Examen de maturité 2022 — mathématiques

Montrer que le graphe de $f$ n’admet aucun point à tangente horizontale.

Etudier la fonction $f$, c’est-à-dire donner le domaine de définition, le(s) zéro(s) et le signe de $f$, les équations des éventuelles asymptotes et finalement dessiner dans un repère orthonormé le graphe soigné de $f$. (Le tableau de variation n’est pas demandé).

En observant le signe de $f$, déduire le domaine de définition de la fonction $g$ définie par $g(x)=\ln (f(x))$.

Trouver les zéros et le signe de $g$ puis esquisser, dans le même repère que $f$, le graphe de $g$.

Prouver que la droite $t$ est tangente au cercle $\gamma$ en un point $T$.

Dans un système d’axes orthonormés, représenter le cercle $\gamma$ et la droite $t$.

Construire le cercle ${\gamma }^{\prime }$ de même rayon que $\gamma$, tangent à $\gamma$ et à la droite $t$ en $T$, puis déterminer son équation.

2e partie :

Dans un repère orthonormé, on donne les points $A(-2;7)$, $B(2;1)$, $C(12;-4)$ et $D(6;5)$.

Montrer que le quadrilatère $ABCD$ est un trapèze.

Calculer l’aire et l’angle en $B$ du trapèze $ABCD$.

Déterminer la valeur du réel $a$ pour que la fonction $F$ donnée par $F(x)=(x^2-2x+a)\cdot e^x$ soit une primitive de $f$.

Sur l’esquisse ci-dessous, on a représenté le graphe de $f$ et le graphe d’une fonction quadratique $g$.

Déterminer l’expression fonctionnelle de $g$.

Calculer l’aire de la surface fermée et délimitée par les graphes de $f$ et $g$.

Montrer que $p(\text{«}9\text{»})=\frac{1}{10}$.

Calculer la probabilité que le dé affiche un nombre premier.

Le dé affiche un nombre impair ; calculer la probabilité que le dé affiche un nombre supérieur à 6.

On lance le dé deux fois de suite et on note, dans l’ordre, les deux nombres qu’il affiche.

Calculer la probabilité que le dé affiche deux nombres différents.

Calculer la probabilité que le produit des deux nombres affichés soit égal à 12.

Sachant que le dé a affiché deux nombres consécutifs écrits dans l’ordre croissant, calculer la probabilité que le premier nombre affiché soit un diviseur de 8.

Déterminer une représentation paramétrique du plan $\alpha$ passant par les points $A$, $B$ et $C$.

Donner les coordonnées de deux autres points situés dans le plan $\alpha$.

Donner la position relative du point $D(0;-28;24)$ par rapport au plan $\alpha$.

Calculer les coordonnées du point d’intersection du plan $\alpha$ et de la droite $d$ passant par l’origine du repère orthonormé et le point $E(4;-\frac{16}{5};3)$.

Montrer que le point $F(20;-16;15)$ est un point de la droite $d$ puis donner une représentation paramétrique d’une droite perpendiculaire à $d$ passant par $F$.