C{e}^{-ax}$.
• Chercher solution sous la forme $y=C(x)e^{-ax}$.
• Remplacer dans l'équation : $C^{\prime }(x)e^{-ax}=b(x)$, donc $C^{\prime }(x)=b(x)e^{ax}$.
• Intégrer pour obtenir $C(x)$, puis conclure.

• Écrire $\frac{dy}{g(y)}=f(x)dx$.
• Intégrer les deux côtés.
• Résoudre en $y$ si possible.
• Appliquer la condition initiale.

Résoudre $y^{\prime }+3y=0$, $y(0)=2$.

Solution : $y(x)=C{e}^{-3x}$. Condition initiale : $y(0)=C=2$.

Solution finale : $y(x)=2e^{-3x}$.

Résoudre $y^{\prime }+2y=4x$.

Homogène : $y_h=C{e}^{-2x}$. Solution particulière de la forme $y_p=ax+b$ : $y_p^{\prime }=a$, donc $a+2(ax+b)=4x$, ce qui donne $2a=4$ et $a+2b=0$, soit $a=2$, $b=-1$.

Solution : $y=C{e}^{-2x}+2x-1$.

Résoudre $y^{\prime }+y=e^{2x}$.

Homogène : $y_h=C{e}^{-x}$. $y_p=A{e}^{2x}$ : $2A{e}^{2x}+A{e}^{2x}=e^{2x}\Rightarrow 3A=1$, $A=1/3$.

Solution : $y=C{e}^{-x}+\frac{1}{3}{e}^{2x}$.

Loi de Newton : $T^{\prime }(t)=-k(T-T_{\text{amb}})$.

$\frac{dT}{T-T_{\text{amb}}}=-kdt\Rightarrow \ln |T-T_{\text{amb}}|=-kt+C\Rightarrow T(t)=T_{\text{amb}}+(T_0-T_{\text{amb}})e^{-kt}$.

$y^{\prime }+ay=0$ donne $y=C{e}^{-ax}$ (signe négatif). Attention au signe.

si le second membre contient $e^{rx}$ avec $r$ racine de l'homogène, essayer $y_p=Bx{e}^{rx}$ au lieu de $B{e}^{rx}$.

ne pas oublier de sommer. La constante d'intégration est dans $y_h$.

on suppose $g(y)\ne 0$. Traiter séparément le cas $g(y)=0$ (solutions constantes $y=y_0$).

appliquer la condition $y(x_0)=y_0$ sur la solution GÉNÉRALE, pas seulement sur la solution particulière.

la théorie s'applique sur un intervalle où $a,b$ sont continues. Attention aux points singuliers.

Je sais résoudre $y^{\prime }+ay=0$ (homogène à coeff constant).

Je sais chercher une solution particulière par forme adaptée (polynôme, exponentielle).

Je connais la méthode de variation de la constante.

Je sais résoudre une équation à variables séparables.

Je sais appliquer une condition initiale pour déterminer la constante.

Je connais l'application aux modèles de croissance / décroissance exponentielle.