Équations différentielles — 2e ordre linéaires à coefficients constants

équation de la forme $a{y}^{\prime \prime }+b{y}^{\prime }+cy=f(x)$, avec $a,b,c$ constantes réelles, $a\ne 0$.

cas $f(x)=0$ : $a{y}^{\prime \prime }+b{y}^{\prime }+cy=0$.

équation associée $a{r}^2+br+c=0$. Ses racines déterminent la forme de la solution homogène.

$\Delta =b^2-4ac$. Trois cas possibles selon son signe.

toute solution est somme de la solution générale de l'équation homogène et d'une solution particulière de l'équation complète.

pour une équation du 2e ordre, deux conditions initiales sont nécessaires : $y(x_0)=y_0$ et $y^{\prime }(x_0)=y_0^{\prime }$.

racines $r_1,r_2$ :

racine double $r_0=-b/(2a)$ :

$y(x)=y_h(x)+y_p(x)$, où $y_p$ est une solution particulière de l'équation avec second membre.

• $f(x)=P(x)$ polynôme : chercher $y_p$ polynôme de même degré (ou $x\cdot$ polynôme si $0$ est racine de l'eq. caract.).
• $f(x)=A{e}^{\lambda x}$ : chercher $y_p=B{e}^{\lambda x}$ si $\lambda$ n'est pas racine ; $y_p=Bx{e}^{\lambda x}$ si racine simple ; $y_p=B{x}^2{e}^{\lambda x}$ si racine double.
• $f(x)=A\cos (\omega x)+B\sin (\omega x)$ : chercher $y_p=C\cos (\omega x)+D\sin (\omega x)$ si $i\omega$ n'est pas racine.

si $f=f_1+f_2$, on peut chercher $y_{p,1}$ et $y_{p,2}$ séparément. Alors $y_p=y_{p,1}+y_{p,2}$.

• Écrire l'équation caractéristique $a{r}^2+br+c=0$.
• Calculer $\Delta$.
• Appliquer la formule selon le signe de $\Delta$.
• Solution générale avec deux constantes.

• Résoudre d'abord l'homogène → $y_h$.
• Chercher une solution particulière $y_p$ de la bonne forme.
• Solution générale $y=y_h+y_p$.
• Appliquer les deux conditions initiales si données pour déterminer $C_1,C_2$.

• Identifier le type de $f(x)$ (polynôme, exponentielle, sinusoïde).
• Proposer $y_p$ de même type avec coefficients indéterminés.
• En cas de résonance (racine de l'équation caractéristique), multiplier par $x$ ou $x^2$.
• Remplacer dans l'équation et identifier les coefficients.

• $\Delta >0$ : régime apériodique (double exponentielle).
• $\Delta =0$ : régime critique.
• $\Delta <0$ : oscillations (amorties si $\alpha <0$).
• Application : oscillateur harmonique amorti, circuit RLC.

Résoudre $y^{\prime \prime }-5y^{\prime }+6y=0$.

Eq. caractéristique : $r^2-5r+6=0\Rightarrow (r-2)(r-3)=0$, $r=2$ ou $r=3$.

Solution générale : $y(x)=C_1{e}^{2x}+C_2{e}^{3x}$.

Résoudre $y^{\prime \prime }-4y^{\prime }+4y=0$.

Eq. caractéristique : $r^2-4r+4=0\Rightarrow (r-2{)}^2=0$, racine double $r=2$.

Solution : $y(x)=(C_1+C_{2}x)e^{2x}$.

Résoudre $y^{\prime \prime }+2y^{\prime }+5y=0$, $y(0)=1$, $y^{\prime }(0)=0$.

Eq. caractéristique : $r^2+2r+5=0$, $\Delta =-16$, racines $r=-1\pm 2i$.

$y(x)=e^{-x}(C_1\cos 2x+C_2\sin 2x)$.

$y(0)=C_1=1$. $y^{\prime }(x)=-e^{-x}(C_1\cos 2x+C_2\sin 2x)+e^{-x}(-2C_1\sin 2x+2C_2\cos 2x)$. $y^{\prime }(0)=-C_1+2C_2=0\Rightarrow C_2=1/2$.

Solution : $y(x)=e^{-x}(\cos 2x+\frac{1}{2}\sin 2x)$.

Résoudre $y^{\prime \prime }+y^{\prime }-2y=4e^{3x}$.

Homogène : $r^2+r-2=0\Rightarrow r=1$ ou $r=-2$. $y_h=C_1{e}^x+C_2{e}^{-2x}$.

$y_p=B{e}^{3x}$. $y_p^{\prime \prime }=9B{e}^{3x}$, $y_p^{\prime }=3B{e}^{3x}$. Substituant : $9B+3B-2B=4\Rightarrow B=2/5$.

$y=C_1{e}^x+C_2{e}^{-2x}+\frac{2}{5}{e}^{3x}$.

pour une équation du 2e ordre, la solution générale comporte DEUX constantes $C_1,C_2$.

si la fréquence (ou exposant) du second membre est racine de l'équation caractéristique, multiplier $y_p$ par $x$ (ou $x^2$ si racine double).

pour $\Delta <0$, exprimer directement en $e^{\alpha x}(\cos \beta x,\sin \beta x)$. Les constantes restent réelles.

une seule condition ne suffit PAS. Il faut $y(x_0)$ ET $y^{\prime }(x_0)$ pour déterminer les deux constantes.

l'équation $y^{\prime \prime }=f(x)$ se résout par double intégration directe ; pas besoin de l'équation caractéristique.

$C_1\cos (\beta x)+C_2\sin (\beta x)=R\cos (\beta x-\phi )$ avec $R=\sqrt{C_1^2+C_2^2}$. Utile pour interpréter l'amplitude.

Je sais écrire et résoudre l'équation caractéristique.

Je connais les trois cas $\Delta >0,=0,<0$ et les formes des solutions.

Je sais chercher une solution particulière selon la forme du second membre.

Je sais gérer les cas de résonance (multiplication par $x$ ou $x^2$).

Je sais appliquer deux conditions initiales pour déterminer $C_1,C_2$.

Je reconnais les régimes physiques (apériodique, critique, oscillant).