Examen de maturité 2016 — mathématiques

5 problèmes · durée 240 min · niveau standard (Suisse romande)

Épreuve officielle de la maturité gymnasiale suisse (niveau standard, 2016). Énoncés reproduits à des fins pédagogiques et de révision ; corrigé, méthodes et commentaires rédigés par MatuMath.

À propos de l'examen de maturité 2016 (niveau standard)

Cet examen de maturité gymnasiale de mathématiques 2016, de niveau standard, comporte 5 problèmes (24 sous-questions) pour un total de 60 points, à traiter en 240 minutes. La note finale suit le barème officiel : note = 1 + 5 × (points obtenus / points maximum), soit environ 60 % des points pour atteindre la moyenne de 4 — tu peux convertir tes points avec le calculateur de note.

Chapitres et notions couverts par cet examen :

Analyse Géométrie analytique Probabilités Géométrie dans l'espace

Le corrigé détaillé de cet examen 2016 est disponible gratuitement dans l'application MatuMath, en mode chronométré ou en correction pas à pas. Un aperçu des énoncés figure ci-dessous. Réviser d'abord la théorie : fiches de maths.

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Problème 1 — Analyse

15 pts

On considère la fonction $f$ définie par $f (x) = 2 + 4 x \cdot e^{x}$ .

a)
Étudier la fonction $f$ (ensemble de définition, intersection avec l’axe $O y$ , équation des éventuelles asymptotes, extrema et graphe).
5 pts
b)
Dessiner, dans le repère utilisé pour le graphe de $f$ , la droite $d$ d’équation $y = 2 + x$ , puis déterminer les coordonnées des points d’intersection de la droite $d$ et du graphe de $f$ .
2 pts
c)
On pose $G (x) = a x + b \cdot e^{x}$ , où $a$ et $b$ sont des paramètres réels non nuls. Déterminer les valeurs de $a$ et $b$ pour que $G$ soit une primitive de $g (x) = x \cdot e^{x}$ .
2 pts
d)
Calculer l’aire de la surface fermée comprise entre la droite $d$ et le graphe de $f$ .
4 pts
e)
Déterminer pour quelle valeur de $k$ le graphe de la fonction $h (x) = k + 4 x \cdot e^{x}$ est tangent à l’axe $O x$ .
2 pts

Problème 2 — Géométrie plane

15 pts

Dans un repère orthonormé $O x y$ , on donne :

les points $A (6; - 3)$ et $B (4; - 7)$ ;
la droite $d$ d’équation $d : {x = 3 + 4 t y = - 9 + 8 t (t \in R)$ ;
le cercle $c_{1}$ d’équation $x^{2} + y^{2} - 4 x + 2 y - 15 = 0$ .

a)
Vérifier que les points $A$ et $B$ sont situés sur la droite $d$ .
3 pts
b)
Déterminer le rayon $r_{1}$ et les coordonnées du centre $C_{1}$ du cercle $c_{1}$ .
3 pts
c)
Montrer que la droite $d$ est tangente au cercle $c_{1}$ .
2 pts
d)
Montrer que $A$ appartient au cercle $c_{1}$ , puis calculer l’aire du triangle $A B C_{1}$ .
3 pts
e)
Déterminer l’équation du cercle $c_{2}$ passant par les points $A$ et $B$ et dont l’abscisse du centre vaut $1$ .
4 pts

Problème 3 — Probabilités

10 pts

Une représentation simplifiée des conditions météorologiques consiste à classer le temps en trois catégories : beau, variable et mauvais.
Le tableau suivant fournit la probabilité pour avoir un temps donné le lendemain en fonction du temps du jour même.

(lignes : météo du lendemain — colonnes : météo du jour)

beau variable mauvais beau 0, 6 0, 3 0, 1 variable 0, 3 0, 4 0, 3 mauvais 0, 1 0, 3 0, 6

Il est vendredi et il fait beau.

a)
Montrer que la probabilité qu’il fasse mauvais samedi puis variable dimanche est de 3\%.
2 pts
b)
Quelle est la probabilité qu’il fasse beau samedi et dimanche ?
1 pts
c)
Quelle est la probabilité qu’il fasse beau dimanche ?
1 pts
d)
Quelle est la probabilité qu’il fasse mauvais le samedi ou bien le dimanche ?
2 pts
e)
Quelle est la probabilité que la météo soit différente le vendredi, le samedi et le dimanche ?
1 pts
f)
Sachant que le temps sera variable dimanche, quelle est la probabilité qu’il fera beau le samedi ?
2 pts
g)
Quelle est la probabilité qu’il fasse beau jusqu’au vendredi suivant (vendredi y compris) ?
1 pts

Problème 4 — Analyse

10 pts

On considère 2 fonctions $f$ et $g$ définies par $f (x) = - 3 x^{2} + 9$ et $g (x) = x^{2} - 3$ .
Dans le domaine borné délimité par le graphe de ces 2 fonctions, on inscrit le rectangle $P QR S$ comme indiqué sur la figure ci-dessous.

Figure — examen de maturité 2016 (niveau standard), problème 4 — mathématiques

a)
Dans la figure ci-dessus, poser le système d’axes $O x y$ gradué correspondant.
3 pts
b)
Déterminer les coordonnées du point $P (x; f (x))$ assurant au rectangle $P QR S$ une aire maximale. Que vaut alors cette aire maximale ?
7 pts

Problème 5 — Géométrie dans l'espace

10 pts

Dans le système d’axes $O x y z$ proposé ci-dessous, on donne le plan vertical $α$ et le plan $β$ .

Figure — examen de maturité 2016 (niveau standard), problème 5 — mathématiques

a)
Donner une représentation paramétrique de la droite $d$ qui passe par les points $S (3; 6; 0)$ et $Z (0; 0; 2)$ , puis dessiner cette droite dans le repère ci-dessous.
2 pts
b)
Donner une représentation paramétrique des plans $α$ et $β$ .
2 pts
c)
Construire la droite d’intersection $e$ des plans $α$ et $β$ , puis donner une équation paramétrique de cette droite.
2 pts
d)
Construire les points d’intersection $I$ et $J$ de la droite $d$ avec les plans $α$ et $β$ , puis calculer les coordonnées du point $I$ (intersection de la droite $d$ avec le plan $α$ ).
2 pts
e)
Donner l’équation du plan $π$ qui contient la droite $d$ et le point $D (3; 0; 0)$ , puis dessiner ce plan $π$ .
2 pts